Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học: 2009 - 2010

Phòng giáo dục và đào tạo
––––––––––––––
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
Năm học : 2009 - 2010
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P;
c) Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
Bài 2: (3 điểm)
Cho x, y là những số dương thoả mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 3: (3 điểm)
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x, y) mà x, y Z:
Bài 4: (3 điểm)
Tìm x; y là những số nguyên dương thoả mãn 
Bài 5: (7 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O). Từ C kẻ CH vuông góc với AB . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AC và CB. 
a) Chứng minh rằng: OC vuông góc với MN;
b) Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Tiếp tuyến với (O) tại điểm C cắt đường thẳng d ở K. Chứng minh rằng: BK; CH; MN đồng quy.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
––––––––––––––
đáp án chấm môn toán lớp 9
Kỳ thi chọn học sinh giỏi thcs
Năm học 2009 - 2010
Bài 1 (4 điểm)	ĐK: 
a) 
b) 
 Vậy 
c) với và 
Cho nên 
Cho nên 
Mà 
Vậy ta có: 
Đặt ta có: 
Vậy 
KL: thì Q 
Bài 2: (3 điểm)
Vì 
Mà 
Xét: 	Đặt	
Thì 	với 
Vậy 
Bài 3: (3 điểm)
Bài 4: (3 điểm)
Tìm x, y là những số nguyên dương thoả 
x, y bình đẳng không mất tính TQ ta giả sử 
Nếu x = y ta có 
Vậy thoả mãn
Xét x > y
)
Vì 
Do vậy 
Với 
Thế (2) vào (1) 
	Ư(4) 
Vậy 
Với ta có:
Vậy 
Sau khi thử ta được:
 thoả mãn
Bài 5: (7 điểm)
a) ACB = 90o (vì OA = OC = OB)
b) CMH = 90o (gt)
 CNH = 90o (gt)
=> CMHN là hình chữ nhật => C1 = M1
Mà CAO = ACO (OA = OC nên tam giác ACO cân)
 CAO + C1 = 90o
Cho nên ACO + M1 = 90o
Gọi E là giao của OC và MN ta có CEM = 90o
Hay OC vuông góc MN (đpcm)
b) Ta có KA = KC (tính chất tiếp tuyến)
Kðo dài BC cắt d tại W
Ta có WCA = 90o
Mà: KAC + AWC = 90o
KCA + WCK = 90o
KCA = KAC (lý do KC = KA)
=> KWC = WCK => KC = KW
Vậy WK = KA = KC
Hay K là trung điểm AW
I là giao CH và MN vì CMHN là hình nhữ nhật
I là trung điểm của CH
Mặt khác WA // CH (cùng vuông góc với AB); giả sử BI cắt WA tại K'
áp dụng talet: 
Vậy BI đi qua trung điểm K của AW
Hay KB; CH; MN đồng quy