50 bài tập Hình học 9 (tiếp)

Bài 51:Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tt AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E.
C/m ABOC nội tiếp.
Chứng tỏ AB2=AE.AD.
C/m góc và DBDC cân.
CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB.
Hình 51
1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m)
2/C/m: AB2=AE.AD. Chứng minh DADB ∽ DABE , vì có chung.
Sđ =sđ cung (góc giữa tt và 1 dây)
Sđ =sđ (góc nt chắn )
3/C/m 
* Do ABOC ntÞ (cùng chắn cung AC); vì AC = AB (t/c 2 tt cắt nhau) Þ DABC cân ở AÞ
* sđ =sđ (góc giữa tt và 1 dây); sđ =sđ (góc nt)
Þ = mà = (do CD//AB) Þ Þ DBDC cân ở B.
4/ Ta có chung; (góc giữa tt và 1 dây; góc nt chắn cung BE)Þ DIBE∽DICBÞÞ IB2=IE.ICu
Xét 2 DIAE và ICA có chung; sđ =sđ () mà DBDC cân ở BÞ Þsđ =
 Þ DIAE∽DICAÞ ÞIA2=IE.IC vTừ uvàvÞIA2=IB2Þ IA=IB
Bài 52:
 Cho DABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’.
Tính bán kính của (O).
Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì?
Kẻ AK^CC’. C/m AKHC là hình thang cân.
Quay DABC một vòng quanh trục AH. Tính diện tích xung quanh của hình được tạo ra.
1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4 Þ AB=5; DABA’ vuông ở BÞBH2=AH.A’H
ÞA’H==
ÞAA’=AH+HA’=
ÞAO=
2/ACA’C’ là hình gì?
Do O là trung điểm AA’ và CC’ÞACA’C’ là 
Hình 52
Hình bình hành. Vì AA’=CC’(đường kính của đường tròn)ÞAC’A’C là hình chữ nhật.
3/ C/m: AKHC là thang cân:
¿ ta có AKC=AHC=1vÞAKHC nội tiếp.ÞHKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà DOAC cân ở OÞOAC=OCAÞHKC=HCAÞHK//ACÞAKHC là hình thang.
¿ Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH)Þ KAO+OAC=KCH+OCAÞHình thang AKHC có hai góc ở đáy bằng nhau.Vậy AKHC là thang cân.
4/ Khi Quay D ABC quanh trục AH thì hình được sinh ra là hình nón. Trong đó BH là bán kính đáy; AB là đường sinh; AH là đường cao hình nón.
Sxq=p.d=.2p.BH.AB=15p
V=B.h=pBH2.AH=12p
Bài 53:Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQ^OA (MỴ cung AC ; QỴ AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P.
C/m: a/ PMIO là thang vuông.
 b/ P; Q; O thẳng hàng.
Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính Góc CSP.
Gọi H là giao điểm của AP với MQ. Cmr: 
 a/ MH.MQ= MP2.
 b/ MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DQHP.
1/ a/ C/m MPOI là thang vuông.
Vì OI^MI; CO^IO(gt)
ÞCO//MI mà MP^CO ÞMP^MIÞMP//OIÞMPOI là thang vuông.
b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng:
Do MPOI là thang vuông ÞIMP=1v hay QMP=1vÞ QP là đường kính của (O)Þ Q; O; P thẳng hàng.
2/ Tính góc CSP:
Ta có 
sđ CSP=sđ(AQ+CP) (góc có đỉnh nằm trong đường tròn) mà cung CP = CM
Hình 53
và CM=QD Þ CP=QD Þ sđ CSP=sđ(AQ+CP)= sđ CSP=sđ(AQ+QD) =sđAD=45o. Vậy CSP=45o.
3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ và MHP có : Vì D AOM cân ở O; I là trung điểm AO; MI^AOÞDMAO là tam giác cân ở MÞ DAMO là tam giác đều Þ cung AM=60o và MC = CP =30o Þ cung MP = 60o. Þ cung AM=MP Þ góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung bằng nhau.)Þ DMHP∽DMQPÞ đpcm.
 b/ C/m MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp D QHP.
Gọi J là tâm đtròn ngoại tiếp DQHP.Do cung AQ=MP=60oÞ DHQP cân ở H và QHP=120oÞJ nằm trên đường thẳng HOÞ DHPJ là tam giác đều mà HPM=30oÞMPH+HPJ=MPJ=90o hay JP^MP tại P nằm trên đường tròn ngoại tiếp DHPQ Þđpcm.
Bài 54:
 Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O.Từ một điểm M trên d và ở ngoài (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D.
C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn.
C/m AC//MO và MD=OD.
Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME.MF
Xác định vị trí của điểm M trên d để DMAB là tam giác đều.Tính diện tích phần tạo bởi hai tt với đường tròn trong trường hợp này.
1/Chứng minh OBM=OAM=OHM=1v
2/¿ C/m AC//OM: Do MA và MB là hai tt cắt nhau ÞBOM=OMB và MA=MB ÞMO là đường trung trực của ABÞMO^AB.
Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn ÞCA^AB. Vậy AC//MO.
Hình 54 554
¿C/mMD=OD. Do OD//MB (cùng ^CB)ÞDOM=OMB(so le) mà OMB=OMD(cmt)ÞDOM=DMOÞDDOM cân ở DÞđpcm.
3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM và MAF có góc M chung. 
Sđ EAM=sd cungAE(góc giữa tt và 1 dây)
Sđ AFM=sđcungAE(góc nt chắn cungAE) ÞEAM=A FM ÞDMAE∽DMFAÞđpcm.
4/¿Vì AMB là tam giác đềuÞgóc OMA=30oÞOM=2OA=2OB=2R
¿Gọi diện tích cần tính là S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB
Ta có AB=AM==RÞS AMBO=BA.OM= .2R. R= R2Þ Squạt==ÞS= R2-=
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 55:
 Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C.
C/m AMN=BMC.
C/mDANM=DBMC.
DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F.C/m FE^Ax.
Chứng tỏ M cũng là trung điểm DC.
Hình 55 554
1/C/m AMN=BMA.
 Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) và do NM^DCÞNMC=1v vậy:
AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1vÞ AMN=BMA.
2/C/m DANM=DBCM:
Do cung AM=MB=90o.Þdây AM=MB và MAN=MBA=45o.(DAMB vuông cân ở M)ÞMAN=MBC=45o.
Theo c/mt thì CMB=AMNÞ DANM=DBCM(gcg)
3/C/m EF^Ax.
Þ AND=CNB
 Do ADMN ntÞAMN=AND(cùng chắn cung AN)
 Do MNBC ntÞBMC=CNB(cùng chắn cung CB)
Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1)
Ta lại có AND+DNA=1vÞCNB+DNA=1v ÞENC=1v mà EMF=1v ÞEMFN nội tiếp ÞEMN= EFN(cùng chắn cung NE)Þ EFN=FNB
Þ EF//AB mà AB^Ax Þ EF^Ax.
4/C/m M cũng là trung điểm DC:
Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN).
ÞDNMC vuông cân ở MÞ MN=NC. Và DNDC vuông cân ở NÞNDM=45o.
ÞDMND vuông cân ở MÞ MD=MNÞ MC= DM Þđpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 56:
 Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD^AB; CE^MA; CF^MB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF.
C/m AECD nt.
C/m:CD2=CE.CF
Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE.
C/m IK//AB.
Hình 56 554
1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối)
2/C/m: CD2=CE.CF.
Xét hai tam giác CDF và CDE có:
-Do AECD ntÞCED=CAD(cùng chắn cung CD)
-Do BFCD ntÞCDF=CBF(cùng chắn cung CF)
Mà sđ CAD=sđ cung BC(góc nt chắn cung BC)
 Và sđ CBF=sđ cung BC(góc giữa tt và 1 dây)ÞFDC=DECu
Do AECD nt và BFCD nt ÞDCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)ÞDCF=DCEv.Từ uvà vÞDCDF∽DCEDÞđpcm.
3/Gọi tia đối của tia CD là Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD và 
xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECDÞ xCF= xCE.Þđpcm.
4/C/m: IK//AB.
Ta có CBF=FDC=DAC(cmt)
Do ADCE ntÞCDE=CAE(cùng chắn cung CE)
ABC+CAE(góc nt và góc giữa tt cùng chắn 1 cung)ÞCBA=CDI.trong DCBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2vÞDKCI nội tiếpÞ KDC=KIC (cùng chắn cung CK)ÞKIC=BACÞKI//AB.
Bài 57:
 Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P>R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn.
C/m BM/ / OP.
Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình hành.
AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng.
Hình 57 554
1/ C/m:BM//OP:
Ta có MB^AM (góc nt chắn nửa đtròn) và OP^AM (t/c hai tt cắt nhau)
Þ MB//OP.
2/ C/m: OBNP là hình bình hành:
 Xét hai D APO và OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) và do NB//AP Þ POA=NBO (đồng vị)ÞDAPO=DONBÞ PO=BN. Mà OP//NB (Cmt) Þ OBNP là hình bình hành.
3/ C/m:I; J; K thẳng hàng:
Ta có: PM^OJ và PN//OB(do OBNP là hbhành) mà ON^ABÞON^OJÞI là trực tâm của DOPJÞIJ^OP. 
-Vì PNOA là hình chữ nhật ÞP; N; O; A; M cùng nằm trên đường tròn tâm K, mà MN//OPÞ MNOP là thang cânÞNPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng chắn cung NM) Þ ÞDIPO cân ở I. Và KP=KOÞIK^PO. Vậy K; I; J thẳng hàng.
& 
Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I.
C/m DABI vuông cân
Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC.AI=AD.AJ.
C/m JDCI nội tiếp.
Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DH^AB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH.
Hình 58 554
1/C/m DABI vuông cân(Có nhiều cách-sau đây chỉ C/m 1 cách):
-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)ÞDABC vuông ở C.Vì OC^AB tại trung điểm OÞAOC=COB=1v
Þ cung AC=CB=90o. ÞCAB=45 o. (góc nt bằng nửa số đo cung bị chắn)
DABC vuông cân ở C. Mà Bt^AB có góc CAB=45 o Þ DABI vuông cân ở B.
2/C/m: AC.AI=AD.AJ.
Xét hai DACD và AIJ có góc A chung sđ góc CDA=sđ cung AC =45o.
Mà D ABI vuông cân ở BÞAIB=45 o.ÞCDA=AIBÞ DADC∽DAIJÞđpcm
3/ Do CDA=CIJ (cmt) và CDA+CDJ=2vÞ CDJ+CIJ=2vÞCDJI nội tiếp.
4/Gọi giao điểm của AK và DH là N Ta phải C/m:NH=ND
-Ta có:ADB=1v và DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) ÞKDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v và KDB+KDJ=1vÞKJD=JDKÞDKDJ cân ở K ÞKJ=KD ÞKB=KJ.
-Do DH^ và JB^AB(gt)ÞDH//JB. Aùp dụng hệ quả Ta lét trong các tam giác AKJ và AKB ta có:
;Þ mà JK=KBÞDN=NH.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 59:
 Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn ở M.
Chứng minh: NMBO nội tiếp.
CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB
C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM
Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều.
1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối)
2/C/m CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB:
-Do AB^CD tại trung điểm O của AB và CD.ÞCung AD=DB=CB=AC=90 o.
Þsđ AMD=sđcungAD=45o.
Hình 59 554
sđ DMB=sđcung DB=45o.ÞAMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o ÞEMC=CMA=45o.Vậy CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB.
3/C/m: AM.DN=AC.DM.
Xét hai tam giác ACM và NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt)
Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)ÞDAMC∽DDMNÞđpcm.
4/Khi ON=NM ta c/m DMOB là tam giác đều.
Do MN=ONÞDNMO vcân ở NÞNMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v và NOM+MOB=1vÞOMB=MOB.Mà OMB=OBM ÞOMB=MOB=OBMÞDMOB là tam giác đều.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 60:
 Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi D; E theo thứ tự là hình chiếu của A và B lên đường thẳng d.
C/m: CD=CE.
Cmr: AD+BE=AB.
Vẽ đường cao CH của DABC.Chứng minh AH=AD và BH=BE.
Chứng tỏ:CH2=AD.BE.
Chứng minh:DH//CB.
1/C/m: CD=CE:
 Do AD^d;OC^d;BE^dÞAD//OC//BE.Mà OH=OBÞOC là đường trung bình của hình thang ABEDÞ CD=CE.
2/C/m AD+BE=AB.
Theo tính chất đường trung bình
Hình 60 554
của hình thang ta có:OC=ÞBE+AD= ... y OKA+O’KA=1v tức có nghĩa góc BKO+O’KC=1v vậy BKO+OKA+AKO’+O’KC=2vÞK;B;C thẳng hàng Þđpcm
4/ C/m: 4MI2=Rr. Vì DOKO’ vuông ở K có đường cao KA.Aùp dụng hệ thue=ức lượng trong tam giác vuông có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK và MI=IN hay MI=AKÞđpcm
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 90:
Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp trong (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuông góc với nhau. Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau ở E; BC và AD cắt nhau ở F.
Cm:BDEF nội tiếp.
Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE
Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm của đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp DAEF. Cmr: DIMF nội tiếp.
Gọi H là giao điểm AC với FE. Cm: AI.AM=AC.AH.
Hình 90 554
 E
 B
 A O I C H M
 D
 F
1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt trong (O) đường kính ACÞABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn)Þ FBE=EDF=1vÞđpcm.
2/ C/m DA.DF=DC.DE:
Xét hai tam giác vuông DAC và DEF có: Do BF^AE và ED^AF nên C là trực tâm của DAEFÞGóc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)Þđpcm.
3/ Cm:DIMF nt: Vì AC^BD(gt) ÞDIM=1v và I cũng là trung điểm của DB(đường kính vuông góc với dây DB)ÞDADB cân ở AÞ AEF cân ở A (Tự c/m yếu tố này)ÞĐường tròn ngoại tiếp DAEF có tâm nằm trên đường AM Þgóc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)ÞDIM+DFM=2vÞđpcm.
4/Bài 91:
 Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) tại B và C (khác A). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(DỴ(O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở M.
Cmr: ADEM nội tiếp.
Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
ADEM là hình gì?
Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC.
1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v và ADB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) ÞADM+AEM=2vÞđpcm.
2/C/m MA là tiếp tuyến của hai đường tròn;
-Ta có sđADE=sđ cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì cùng chắn cung AE do tứ giác ADME nt)ÞABM=AMC.
B O A O’ C
 E
 D
Hình 91 554
 M
Tương tự ta có AMB=ACMÞHai tam giác ABM và ACM có hai cặp góc tương ứng bằng nhauÞCặp góc cònlại bằng nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2vÞBAM=MAC=1v hay OA^AM tại điểm A nằm trên đtròn.
3/ADEM là hình gì?
Vì BAM=1vÞABM+AMB=1v.Ta còn có MA là tt của đtrònÞDAM=MBA (cùng bằng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM là hình chữ nhật.
4/Cm: MD.MB=ME.MC .
Tam giác MAC vuông ở A có đường cao AE.Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:MA2=ME.MC.Tương tự trong tam giác vuông MAB có MA2=MD.MBÞđpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 92:
 Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK^ với đường thẳng AM.
Cm: ABKC nội tiếp.
Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N.Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD.KN=BE.KA
Cm: MN//DB.
Cm: BMEN là hình vuông.
Hình 92 554
A B N
 M E 
 K
 D C
1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt) Þ đpcm.
2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE và KAN có:
Vì ABCD là hình vuông nên nội tiếp trong đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1vÞA;K;C nằm trên đtròn đường kính AC.Vậy 5 điểm A;B;C;D;K cùng nằm trên một đường tròn.ÞGóc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)ÞDBDE~DKANÞÞđpcm.
3/ Cm:MN//DB.Vì AK^CN và CB^AN ;AK cắt BC ở MÞM là trực tâm của tam giác ANCÞNM^AC.Mà DB^AC(tính chất hình vuông)ÞMN//DB.
4/Cm:BNEM là hình vuông:
Vì MN//DBÞDBM=BMN(so le) mà DBM=45oÞBMN =45oÞDBNM là tam giác vuông cânÞBN=BM.Do BE^DB(gt)và BDM=45oÞMBE=45oÞDMBE là tam giác vuông cân và BM là phân giác của tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m được MN là phân giác của góc BMNÞBMEN là hình thoi lại có goác B vuông nên BMEN là hình vuông.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 93:
 Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q.
Cm: QPCB nội tiếp.
Cm: AN//DB.
Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng.
Cm: DPEN là tam giác cân.
F N
 I
 A Q E B
 P
 M
 O
 D C
1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) và QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).Þđpcm.
2/Cm:AN//DB vì O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhậtÞO là trung điểm AC.Vì C và N đối xứng với nhau qua MÞM là trung điểm NC ÞOM là đường trung bình của DANCÞOM//AN hay AN//DB.
3/Cm:F;E;M thẳng hàng.
Gọi I là giao điểm EF và AN.Dễ dàng chứng minh được AFNE là hình chữ nhậtÞDAIE và OAB là những tam gíc cânÞIAE=IEA và ABO=BAO.Vì AN//DBÞ IAE=ABO(so le)ÞIEA=EACÞEF//AC hay IE//ACu
Vì I là trung điểm AN;M là trung điểm NCÞIM là đường trung bình của DANCÞMI//AC v.Từ uvà vTa có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng ÞF;F;M thẳng hàng.
4/C/mDPEN cân:Dễ dàng c/m được ANEP nội tiếpÞPNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu 3 ta có thể suy ra NAE=EAPÞENP=EPNÞDPEN cân ở E. 
 ÐÏ(&(ÐÏ Bài 94:
 Từ đỉnh A của hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với nhau 1 góc bằng 45o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q.
Cm:E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn.
Cm:AB.PE=EB.PF.
Cm:SDAEF=2SDAPQ.
Gọi M là trung điểm AE.Cmr: MC=MD.
 A B
 M
 P E
 Q
 D F C
1/Cm:E;P;Q;C;F cùng nằm trên một đường tròn:
Ta có QAE=45o.(gt) và QBC=45o(t/c hình vuông)ÞABEQ nội tiếp ÞABE+AQE=2v mà ABE=1vÞAQE=1vu.Ta có DAQE vuông ở Q có góc QAE=45oÞDAQE vuông cânÞAEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) và PDF=45o ÞAPFD nội tiếpÞAPF+ADF=2v mà ADF=1vÞAPF=1vv
và ECF=1v w .Từ uvwÞE;P;Q;F;C cùng nằm trên đường tròn đường kính EF.
2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vuông ABE có:
ÞBAE=PFE
-Vì ABEQ ntÞBAE=BQE(Cùng chắn cung BE)
-Vì QPEF ntÞPQE=PEF(Cùng chắn cung PE)
Þđpcm.
3/Cm: :SDAEF=2SDAPQ.
Theo cm trên thì DAQE vuông cân ở QÞAE==AQ
Vì QPEF nt ÞPEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung 
ÞDAQP~DAEFÞ==2Þđpcm.
4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai DMAD=MBC vì có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM.
Bài 95:
 Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O.Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC.Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I.Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường này cắt AH ở J.
C/m:OHIK nội tiếp.
Chứng tỏ KH^OI.
Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường này cắt AH ở J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB
Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn.
1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng minh)
2/Cm HK^OI. Tam giác ABI có hai đường cao DH và AK cắt nhau ở O ÞOI là đường cao thứ ba ÞOI^AB.
 A B
 J O
 F
 H K
 E
 D C
 I
Ta có OKIH ntÞOKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OI^AB và AD^AB ÞOI//ADÞOIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD là hình chữ nhật nên ABH+ACE ÞOKH=OCEÞHK//AB.Mà OI^AB ÞOI^KH.
3/Cm: HJ.KC=HE.KB .
Chứng minh hai tam giác vuông HJE và KBC đồng dạng
4/Chứng minh ABFE nội tiếp:
VìAH^BE;EJ//AD và AD^ABÞEJ^ABÞBJ là đường cao thứ ba của tam giác ABEÞBJ^AE Vì E là trung điểm DH;EJ//ADÞEJ là đường trung bình của tam giác ADHÞEJ//=AB;BF=BC mà BC//=ADÞJE//=BFÞBJEF là hình bình hànhÞJB//EF.Mà BJ^AEÞEF^AE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1vÞABFE nt.
 ÐÏ(&(ÐÏ Bài 96:
Cho DABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gặp nhau theo thứ tự ở I và J.Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC.
Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng.
Chứng minh: BICJ nt.
BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr:AE^AJ.
C/m: AI.AJ=AB.AC.
 A E
 I
 B P C
 K
H 
 J
1/Chứng minh A;I;J thẳng hàng:
Vì
Bài 97:
 Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q.Kẻ BK^Ax;BI^Ay và DM^Ax,DN^Ay .
Chứng tỏ BKIA nội tiếp
Chứng minh AD2=AP.MD.
Chứng minh MN=KI.
Chứng tỏ KI^AN.
 x
 B P C
 K
 y
 Q
 N
 M I
A D
Bài 98:
 Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC tại I và K.Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM.
Chứng minh KHDM nt.
Chứng minh:AB=CK+AM.
Bài 99:
 Cho(O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE và CF gặp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và N.Dựng hình bình hành AECD.
Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF.
Chứng minh AFCD nội tiếp.
Chứng minh:CN.CF=4BE.BF
 A D
M B
 E C
 N
F
Chứng minh MN//AC.
1/Chứng minh D nằm trên đường thẳng EF:Do ADCE là hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàngÞđpcm.
2/Cm:AFCD nội tiếp:
-Do ADCE là hình bình hànhÞBC//AEÞgóc BCA=ACE(so le)
-sđCAE=sđcung AE(góc giữa tt và một dây) và sđ AFE=sđ cung AE ÞCAE=AFE.ÞBCN=BFAÞAFCD nội tiếp.
2/Cm CN.CF=4BE.BF.
-Xét hai tam gáic BAE và BFA có góc ABF chung và AFB=BAE(chứng minh trên)ÞDBAE~DBFAÞÞAB2=BE.BFu
Tương tự hai tam giác CAN và CFA đồng dạngÞAC2=CN.CFv.Nhưng ta lại có AB=AC.Do đóu trở thành:AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BFw.
Từ u và wÞđpcm.
4/cm MN//AC. Do ADCE là hbhÞBAC=ACE(so le).Vì ADCF nt ÞDAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)ÞACM=CMNÞMN//AC.
 ÐÏ(&(ÐÏ Bài 100:
 Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C.Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB;BC;AC .AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I.MN cắt AB ở E.
Chứng minh DBNI cân.
PKEN nội tiếp.
Chứng minh AN.BD=AB.BN
Chứng minh I là trực tâm của DMPN và IE//BC.
1/C/m DBNI cân
Ta có 
sđBIN=sđ(AP+BN)
sđIBN=sđ(CP+CN)
Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt)
ÞBIN=IBNÞDBNI cân ở N.
2/Chứng tỏ PKEN nội tiếp:
 A
 P
 M F K
 O
 E I 
 B C
 N
Vì cung AM=MBÞANM=MPB hay KPE=KNEÞHai điểm P;N cùng làm với hai đầu đoạn thẳng KEÞđpcm.
3/C/m AN.DB=AB.BN.
Xét hai tam giác BND và ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)Þđpcm.
4/ ·Chứng minh I là trực tâm của DMNP: Gọi giao điểm của MP với AB;AC lần lượt ở F và D.Ta có:
sđ AFD=sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh ở trong đường tròn.)
sđ ADF=sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh ở trong đường tròn.)
Mà Cung AP=PC;MB=AMÞAFD=ADFÞDAFD cân ở A có AN là phân giác của góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)ÞAN^MP hay NA là đường cao của DNMP.Bằng cách làm tương tự như trên ta chứng minh được I là trực tâm của tam gáic MNP.
·C/m IE//BC.Ta có DBNI cân ở N có NE là phân giác ÞNE cũng là đường trung trực của BIÞEB=EIÞDBEI cân ở E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau PA=PC).Nên PBC=EIBÞEI//BC.
 Hết
 ÐÏ(&(ÐÏ