Bài tập Hình học Lớp 9 - Các dạng bài tập Đường tròn

Chương
2 Đường tròn
Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của
đường tròn
§1
Tóm tắt lí thuyết1
1.1 Định nghĩa đường trònĐịnh nghĩa 3.
Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều
điểm O một khoảng không đổi bằng R.
Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là (O;R), ta cũng có thể kí hiệu
là (O) khi không cần chú ý đến bán kính. O
R
Nhận xét. Cho đường tròn (O;R) và một điểm M . Khi đó
 M nằm trên (O;R) khi và chỉ khi OM = R.
 M nằm bên trong (O;R) khi và chỉ khi OM < R.
 M nằm bên ngoài (O;R) khi và chỉ khi OM > R.
M1
O
M3
M2
R
1.2 Cách xác định đường tròn
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó.
2. Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.
3. Qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
O
R
O
A B
R R
A
O
B C
427
428
1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
1.3 Tính chất đối xứng của đường tròn
Tính chất 2. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của
đường tròn đó.Tính chất 3. Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng
của đường tròn.
A A′
O
A
B
C
O
C ′
4! 23. Đường tròn có một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng.
Các ví dụ2
b Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua
ba đỉnh của tam giác ABC.
L Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM =
BC
2
.
Suy ra MA = MB = MC =
BC
2
.
Vậy đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC có tâm là điểm M và
bán kính R =
BC
2
.
A
M
B C

b Ví dụ 2. Chứng minh rằng, nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường
tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó thì tam giác đó là tam giác vuông.
L Lời giải.
Xét tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O) đường kính BC.
Ta có OA = OB = OC (vì là bán kính của (O)).
Lúc đó AO là trung tuyến ứng với cạnh BC và AO =
BC
2
.
Vậy ABC là tam giác vuông tại A.
A
O
B C
4! 24. Đường tròn qua ba đỉnh của một tam giác vuông thì nó có tâm là trung điểm của cạnh
huyền và bán kính bằng phân nửa độ dài cạnh huyền. Ngược lại, một đường tròn đi qua ba đỉnh
của một tam giác nhận một cạnh của tam giác đó là đường kính thì tam giác đó là tam giác
vuông.
Giáo viên: ....................................
429
Chương 2. Đường tròn

b Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính bán kính đường tròn đi qua ba
đỉnh của tam giác ABC.
L Lời giải.
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Dựng các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CA, các đường trung
trực này đồng quy tại O, suy ra O là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh
của tam giác ABC. Bán kính của đường tròn (O) là R = OA = OB = OC.
Vì ABC là tam giác đều nên các đường trung trực này cũng là các đường
trung tuyến của tam giác ABC. Suy ra O cũng là trọng tâm của tam giác
ABC.
A
M
B
P
C
N
O
Trong tam giác ABM vuông tại M ta có AM =
√
AB2 −BM2 =
a2 −
(a
2
)2
=
a
√
3
2
.
Lại có OA =
2
3
AM =
2
3
· a
√
3
2
=
a
√
3
3
.
Vậy bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC là R =
a
√
3
3
. 
b Ví dụ 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Chứng minh rằng
bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường
tròn đó.
L Lời giải.
Gọi O là giao điểm AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.
Mà ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD.
Do đó OA = OB = OC = OD hay bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một
đường tròn (O), bán kính R = OA =
AC
2
.
Tam giác ABC vuông tại B nên AC =
√
AB2 +BC2 =
√
122 + 52 = 13.
O
A
D
B
C
Suy ra R =
AC
2
= 6, 5 cm.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn (O) bán kính R = 6, 5 cm.
4! 25. Đường tròn qua bốn đỉnh của hình chữ nhật ABCD có tâm là giao điểm của hai đường
chéo và bán kính của nó bằng một nửa độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó.

b Ví dụ 5. Cho đường tròn (O) với hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Chứng
minh ABCD là hình vuông.
L Lời giải.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD là đường kính của đường tròn (O)
nên ABCD là hình chữ nhật.
Lại có AC ⊥ BD.
Vậy ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau nên
ABCD là hình vuông.
O
A
D
B
C

Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
430
1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
b Ví dụ 6. Cho hình thang cân ABCD với AB ∥ CD và AB > CD. Chứng minh rằng
bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
L Lời giải.
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Do ABCD là hình thang cân với hai đáy AB, CD nên MN đường
trung trực của AB, CD.
Gọi P là trung điểm của BC. Qua P dựng đường trung trực của
BC cắt MN tại O. Ta cần chứng minh OA = OB = OC = OD.
Thật vậy, vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB.
Mà MN cũng là trung trực của CD nên OC = OD.
Hơn nữa, O nằm trên đường trung trực của BC nên OB = OC.
M
A
O
D
B
C
N
P
Từ đó suy ra OA = OB = OC = OD.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn (O) bán kính R = OA. 
b Ví dụ 7. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(−1;−1),
B(−1;−2), C
Ä√
2;
√
2
ä
đối với đường tròn tâm O bán kính 2.
L Lời giải.
 OA là cạnh huyền trong tam giác vuông cân cạnh bằng 1
nên OA =
√
12 + 12 =
√
2 < 2, suy ra A nằm bên trong
đường tròn (O; 2).
 OB là cạnh huyền trong tam giác vuông có hai cạnh góc
vuông là 1; 2 nên OB =
√
12 + 22 =
√
5 > 2, suy ra B
nằm bên ngoài đường tròn (O; 2).
 OC là cạnh huyền trong tam giác vuông cân cạnh bằng
√
2
nên OC =
»√
2
2
+
√
2
2
= 2, suy ra C nằm trên đường
tròn (O; 2).
x
y
O
A
B
C
−1
−1
−2
√
2
√
2

b Ví dụ 8. Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc tia Ax. Dựng đường tròn (O) đi
qua điểm B và C sao cho tâm O nằm trên tia Ay.
L Lời giải.
Giả sử đã dựng được (O) thỏa mãn đề bài. Khi đó OB = OC bằng
bán kính, nên O nằm trên đường trung trực d của BC.
Lại có O thuộc Ay nên O là giao điểm của d và Ay.
Cách dựng. Dựng đường trung trực d của BC cắt Ay tại O. Dựng
đường tròn tâm O bán kính OB thì đó là đường tròn phải dựng (như
hình vẽ).
A B C
y
O
M
d
x

b Ví dụ 9. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình
tròn đó.
Giáo viên: ....................................
431
Chương 2. Đường tròn
L Lời giải.
Cách 1. Trên đường tròn của tấm bìa lấy ba điểm A, B, C không trùng
nhau.
Nối A với B và B với C.
Dựng các đường trung trực của AB, BC chúng cắt nhau tại O, khi đó O
là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC hay O là tâm
của tấm bìa hình tròn.
A
B C
O
Cách 2. Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp
là một đường kính.
Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai.
Giao điểm của hai đường kính này là tâm của tấm bìa hình tròn.
A
O
B
C
D

b Ví dụ 10. Cho tứ giác ABCD có Ĉ + “D = 90◦. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm
của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm M , N , P , Q cùng thuộc một đường
tròn.
L Lời giải.
Gọi I là giao điểm của AD và BC.
Vì Ĉ + “D = 90◦ nên D̂IC = 90◦.
Do M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB,
BD, DC và CA nênMN , NP , PQ, QM lần lượt là
đường trung bình của tam giác ABD, BCD, ACD,
ABC.
Suy ra MN ∥ AD, PQ ∥ AD, MQ ∥ BC, NP ∥
BC do đó MN ∥ PQ, NP ∥MQ.
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.
1 2
1 2
I
B
Q
N
P
A
D C
M
Lại có
{
M̂1 = Î1
M̂2 = Î2
(góc đồng vị).
Khi đó N̂MQ = M̂1 + M̂2 = Î1 + Î2 = 90
◦.
Do đó MNPQ là hình chữ nhật.
Theo ví dụ 4 thì bốn điểm M , N , P , Q cùng thuộc một đường tròn. 
Luyện tập3
} Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 12 cm, chiều cao AH = 4 cm. Tính bán kính của
đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.
L Lời giải.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
432
1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là đường
trung trực của đoạn BC.
Qua trung điểm M của AB kẻ đường trung trực của AB cắt
đường thẳng AH tại O. Khi đó O là tâm của đường tròn đi qua
ba đỉnh của tam giác ABC.
Bán kính của đường tròn (O) là R = OA = OB.
Tam giác BOH vuông tại H nên
BO2 = BH2 +OH2 ⇔ BO2 =
Å
BC
2
ã2
+ (OA− AH)2
⇔ R2 = 36 + (R− 4)2
⇔ 8R = 52
⇔ R = 6, 5.
A
O
B C
H
M
Vậy bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC bằng 6, 5 cm. 
} Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O). Đường cao AH cắt
(O) ở D. Biết BC = 24 cm, AC = 20 cm. Tính chiều cao AH và bán kính đường tròn (O).
L Lời giải.
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là đường trung trực
của đoạn BC, suy ra H là trung điểm của đoạn BC.
Tam giác ACH vuông tại H nên
AH =
√
AC2 − CH2 =
√
202 − 122 = 16 cm.
Tam giác ACD có AD là đường kính nên tam giác ACD vuông tại C.
Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông ACD ta có
AC2 = AD · AH ⇔ AD = AC
2
AH
⇔ AD = 25 cm.
A
D
B
O
C
H
Vậy bán kính của đường tròn (O) là R =
AD
2
= 12, 5 cm. 
} Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (với AD ∥ BC) có AB = 12 cm, AC = 16 cm, BC = 20
cm. Chứng minh rằng A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn
đó.
L Lời giải.
Vì ABCD là hình thang cân với hai đáy AD, BC nên
AB = CD = 12 cm và BD = AC = 16 cm.
Gọi O là trung điểm của BC.
Xét tam giác ABC có
AB2 + AC2 = 122 + 162 = 202 = BC2.
Vậy tam giác ABC vuông tại A. Do đó ba đỉnh của tam giác
ABC cùng thuộc đường tròn (O).
Tương tự ta cũng có tam giác BCD vuông tại D. Do đó ba đỉnh
của tam giác BCD cùng thuộc đường tròn (O).
A D
O
B C
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O) bán kính R =
BC
2
= 10 cm. 
Giáo viên: ....................................
433
Chương 2. Đường tròn
} Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB, M , N thuộc (O) sao cho AM = BN và M , N
nằm trên hai nửa đường tròn khác nhau. Chứng minh MN là đường kính của (O).
L Lời giải.
Vì M , N thuộc đường tròn (O) nên tam giác ABM , ABN là
tam giác vuông lần lượt tại M , N .
Hai tam giác vuông ABM và ABN có AM = BN , AB là cạnh
chung nên hai tam giác này bằng nhau, suy ra BM = AN .
Vậy tứ giác AMBN có AM = BN và BM = AN nên AMBN
là hình bình hành. Hơn nữa ÂMB = 90◦. Do đó AMBN là hình
chữ nhật.
Vậy MN là đường kính của (O).
O
A
M
B
N

} Bài 5. Cho tứ giác ABCD có “B = “D = 90◦.
1. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
2. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
L Lời giải.
1.
Gọi O là trung điểm của AC.
Vì tam giác ABC vuông tại B nên ba đỉnh A, B, C cùng thuộc
đường tròn (O).
Vì tam giác ACD vuông tại D nên ba đỉnh A, C, D cùng thuộc
đường tròn (O).
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn (O) đường
kính AC ...  tại C, đường cao CH ta có:
CH2 = AH ·BH
⇔ CH2 = AC · cosA ·BC · sinA
⇔ CH2 = AC ·BC · sinA · cosA
⇒ Điều phải chứng minh.
2. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC ở D. Gọi I là trung điểm của AD. Chứng
minh đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xét 4ACD vuông tại C có I là trung điểm của cạnh huyền AD (giả thiết)
⇒ IA = IC = AD
2
.
Xét 4AIO và 4CIO có:
IA = IC (Chứng minh trên)
OA = OC (bán kính của đường tròn)
OI chung.
⇒4AIO = 4CIO (cạnh - cạnh - cạnh).
Giáo viên: ....................................
507
Chương 2. Đường tròn
⇒ ÎAO = ÎCO (2 góc tương ứng của 2 tam giác bằng nhau).
⇒ ÎCO = 90◦ ⇒ OC ⊥ IC hay IC là tiếp tuyến của (O).
Suy ra điều phải chứng minh.
3. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia IC ở K. Chứng minh IA · BK = R2. Ta có
IA, IC là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại I
⇒ IA = IC và OI là tia phân giác của ÂCO (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau).
⇒ IA = IC và ÎOC = ÂOC
2
.
Tương tự ta có KC = KB và K̂OC =
B̂OC
2
.
⇒ ÎOC + K̂OC = ÂOC
2
+
B̂OC
2
⇔ ÎOK = ÂOB
2
⇔ ÎOK = 180
◦
2
⇔ ÎOK = 90◦
⇔ 4IOK vuông tại O.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông 4IOK vuông tại O, đường cao OC ta có:
OC2 = IC ·KC
⇔ OC2 = IA ·BK
⇔ R2 = IA ·BK
⇒ điều phải chứng minh.
4. Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất. Ta có
4AIO = 4CIO (chứng minh trên).
Tương tự ta có: ⇒4KBO = 4KCO.
Suy ra SAIKB = 2 · (SCIO + SKOC) = 2 · SIOK = OC ·KI = R ·KI.
Mà KI ≥ AB ⇒ SAIKB ≥ R · AB = 2 ·R2.
Dấu bằng xảy ra ⇔ KI = AN ⇔ C là điểm chính giữa cung AB.
Vậy SAIKB đạt GTLN là 2R
2 khi C là điểm chính giữa cung AB.

} Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy C thuộc (O), gọi E là trung điểm BC. Tiếp
tuyến tại C của O cắt OE ở D.
1. Chứng minh 4ACB vuông và OE vuông góc với BC.
2. Chứng minh DB là tiếp tuyến của (O).
3. Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh CB ·OC = OD ·HC.
(Đề thi Toán 9 Học kỳ 1 năm học 2017-2018, Quận 12, HCM)
L Lời giải.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
508 8. Ôn tập chương 2
1. Vì C thuộc đường tròn đường kính AB nên ÂCB = 90◦
hay 4ABC vuông tại C.
Vì E là trung điểm BC nên OE ⊥ BC (liên hệ đường
kính và dây cung).
2. Tam giác OCB cân tại O có OE ⊥ BC nên OE cũng
là tia phân giác của góc BOC suy ra ĈOE = B̂OE.
Xét 4ODC và 4ODB có
OD là cạnh chung
OC = OD = R
ĈOE = B̂OE (cmt)
⇒4ODC = 4ODB (c.g.c)
⇒ D̂BO = D̂CO (hai góc tương ứng).
Mặt khác D̂CO = 90◦ (tính chất tiếp tuyến) nên
D̂BO = 90◦ hay DB ⊥ OB, mặt khác OB là bán
kính của (O).
Vậy DB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
OH
C
D
E
BA
c) Ta có ĈBH = ÔDB (cùng phụ góc D̂BE), mà ÔDC = ÔDB suy ra ÔDC = ĈBH.
Xét hai tam giác vuông CHB và OCD có ÔHC = ÔCD = 90◦ và ÔDC = ĈBH nên
4CHB v 4OCD (g.g)
suy ra
CH
OC
=
BC
OD
⇒ CH ·OD = OC ·BC (đpcm).

} Bài 5. Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By của đường
tròn (O).
1. Chứng minh Ax ∥ By.
2. Trên (O) lấy điểmM . Tiếp tuyến tạiM của đường tròn (O) lần lượt cắt Ax và By tại D,E.
Chứng minh DE = DA+BE.
3. Chứng minh D̂OE = 90◦ và DA ·BE = R2.
(Đề thi Toán 9 Học kỳ 1 năm học 2017-2018, Thủ Đức, Hồ Chí Minh)
L Lời giải.
a) Ax,By là 2 tiếp tuyến của nửa đường tròn ⇒ Ax ⊥
AB và By ⊥ AB ⇒ Ax ∥ By.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có
DA = DM và BE = EM . Suy raDE = DM+EM =
DA+BE.
D
A
E
B
M
O
x
y
Giáo viên: ....................................
509
Chương 2. Đường tròn
c) Cũng theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có ÂOD = D̂OM và M̂OE = ÊOB.
Mà ÂOD + D̂OM + M̂OE + ÊOB = ÂOB = 180◦.
Suy ra D̂OE = D̂OM + M̂OE =
1
2
ÂOB =
1
2
· 180◦ = 90◦.
Hơn nữa, DA ·BE = DM · EM = OM2 = R2.

} Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC
cắt cạnh BC tại D. Gọi H,K lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AD và DC.
1. Chứng minh tứ giác OHKD là hình chữ nhật.
2. Tia OH cắt cạnh AB tại E. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3. Tia OK cắt đường thẳng DE tại N và cắt đường tròn tâm O tại I. Gọi S là giao điểm của
OB với AD. Đường thẳng đi qua S và vuông góc với AO cắt tia OH tại T. Chứng minh
AT vuông góc với BO và 3 điểm A, T,N thẳng hàng.
(Đề thi Toán 9 Học kỳ 1 năm học 2017-2018, Trần Đại Nghĩa, HCM)
L Lời giải.
A BE
N
C
K
M
ST D
O
H
1. Ta có OH ⊥ AD ⇒ ÔHD = 90◦; OK ⊥ CD ⇒ K̂DA = 90◦.
Mặt khác, tam giác ADC vuông tại D nên ĈDA = 90◦. Do đó tứ giác OHKD là hình chữ
nhật.
2. Ta có ÊDA = ÊAD (OE là trung trực của AD).
ÊAD = ÂCD (cùng phụ với góc ÂBC).
ÂCD = ĈDO (tam giác OAD cân).
Suy ra ÊDA = ĈDO.
Mặt khác ĈDO + D̂AO = 90◦ ⇒ ÊDO = ÂDO + ÂDO = ÂDO + ÊDA = 90◦.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3. Tam giác AOS có OH và ST là hai đường cao cắt nhau tại T nên T là trực tâm
⇒ AT là đường cao tam giác AOS hay AT ⊥ OB.
Gọi M là giao điểm của AT với OB. Để chứng minh A, T,N thẳng hàng ta cần chứng minh
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
510 8. Ôn tập chương 2
MN ⊥ OB tại M .
Tam giác OAB vuông tại A có AM là đường cao ⇒ OM ·OB = OA2.
Tam giác OND vuông tại D có DK là đường cao ⇒ OK ·ON = OD2.
Vì OA = OD (bán kính đường tròn (O)) nên OM ·OB = OK ·ON ⇒ OM
ON
=
OK
OB
.
Xét tam giác OMN và tam giác OKB có B̂ON chung và
OM
ON
=
OK
OB
⇒ 4OMN v 4OKB ⇒ N̂MO = ÔKB = 90◦ ⇒ NM ⊥ OB.
Vậy A, T,N thẳng hàng.

} Bài 7. Cho đường tròn (O;R) đường tính AB. Qua điểm A kẻ tia tiếp tuyến Ax đến đường
tròn (O). Trên tai Ax lấy điểm C sao cho AC > R. Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn
(O) (M là tiếp điểm).
1. Chứng minh rằng bốn điểm A, C, O, M cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh rằng MB ∥ OC.
3. Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng BC ·BK = 4R2.
4. Chứng minh rằng ĈMK = M̂BC.
(Đề thi Toán 9 Học kỳ 1 năm học 2017-2018,Bắc Từ Liêm, Hà Nội)
L Lời giải.
A
C
x
B
M
O
K
I
1. Gọi I là trung điểm của OC.
Tam giác vuông CAO có AI là đường trung tuyến nên AI = IO = IC. (1)
Tương tự MI = IO = IC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra IC = IO = IA = IM .
Vậy bốn điểm A, C, O, M cùng thuộc một đường tròn đường kính OC.
Giáo viên: ....................................
511
Chương 2. Đường tròn
2. Ta có
®
CA = CM
OA = OM = R
⇒ OC là đường trung trực của AM ⇒ OC ⊥ AM . (1)
Mặt khác, tam giác AMB có OM là đường trung tuyến và OM =
1
2
AB nên 4AMB vuông
tại M ⇒ BM ⊥ AM . (2)
Từ (1) và (2) suy ra MB ∥ OC.
3. Vì CA là tiếp tuyến của (O;R) đường kính AB (giả thiết) ⇒ ĈAB = 90◦ hay tam giác
ABC vuông tại A.
K thuộc (O;R) đường kính AB ⇒ ÂKB = 90◦ hay AK ⊥ BC ⇒ AK là đường cao của
4ABC.
Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông ta có:
AB2 = BK ·BC
⇔ BC ·BK = 4R2.
Suy ra điều phải chứng minh.
4. Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông ta có:
AC2 = CK · CB.
Mà AC = CM
⇒ CM2 = CK · CB
⇒ CK
CM
=
CM
CB
⇒ 4CKM v 4CMB (cạnh - góc - cạnh)
⇒ ĈMK = M̂BC.

} Bài 8. Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ
tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn
(O;R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH
vuông góc với MO tại H.
1. Tính OH ·OM theo R.
2. Chứng minh: Bốn điểm M,A, I, O cùng thuộc một đường tròn.
3. Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
(Kiểm tra Học kì 1 Toán 9, Đề A, Sở GDĐT Tỉnh Thanh Hóa, năm 2016)
L Lời giải.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
512 8. Ôn tập chương 2
A
O
C
D
M
I
H
K
1. Xét tam giác AMO vuông tại A có AH ⊥MO ⇒ OH ·OM = OA2 = R2.
2. Xét đường tròn (O) có I là trung điểm dây CD ⇒ OI ⊥ CD.
Do đó I thuộc đường tròn đường kính OM. (1)
Mặt khác ta lại có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OA ⊥ AM.
Do đó A thuộc đường tròn đường kính OM. (2)
Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, I,O,M thuộc đường tròn đường kính OM.
3. Xét 4OHK và 4OIM có:
ÔHK = ÔIM = 90◦; Ô chung.
⇒4OHK v 4OIM (g.g).
Suy ra
OH
OI
=
OK
OM
⇒ OI.OK = OH.OM = AO2 = OC2
⇒ OI
OC
=
OC
OK
⇒4OCK v 4OIC (c.g.c) ⇒ ÔCK = ÔIC = 90◦.
⇒ OC ⊥ KC, mà C thuộc đường tròn (O).
Do đó KC là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm).

} Bài 9. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa
đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là
tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng
1. ÂCB = 90◦.
2. BC ∥ OM .
3. MB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
(Kiểm tra Học kì 1 Toán 9, Vĩnh Long, năm 2017)
L Lời giải.
Giáo viên: ....................................
513
Chương 2. Đường tròn
I
A
M
B
N
C
HO
1. Tam giác ABC có CO là đường trung tuyến và CO =
1
2
AB nên tam giác ABC vuông tại
C, do đó ÂCB = 90◦.
2. Có MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) suy ra 4MAC cân tại M , mà MO là
phân giác của ÂMC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), nên MO cũng là đường cao của
tam giác MAC. Do đó MO⊥AC. Lại có BC⊥AC (ABC vuông tại C) ⇒ BC ∥ OM .
3. MB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.
Gọi I là giao điểm của đường thẳng BC với Ax và N là giao điểm của MB với CH.
Trong tam giác ABI có OA = OB (bán kính) và OM ∥ BI (vì OM ∥ BC, I ∈ BC)
⇒MA = MI. (1)
Mà CH ∥ AI (cùng vuông góc với AB), do đó
NH
MA
=
BN
BM
và
NC
MI
=
BN
BM
(hệ quả định lý Ta-let) ⇒NH
MA
=
NC
MI
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra NH = NC hay BM đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

} Bài 10. Hai đường tròn (O;R) và (O′; r) tiếp xúc ngoài tại A (R > r). Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O′). Gọi M là trung điểm của OO′. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ
từ M đến BC.
1. Tính số đo góc OHO′.
2. Chứng minh rằng OH là tia phân giác của góc AOB.
3. Chứng minh rằng AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O′).
4. Cho R = 5 cm, r = 2 cm. Tính độ dài BC.
Tài liệu Toán 9 này là của: ....................................
514 8. Ôn tập chương 2
L Lời giải.
B
H
C
O M O′A
1
2
1. Vì

OB ⊥ BC
O′C ⊥ BC
MH ⊥ BC
⇒ OB ∥ O′C ∥MH.
Hình thang OBCO′ có MO = MO′, MH ∥ OB ∥ O′C nên HB = HC và MH là đường
trung bình.
Suy ra MH =
OB +O′C
2
=
OA+O′A
2
=
OO′
2
.
Tam giác OHO′ có MH = MO = MO′ nên ÔHO′ = 90◦.
2. OB ∥MH nên Ô1 = ÔHM (so le trong).
Tam giác MOH cân tại M nên Ô2 = ÔHM . Suy ra Ô1 = Ô2.
Vậy OH là tia phân giác của góc AOB.
3. 4AOH = 4BOH (c.g.c) nên ÔAH = ÔBH = 90◦. AH vuông góc vơi OA tại A nên là
tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O′).
4. Tam giác OHO′ vuông tại A, đường cao HA nên HA2 = OA · O′A = 5 · 2 = 10. Suy ra
HA =
√
10. Do đó BC = 2HA = 2
√
10 cm.

Giáo viên: ....................................