Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 7 năm học: 2005 - 2006

Phòng giáo dục đào tạo tam đảo
Trường THCS nguyễn traĩ 
Đề thi khảo sát chất lượng hsg
Môn :Toán 7
Năm học :2005-2006
Người ra đề:lê quang hà 
 Đề bài
Câu I: Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời mà em chọn:
1. Bằng:
 A. B. C. D.
2.Cho hai số khác 0 có hiệu,tổng và tích tỉ lệ với 1:7:24 .Vậy tích của chúng là:
 A.6 B.12 C.24 D.48 E.96 
3.Tìm x với x:0,(3) = 0,(12) được x bằng:
 A. 0,4 B. 0,(36) C. D. 
4.Có bao nhiêu số thực x sao cho là một số thực?
A.Không có số nào B.Một C.Hai D.Nhiều hơn hai số E.Vô số
5Cho tam giác ABC cân tại A,kẻ Biết AD=1cm,CD=8cm.
Độ dài cạnh bc bằng bao nhiêu centimet?
 A.9 B.12 C. D. E.
6.Giá trị của đa thức x+x3+x4++x2005+x2006 tại x =-1 bằng:
 A.-2006 B.2006 C.1 D.0 E.-1
Câu II:
a.Với giá trị nào của x thì biểu thức: P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) đạt giá trị nhỏ nhất.
 Tìm giá trị nhỏ nhất ấy?
b.Tìm số nguyên tố P có một chữ số để viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.
Câu III.Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho tổng của tất cả các ước số tự nhiên của số P4 là một số chính phương. 
Câu IV:
 Cho tam giác ABC (giả sử AB<AC) trên hai cạnh BA và CA lấy hai điểm M và N di động ,sao cho BM=CN.
 Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn BC và MN. DDường thẳng ị cắt các đường thẳng AB và AC tại E và F.
Chứng minh : BEI = CFI
 __________________________
 đáp án(toán 7)
Câu I:(3 điểm).Mỗi ý đúng 0,5 điểm
1- C 2- D 3- C 4- B 5- B 6-A
Câu II : (1,5 điểm)
a)(1 đ) P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = =(x2+6x-x-6)(x2+3x+2x+6) =(x2+5x-6)(x2+5x+6) =(x2+5x)2 -36
Ta có (x2+5x)2nên với P= (x2+5x)2 -36 thì P đạt giá trị nhất khi (x2+5x)2 =0
Lúc đó ta có x2+5x2 =0 hoặc x=-5
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -36 khi x=0 hoặc x=5. 
b)(0,5 đ) Để viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn thì P=2, hoặc P=5,hoặc P=7.
CâuIII:(2 điểm) . Số P4 có 5 ước số tự nhiên là 1 ,P ,P2 ,P3 ,P4.
Ta có : 1+P +P2 +P3 +P4 =n2 (n ).
Suy ra : 4n2=4P4+4P3+4P2+4P+4>4P4+4P3+P2=(2P2+P)2
 Và 4n2 < 4P4+P2+4+4P3+8P2+4P=(2P2+P+2)2.
 Vậy : (2P2+P)2< (2n)2 < (2P2+P+2)2.
 Suy ra :(2n)2= (2P2+P+2)2 = 4P4 + 4P3+5P2+2P+1.
 Vậy 4P4 + 4P3+5P2+2P+1= 4P4 + 4P3+4P2+4P+4.(vì cùng bằng 4n2)
 Do P > 1,suy ra :P-3=0 hay P=3.(Thử lại P=3 thoả mãn bài toán)
CâuV: Vẽ hình chính xác (0,5 điểm)
 B
E
A
M
I
C
N
F
K
J
 Gọi K là trung điểm của MC.Tam giác CMB có KI là đường trung bình
 Suy ra // MB , KI = MB
 Tương tự KJ// AC , KJ = CN
 Suy ra tam giác IKJ cân , KJI = KIJ
 Ta có : BEI = KIJ (So le trong) 
 CFI = KJI (đồng vị) 
 Suy ra BEI = CFI
Phòng giáo dục đào tạo tam đảo
Trường THCS Bồ lý
Đề thi khảo sát chất lượng hsg
Môn :Toán 7
Năm học :2005-2006
Người ra đề:Nguyễn Phúc Cường
 Đề bài:
Câu I.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của các phân số có dạng:
 trong đó a,b,c,d là các số nguyên dương thoả mãn điều kiện:
 a+b = c+d = 2006.
Câu II.
 Chứng minh rằng ta có:
 G(n) = 32n +3 +40n -27 
Câu III.
 Chứng minh rằng A= 2x2 +y2 +5z2 4xy+7xz+4yz > 0 , 
 thoả mãn : x+y+z y2. 
Câu IV.
Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho 
 CD = 2BD. So sánh số đo hai góc : và .
Câu V.
 Cho tam giác ABC vuông tại A.Biết AB =c,AC =b, b>c .Kẻ trung tuyến AM,BN .Tìm một hệ thức liên hệ giữa b, c để ta có:
AM BN.
 	---------------------------
Phòng giáo dục đào tạo tam đảo
Trường THCS Bồ lý
Đáp án Đề thi khảo sát chất lượng hsg
Môn :Toán 7
Năm học :2005-2006
Người ra đề:Nguyễn Phúc Cường.
CâuI.Đặt M = = NX: M đạt giá trị nhỏ nhất khi: đạt giá trị lớn nhất (Vì M>0 ). Bgiải: Ta có :a+b =c+d =2006 nên : 1 Ta có : và bao giờ cũng có một phân số không vượt quá 1. (vì nếu > 1 và >1 thì c+d >a+b ).
Giả sử : -Nếu d thì (Vì a ).
 Khi đó : = + = 2005.	(1)
 - Nếu d=2005 thì c=1 Với a>1 thì có <1005. (2)
	+ Với a=1 thì b=2005 và (3)
 Từ NX trên và (1,2,3) ta thấy : Giá trị nhỏ nhất của M là: và đạt được khi a=c =1 và b=d =2005 hoặc a=c=2005 và b=d =1.
Câu II. Ta có G(1) =256 Giả sử G(n)= 32n+3 +40n -27 .
Cần chứng minh G(n+1) = 32(n+1)+3 +40(n+1) -27 Xét hiệu G(n+1) –G(n) =32(n+1) +3 -32n+3 +40(n+1) -40n =8.32n+3 +40 = 8(32n+3+5) => G(n+1) –G(n) H(n) = 32n+3 +5 .
 Tương tự như trên ,ta có : H(1)=248 .
H(n+1) – H(n) = 3 2(n+1)+3 -32n+3 = 32n+3(32 -1) =8.32n+3 . (Đpcm).
Câu III.Ta có : A= x2+ y2 + z2 +2xy+2xz+2yz+ x2 +4z2+2xy +5xz +2yz = (x+y+z)2 + (x2 +2xy+ y2) +(4z2 +2yz+) + (5xz - ) = (x+y+z)2 +(x+y)2 + (2z+)2 + (4xz –y2) >0 Â
( Do 4xz > y2). 
 Câu IV.
 Gọi M là trung điểm của DC.
C
B
Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho 
E
M
D
ME =MA. 
 Ta có 
 (MD = MC, MA =ME , ,đối đỉnh)
 Suy ra : DE = AC (Hai cạnh tương ứng) và 3 .
Mặt khác : 1> (Tính chất góc ngoài của tam giác )
Mà = (gt) nên 1 > .
Suy ra : AC >AD 2 > hay 2 > 3
Vì 3 = 1 (Do nên 2 + 3 >1 +3
 21 < 2 + 3 hay 2
A
 Vậy .
N
M
C
B
Câu V.
G
 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
BC = a .Ta có :
GM = AM GM = GM2 = 	(1)
BM = BC BM = BM 2 = 	(2) GB = BN BG2 =BN2.
Trong tam giác vuông ABN có BN2 =AN2 + AB2 (Theo đ.lý Pitago) BN2 =c2 + GB2 = (c2 +)
Để BN thì vuông tại G.
Lúc đó ,theo đ.lý Pitago ta có BM2= BG2 +GM2	(4)
Từ (1,2,3,4) ta có : = (c2 +) + a2 = 2(c2 +)
 vuông tại A cho ta a2 = b2 + c2 .
Vậy b2 + c2 =2(c2 +) b2 =2c2 b =2
 KL: Để BN thì điều kiện là : b =2.
	------------------------------------