Bài tập Hình học lớp 9

Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
Hệ thức lượng trong tam
giác
1. a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là chân đường
cao hạ từ A. Biết rằng AB = 7cm,AC = 9cm. Tính
BH,CH,AH.
b) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
Biết BH = 4cm,CH = 9cm. Tính AH,AB,AC.
2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. BiếtBC =
a,AH = h. Tính độ dài cạnh bên theo a, h.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, kẻ HM
vuông góc với AB tạiM . Chứng minh rằngBM =
AB3
BC2
.
4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết tỉ số hai cạnh góc
vuông là
4
5
, độ dài cạnh góc vuông nhỏ bằng 6cm. Tính
độ dài cạnh huyền, độ dài hình chiếu của các cạnh góc
vuông lên cạnh huyền.
5. Tam giác ABC có AB = 48cm,AC = 14cm,BC =
50cm. Tính độ dài đường phân giác của góc C.
6. Tam giác ABC có cạnh AB = 26cm,AC = 25cm, đường
cao AH = 24cm. Tính độ dài cạnh BC.
7. Hình thang ABCD có AB = 15cm,CD = 20cm. Cạnh
bên AD = 12cm và vuông góc với hai đáy. Tính độ dài
cạnh BC.
8. Tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 15cm, cạnh
đáy bằng 18cm. Tính độ dài các đướng cao.
1
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
9. Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = c, CB = b. Cho
biết diện tích tam giác là S =
2
5
bc. Tính cạnh BC theo
b, c.
10. Tính diện tích của hình thang có độ dài các đáy là
a, b(a > b) các góc kề với đáy lớn lần lượt là 30o và
45o.
11. Cho tam giác ABC có B̂AC > 90o. Kẻ đường cao CH.
Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 + 2.AB.AH.
12. Cho tam giác ABC nhọn có AH là đường cao. D,E
lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. Chứng minh
rằng:
a) AD.AB = AE.AC
b) ÂED = ÂBC
13. Cho tam giác nhọn ABC với BD,CE là hai đường cao.
Các điểm N,M trên các đường thẳng BD,CE sao cho
ÂMB = ÂNC = 90o. Chứng minh rằng tam giác AMN
cân.
14. Cho hình thoi ABCD có Â = 120o. Tia Ax tạo với AB
một góc B̂Ax một góc bằng 15o và cắt cạnh BC tại M ,
cắt đường thẳng CD tại N .
Chứng minh rằng:
1
AM2
+
1
AN2
=
1
3AB2
15. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến
BM . Gọi D là hình chiếu của C trên BM , H là hình
chiếu của D trên AC. Chứng minh rằng AH = 3HD.
16. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB,BC,CA là
ba số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ đường cao AH,
đường trung tuyến AM . Chứng minh rằng HM = 2.
2
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
17. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu
các đường phân giác BD,CE cắt nhau tại I thỏa mãn
BD.CE = 2BI.CI
18. Chứng minh rằng trong một tam giác:
a) Bình phương của cạnh đối diện với góc nhọn bằng
tổng các bính phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần
tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh
kia trên nó.
b) Bình phương của cạnh đối diện với góc tù bằng tổng
các bình phương của hai cạnh kia cộng với hai lần tích
của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia
trên nó.
19. Qua điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuông
ABC ta kẻ các đường vuông góc DH và DK lần lượt
xuống các cạnhAB vàAC. Chứng minh hệ thức:DB.DC =
HA.HC +KA.KC
20. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ
HE,HF vuông góc với AB,AC. Chứng minh rằng:
a)
EB
FC
=
AB3
AC3
b) BC.BE.CF = AH3
21. Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến CM .
Ta kẻ đường caoMH của tam giácMBC và đặt trên tia
AB đoạn AD = BH. Chứng minh rằng tam giác CDM
cân.
22. Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các
đường phân giác. Biết rằng IA = 2
√
5cm, IB = 3cm.
Tính độ dài AB.
3
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
23. Tam giác ABC có BC = 40cm, đường phân giác AD
dài 45cm, đường cao AH dài 36cm. Tính các độ dài
BD,DC.
24. Không dùng bảng số và máy tính, tính : sin 15o.
25. Chứng minh các công thức sau:
a) sin 2α = 2 sinα. cosα
b) 1 + cos 2α = cos2α
26. Tam giác ABC có Â = B̂ + 2Ĉ và độ dài ba cạnh là ba
số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài các cạnh của tam giác.
27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) SABC =
1
2
AB.AC sin B̂AC nếu B̂AC ≤ 90o.
b) SABC =
1
2
AB.AC sin(180o − B̂AC) nếu B̂AC > 90o.
28. Với mọi góc nhọn α, chứng minh:
a) tgα =
1
cotgα
b)
tgα
cotgα
=
sin2 α
cos2 α
c) sin2 α− cos4 α = sin2 α− cos2 α
29. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3
√
3cm,AC =
2
√
5. Tính BC, tính các góc B,C.
30. Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ởO và không
vuông góc với nhau. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của
các tam giác AOB và COD. Gọi G, I lần lượt là trọng
tâm của các tam giác BOC,AOD.
a) Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F là giao
điểm của AH và DK. Chứng minh rằng các tam giác
4
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
IEG và HFK đồng dạng.
b) Chứng minh rằng IG⊥HK
31. Cho tam giác có ba góc nhọn. Đặt BC = a,AC =
b, AB = c.
Chứng minh rằng:
a
sin Â
=
b
sin B̂
=
c
sin Ĉ
32. Cho tam giác ABC nhọn, có BC = a,AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 − 2bc. cos Â
33. Cho tam giác ABC có BC = a,AC = b, AB = c. Chứng
minh rằng: sin
A
2
≤ a
2
√
bc
.
Từ đó suy ra: sin
A
2
. sin
B
2
. sin
C
2
≤ 1
8
34. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và
CN vuông góc nhau. Chứng minh rằng cotB+cotC ≥
2
3
35. Cho góc nhọn α. Tìm giá trị lớn nhất nhất của:
1
sin4 α
+
1
cos4 α
.
5
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
Định nghĩa và sự xác định
đường tròn
1. Tính bán kính đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác
cân có cạnh đáy bằng đường cao tương ứng h.
2. Hình chữ nhật ABCD có các đỉnh thuộc đường tròn
(O;R). Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng
cách từ một điểm M ∈ (O) đến các đường thẳng chứa
cạnh của hình chữ nhật không phụ thuộc vào vị trí của
M và tính tổng đó theo R.
3. Cho hình thang cân ABCD ( đáy nhỏ AB), hai đường
chéo AC và BD cắt nhau tại I. Gọi M,N,P,Q lần lượt
là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng:
a) Độ dài đường cao và độ dài đường trung bình của
hình thang là bằng nhau.
b) M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn.
4. Cho đường tròn (O) có đường kính AC cố định. BD là
dây cung vuông góc với AC.
a) Viết công thức tính diện tích tứ giác ABCD theo hai
đường chéo AC,BD.
b) Tìm vị trí của dây BD lúc ABCD có diện tích lớn
nhất, chứng tỏ lúc ấy ABCD là hình vuông.
5. Cho đường tròn (O) có đường kính BC = 5cm và dây
cung BA = 3cm.
a) Chứng tỏ 4ABC vuông tại A, tính độ dài AC và
đường cao AH của 4ABC.
b) Gọi D là đỉnh của4BCD có CD = 3cm,BD = 4cm.
Chứng tỏ D nằm trên đường tròn (O).
6
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
6. Cho tam giác ABC vuông tại A.
a) Xác định tâmO của đường tròn đi qua 3 điểmA,B,C.
b) Vẽ đường cao AH và đường kính AD. Chứng tỏ
hai tam giác CAH,DAB đồng dạng, suy ra AB.AC =
AH.AD.
7. Cho tam giác ABC (Â 6= 90o), đường tròn có đường kính
BC cắt hai đường thẳng AB,AC lần lượt tại D,E. Hai
đường thẳng CD,BE cắt nhau tại H. Chứng tỏ H là
trực tâm của 4ABC và suy ra AH vuông góc với BC.
8. Cho đường tròn (O) có đường kính BC cố định và điểm
A ∈ (O). Trên tia đối của tia AB lấy đoạn AD =
AC,trên tia đối của tia AC lấy đoạn AE = AB.
a) Chứng tỏ 4ABC và 4AED bằng nhau.
b) Đường thẳng qua đường cao AH của 4ABC cắt DE
tại M . Chứng tỏ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ADE.
c) Chứng minh AO⊥DE
9. Cho hai điểm A và B cố định. Một đường thẳng d đi
qua A. Gọi P là điểm đối xứng của B qua d.
a) Tìm quỹ tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm
A.
b) Xác định vị trí của để BP có độ dài lớn nhất. Xác
định vị trí của d để BP có độ dài bé nhất.
10. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD); BC = CD =
1
2
AD = a.
a) Chứng minh A,B,C,D nằm trên một đường tròn.
Hãy xác định tâm O và bán kính của đường tròn này.
b) Chứng minh AC⊥OB.
7
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
11. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi
H là trực tâm của tam giác; N,P,Q lần lượt là trung
điểm của AH,AB,AC. Chứng minh ONPQ là hình
bình hành.
12. Cho tam giác ABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn
tâm S đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường
kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D,E,
cắt đường tròn (O) tại H,K(các điểm xếp theo thứ tự
D,H,E,K)
a) Chứng minh BD,BE là những đường phân giác của
góc ÂBC, CK,CH là những đường phân giác của góc
ÂCB.
b) Chứng minh rằng BDAE,AHCK là những hình chữ
nhật.
13. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC
vuông góc với AB tại O. Lấy điểm M trên cung AC.
Hạ MH⊥OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho
OP = MH.
a) KhiM chạy trên cung AC thì điểm P chạy trên đường
nào?
b) Tìm những điểm P chạy trên bán kính PM sao cho
OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy khắp
(O)
14. Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Lấy
điểm C tùy ý trên đường tròn. Trên tia AC, lấy điểm
M sao cho AM = BC. Điểm M chạy trên đường nào
khi C chạy trên đường tròn (O).
8
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
Tính chất đối xứng
1. Trong đường tròn (O;R) cho dây cung AB di động
nhưng có độ dài không đổi AB = l. Gọi I là trung
điểm của AB.
a) Chứng minh OI⊥AB
b) Tính độ dài OI theo R, l và suy ra I di động trên
một đường tròn cố định
2. Cho tam giác ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O;R)
có độ dài cạnh AB = AC = R.
a) Chứng minh rằng tia AO là phân giác của góc B̂AC
b) Chứng tỏ BC > AB, suy ra thứ tự khoảng cách từ
tâm O đến các cạnh của tam giác ABC.
c) Tính theo R độ dài cạnh BC, chiều cao hạ từ A và
diện tích của 4ABC
3. Trong đường tròn (O;R) cho dây cung di động AB có
độ dài không đổi l = R
√
3. Chứng minh rằng các trung
điểm I của AB thuộc một đường tròn cố định tâm O
bán kình r =
R
2
.
4. Cho đường tròn (O) có đường kính BC vuông góc với
dây cung AD tại H.
a) Chứng minh hai tam giác BAD,CAD cân và tứ giác
BACD có các góc đối diện bù nhau.
b) Chứng tỏ HB.HC = HA2 = HD2.
5. Trong đường tròn (O;R) có hai bán kính OA,OB vuông
góc nhau, M là trung điểm của AB.
a) Chứng minh OM⊥AB.
b) Tính đột dài AB,OM theo R.
9
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
c) Cho A,B di động nhưng vẫn có OA⊥OB. Chứng
minh các điểm M thuộc về một đường tròn cố định.
6. Trên đường trình (O;R) có ba điểm A,B,C sao cho tam
giác ABC cân tại A.
a) Cho trước A hãy vẽ B,C.
b) Chứng tỏ AO là tia phân giác của góc BAC và đường
thẳng AO là trung trực của BC.
c) Cho biết R = 5cm,AB = 8cm và gọi A′ là điểm đối
xứng của A qua O. Tính độ dài các đoạn thẳng BA′, BC.
7. Cho 4ABC đều có cạnh a, chiều cao AH.
a) Hãy vẽ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
b) Chứng tõ4OHB là nửa tam giác đều. Tính OH, h, a
theo bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
c) Dựa vào vị trí cùa H trên đường kính AD mà suy ra
một các vẽ tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên một đường
tròn cho trước.
8. Gọi I là trung điểm của dây cung không qua tâm AB
của đường tròn (O;R)
a) Chứng minh OI⊥AB
b) Qua I vẽ dây cung EF , chứng tỏ EF ≥ AB. Tìm độ
dài lớn nhất và nhỏ nhất của các dây cung quay quanh
I
c) Cho R = 5cm,OI = 4cm, tính độ dài dây cung ngắn
nhất qua I.
9. Cho điểm A cố định tron ... ác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I và
một đường thẳng 4 cắt AB,BC,CD,DA lần lượt tại
M,N,P,Q. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn
MN khi và chi khi nó là trung điểm của đoạn PQ.
4. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H.Gọi O là trung
điểm của BC. Đường thẳng 4 đi qua H cắt AB,AC
tại M,N . Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi
OM = ON .
5. Cho tứ giác ABCD có B̂AD = B̂CD = 90o. Gọi E là
giao của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng
trung điểm của đoạn thẳng nối tâm các đường tròn ngoại
tiếp các tam giác ABE,CDE cùng thuộc đường thẳng
BD.
6. (Định lí P-tô-lê-mê)
a) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Khi đó
55
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
AC.BD = AB.CD + AD.BC b) Cho tứ giác ABCD.
Khi đó: AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC
7. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn
(O;R) và ngoại tiếp đường tròn (I; r). Gọi x, y, z lần
lượt là khoảng cách từ O tới các cạnh của tam giác.
Chứng minh rằng: x+ y + z = R + r
8. Cho đường tròn (O) và dây cung BC khác đường kính.
Tìm điểm A thuộc cung lớn BC của đường tròn để AB+
2AC đạt giá trị lớn nhất.
9. Cho hai đường tròn (O1;R1) và (O2;R2) cắt nhau tại
hai điểm phân biệt A và B (O1, O2 nằm về hai phía của
AB). Một cát tuyến 4 qua A cắt (O1), (O2) lần lượt tại
các điểm C,D khác A (A thuộc đoạn CD). Tiếp tuyến
tại C của (O1) cắt tiếp tuyến tại D của (O2) ở M . Tìm
vị trí của 4 sao cho MC
R1
+
MD
R2
đạt giá trị lớn nhất.
10. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và
AC = 2AB. Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
(O) tại A,C cắt nhau tại P . Chứng minh rằng BP đi
qua điểm chính giữa của cung BAC.
11. (Đường thẳng Simson) Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn (O). Điểm M thuộc đường tròn (O). Gọi
A′, B′, C ′ lần lượt là hính chiếu của M trên các đường
thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng A′, B′, C ′ thẳng
hàng.
Đường thẳng trên được gọi là đường thẳng Simson ứng
với điểm M của tam giác ABC.
12. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm
M thuộc cung nhỏ BC, hạMB′ vuông góc với AC,MC ′
56
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
vuông góc với AB. Tìm vị trí của M để B′C ′ lớn nhất.
13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).M là điểm
thay đổi trên đường tròn. Gọi A′, B′, C ′ lần lượt là các
điểm đối xứng của M qua BC,AC,AB. Chứng minh
rằng:
a)A′, B′, C ′ thẳng hàng.
b)Đường thẳng đi qua A′, B′, C ′ luôn đi qua một điểm
cố định.
14. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm
M thuộc cung BC( cung không chứa A),M không trùng
với B và C. Gọi A′, B′, C ′ lần lượt là hính chiếu của M
trên BC,AC,AB. Chứng minh rằng:
a)
BC
MA′
=
CA
MB′
+
AB
MC ′
b) Đường thẳng B′C ′ đi qua trung điểm của đoạn nối
giữa trực tâm H của tam giác ABC với M .
15. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi dA là
đường thẳng Simson của tam giác BCD ứng với điểm A.
Các đường thẳng dB, dC , dD được định nghĩa một cách
tương tự. Chứng minh rằng bốn đường thẳng này đồng
quy.
16. Cho đường tròn (O) và đường thẳng 4 không cắt nó.
ĐiểmM thay đổi trên4, kẻ các tiếp tuyếnMT,MH với
(O). Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên 4 và E,F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT,MH.
Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng TH đi qua một điểm cố định.
b) Đường thẳng EF đi qua một điểm cố định.
57
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
Ôn tập hình học phẳng
1. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), Â = 45o, các
đường cao BE,CF .
a) Chứng minh rằng 5 điểm B,E,O, F, C cùng thuộc
một đường tròn.
b) Tứ giác BFOE là hình gì?
2. Cho hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau tại A và B,
trong đó điểm O thuộc đường tròn (O′). Qua A vẽ một
đường thẳng cắt đường tròn (O′) ở C và cắt đường tròn
(O) ở D. Chứng minh rằng tam giác CBD là tam giác
cân.
3. Cho điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (O) là
đường tròn đi qua A và B. Từ C vẽ đường vuông góc
với OA, nó cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh
rằng các độ dài AD,AE không đổi.
4. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE
cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BH.BD+CH.CE =
BC2.
5. Tam giác ABC có B̂ và Ĉ là các góc nhọn, đường cao
AH và trung tuyến AM không trùng nhau. Tính B̂AC
biết rằng B̂AH = M̂AC
6. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi (O)
là đường tròn tiếp xúc với AB tại B, tiếp xúc với AC
tại C. Gọi DE là một dây cung của đường tròn (O) đi
qua H. Chứng minh rằng:
a) ADOE là tứ giác nội tiếp.
b) B̂AD = ĈAE
58
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
7. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểmM , trên tia
đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = CM . Chứng
minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn
đi qua một điểm cố định khác A.
8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi
O′, O, I theo thứ tự là tâm các đường tròn nội tiếp tam
giác ABH,ACH,ABC. Chứng minh rằng:
a) AI⊥OO′
b) IO′.IB = IO.IC
c) Nếu tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC cố định
thì đường vuông góc kẻ từ A đến OO′ đi qua một điểm
cố định.
9. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O
(AB > AC). Đường cao AD của tam giác cắt đường
tròn tại K. Gọi F là điểm đối xứng của A qua O. Hạ
OM⊥BC và kéo dài OM cắt đường tròn tại E. Đường
cao CK cắt đường cao AD tại H. Chứng minh rằng:
a) BEKC là hình thang cân và FK = 2MD
b) AE là phân giác của góc FAK
c) H và K đối xứng nhau qua BC.
d) H và F đối xứng nhau qua M . Suy ra AH = 2MO
10. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi M là
trung điểm BC. Trung trực Mx của BC cắt AC tại D.
a) Chứng minh: A,D,M,B cùng nằm trên một đường
tròn.
b) Chứng minh : BC2 = 2.CA.CD
c) Gọi E là điểm đối xứng của D qua A, gọi N là giao
điểm của MA và BE. Chứng minh: BN = AC
11. Cho hai đường tròn tâm O và O′ tiếp xúc ngoài nhau
tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài CD. Tiếp tuyến chung
59
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
tại A cắt CD tại B. Chứng minh rằng:
a) Đường tròn qua A,C,D tiếp xúc với OO′ tại A.
b) Đường tròn qua O,B,O′ tiếp xúc CD tại B.
12. Cho đường tròn tâm O đường kính AC và đường tròn
tâm O′ đường kính CB tiếp xúc nhau tại B. Giả sử
AC > BC. Lấy M là trung điểm của AB. Đường thẳng
qua M vuông góc với AB cắt (O) tại D và E. Gọi I là
giao điểm của CD với (O′) ( I khác C). Chứng minh
rằng:
a) B, I, E thẳng hàng.
b) MI là tiếp tuyến tại I của đường tròn (O′)
13. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
các cạnh BC,AB,AC lần lượt tại D,E, F . Đường tròn
tâm K bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC tiếp
xúc với BC tại L, với AB kéo dài tại M , với AC tại N .
a) Chứng minh trung điểm P của BC cũng là trung
điểm của LD
b) Gọi Q kà trung điểm của AD. Chứng minh P, I,Q
thẳng hàng.
14. *Cho tam giác nhọn ABC. Các đường caoAD,BE,CF
cắt nhau tại H.
a) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
DEF .
b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC, p là nửa chu vi tam giác DEF .
(a) Chứng minh OA⊥EF
(b) Tính diện tích tam giác ABC theo p và R
60
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
15. Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O qua A cắt
cạnh AB tại K, cắt cạnh BC tại N ( O ở miền trong
4ABC). Đường tròn tâm O1 qua A,B,C và đường tròn
tâm O2 qua B,K,N cắt nhau tại B và M .
a) Chứng minh BO1OO2 là hình bình hành.
b) Gọi I là giao điểm của O1O2 và BO. Chứng minh
rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMO.
16. Tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120o. Lấy các cạnh
của tam giác ABC làm cạnh, dựng ra phía ngoài tam
giác các tam giác đều ABD,ACE,BCF .
a) Chứng minh rằng ba đường tròn ngoại tiếp các tam
giác ấy cùng đi qua một điểm K.
b) Gọi M,N,P là tâm các đường tròn nói trên. Tam
giác MNP là tam giác gì?
c) Chứng minh AF = BE = CD = KA+KB +KC
17. Cho hình thang cân ABCD ( AB//CD), điểmM thuộc
đáy CD. Gọi (O) là đường tròn đi qua M và tiếp xúc
với AD tại D. Gọi (O′) là đường tròn đi qua M và tiếp
xúc với AC tại C. Hai đường tròn (O) và (O′) cắt nhau
tại E ( khác M). Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn.
b) Ba điểm E,M,B cùng thuộc một đường tròn.
18. Cho đường tròn (O), dây cung AB. Điểm M di chuyển
trên cung lớn AB. Vẽ hai đường tròn (O1) qua M và
tiếp xúc với AB tại A, (O2) qua M và tiếp xúc AB tại
B. Gọi N là giao điểm của (O1) và (O2), MN cắt (O)
tại P .
a) Tứ giác ANBP là hình gì? b) Xác định vị trí của
M để tứ giác ANBP có diện tích lớn nhất? Chu vi lớn
nhất?
61
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
19. Cho hình vuông ABCD có cạnh 1. ĐiểmM là một điểm
thay đổi thuộc đường chéo BD. (I) là đường tròn tâm
M tiếp xúc với AD,CD. (K) là đường tròn qua M và
tiếp xúc với AB,BC.
a) Chứng minh rằng tổng chu vi của hai đường tròn
không đổi.
b) Tìm vị trí của M để tổng diện tích của hai đường
tròn là nhỏ nhất.
20. Cho (O), dây AB. M là một điểm chuyển động trên
cung lớn AB. H là hình chiếu củaM trên AB. Gọi E,F
là hình chiếu của H trên MA,MB.
a) Chứng minh rằng đường thẳng d qua M và vuông
góc với EF luôn qua một điểm cố định.
b) d cắt AB tại D. Chứng minh rằng:
MA2
MB2
=
AH
BH
.
AD
BD
21. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). H là trung điểm
của BC. I là hình chiếu của H trên AC. Đường tròn
đường kính AB cắt BI tại D. Chứng minh AD đi qua
tâm HI.
22. Cho tam giác ABC cân tại A. D và E là hai điểm thay
đổi trên cạnh AB,AC sao cho DE = DB + CE. Phân
giác D̂BE cắt BC tại lấy F thuộc đoạn DE sao cho
DF = BD.
a) Chứng minh IFEC là tứ giác nội tiếp.
b) DI⊥EI
c) DI đi qua một điểm cố định.
23. Cho đường tròn (K), A là một điểm nằm ngoài (K).
Dựng hai tiếp tuyến AB,AC với (K). Một đường thay
đổi luôn tiếp xúc với (K) tại F (F thuộc cung nhỏ BC)
cắt AB,AC tại D,E. KD,KE cắt BC tại I, J .
62
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
a) Chứng minh IDEJ là tức giác nội tiếp.
b)
IJ
DE
không đổi.
24. Cho BC là dây cung cố định của (O). A là điểm trên
cung lớnBC sao cho4ABC nhọn. Các đường caoBD,CE
của 4ABC cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (H;HA) cắt
AB,AC lần lượt tại M,N . Chứng minh rằng:
a) OA⊥DE
b) Đường thẳng qua A vuông góc với MN đi qua điểm
cố định.
c) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một
điểm cố định.
25. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một
điểm thuộc đoạn AB. Qua C vẽ CD vuông góc AB
( D ∈ (O)). Đường tròn (I) tiếp xúc CD,AB và (O) tại
K,E, F .
a) Chứng minh F,K,B thẳng hàng.
b) Chứng minh BE = DB.
26. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường
tròn (I) bất kì đi qua B,C và cắt cạnh AB,AC tại
M,N . Đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác AMN cắt
(O) tại D. Chứng minh rằng:
a) OA⊥MN
b) AKIO là hình bình hành.
c) ÎDA = 90o
27. Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. A là một điểm
thay đổi trên nửa đường tròn. AH là đường cao của tam
giác ABC. Phân giác góc B̂AC cắt (O) tại K.
a) Đặt AH = x. Tính diện tích tam giác AHK theo
R, x.
63
Bài tập hình học lớp 9 TTBDVH: Lửa Việt
b) Chứng minh AH2 +HK2 không phụ thuộc vào vị trí
điểm A.
c) Cho
AH
HK
=
√
3
5
. Tính B̂.
64