Bài tập Hình học Lớp 9 theo chủ đề

1 
CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC LIÊN HỆ TRONG ∆ VUÔNG 
Cạnh góc vuông – Cạnh huyền – Đường cao – Hình chiếu cạnh góc vuông 
 Cạnh huyền: BC 
 Cạnh góc vuông AB, có hình chiếu lên cạnh 
huyền là BH 
 Cạnh góc vuông AC, có hình chiếu lên cạnh 
huyền là CH 
 Đường cao AH. 
1/ Hệ thức: Cạnh góc vuông – cạnh huyền (Định lý 
Pitago). 
 BC2 = AB2 + AC2 
 Trong tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài 
hai cạnh góc vuông. 
2/ Hệ thức: Cạnh góc vuông – cạnh huyền – hình chiếu của cạnh góc vuông 
 AB2 = BC . BH AC2 = BC . CH 
 Trong tam giác vuông, bình phương độ dài mỗi cạnh góc vuông bằng tích độ dài cạnh 
huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền. 
3/ Hệ thức: Đường cao – hình chiếu của cạnh góc vuông. 
 AH2 = BH . CH 
 Trong tam giác vuông, bình phương độ dài đường cao bằng tích độ dài hình chiếu của 
hai canh góc vuông lên cạnh huyền. 
4/ Hệ thức: Đường cao – cạnh góc vuông. 
 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= + 
 Trong tam giác vuông, nghịch đảo bình phương độ dài đường cao bằng tổng nghịch đảo 
bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. 
4/ Hệ thức: Đường cao – cạnh góc vuông – cạnh huyền. 
 AB . AC = BC . AH 
 Trong tam giác vuông, tích độ dài hai cạnh góc vuông bằng tích độ dài cạnh huyền với 
đường cao tương ứng. 
A
B C
H
2 
CÁC DẠNG TOÁN 
DẠNG 1: Tính độ dài CẠNH – ĐƯỜNG CAO – HÌNH CHIẾU trong tam giác vuông. 
I/ Phương pháp. 
 Đây là những bài toán chúng ta sẽ tính toán trực tiếp trong một tam giác vuông cho 
trước. Để giải bài toán này ta làm như sau: 
 - Xác định bài yêu cầu tính: “cạnh góc vuông” hay “đường cao” hay “hình chiếu của 
cạnh góc vuông”? 
 - Kiểm tra bài đã cho dữ kiện nào. 
 - Xác định hệ thức liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tính. 
II/ Bài tập vận dụng. 
* Bài tập cho trước hình vẽ: 
Bài 1: (Trang 68 SGK – Toán 9): Tìm x và y trong mỗi hình sau: 
Bài 2: (Trang 68, 69 SGK – Toán 9): Tìm x và y trong hình sau: 
 a) b) 
 c) d) 
* Bài tập không cho hình vẽ. 
3 
Bài 3. 
 a) Biết tỉ số các cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5:6 ; cạnh huyền 122cm. Tính 
độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền. 
 a) Biết tỉ số các cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 3:7 ; đường cao ứng với cạnh 
huyền là 12cm. Tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh góc vuông lên cạnh huyền. 
Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 4cm, AC = 7,5cm. Tính HB, HC. 
Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 15cm, HC = 16cm. Tính BC, AC, 
AH. 
Bài 6. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AH = 12cm, BC = 25cm. Tính AB, AC. 
Bài 7. Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 6cm, BH = 3cm. Tính AH, AC, 
CH. 
Bài 8. Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính diện tích ∆ABC biết AH = 12cm, BH = 
9cm. 
Bài 9. Cho tam giác vuông, biết tỉ số giữa các cạnh góc vuông là 5
12
, cạnh huyền là 26. Tính độ 
dài các cạnh góc vuông và hình chiếu các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. 
Bài 10. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết 5
7
AB
AC
= . Đường cao AH = 15cm. Tính HB, HC. 
Bài 11. Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, 
1
4
HB
HC
= . 
DẠNG 2: Tam giác vuông liên quan tới các đường: phân giác, trung tuyến, trung trực. 
I/ Phương pháp. 
 - Trong tam giác vuông, các hệ thức của tam giác vuông vẫn được áp dụng. 
 - Chú ý: 
 + Đường phân giác => Tỉ lệ đoạn thẳng theo tính chất đường phân giác 
 + Đường trung tuyến liên quan tới trung điểm 
 + Đường trung trực thì liên quan tới vuông góc tại trung điểm. 
II/ Bài tập vận dụng. 
4 
Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH. Tính 
HD, HB, HC. 
Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A, phân giác AD, 3
7
=
BD
BC
, BC = 20. Tính AB, AC. 
Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại A, phân giác AD, gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D lên AB và 
AC. Biết BD = 3, DC = 4. Chứng minh ADEF là hình vuông, tính diện tích của nó? 
Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A, góc B > C. Trong góc ABC kẻ tia Bx tạo với BA một góc bằng 
góc C . Tia Bx cắt AC tại M. Gọi E là hình chiếu của M lên BC. Phân giác góc MEC cắt MC tại 
D. Biết 3
4
=
MD
DC
 và MC = 15cm. 
 a) Tính ME, CE. 
 b) Chứng minh AB2 = AM.AC 
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 24, AC = 32. Đường trung trực BC cắt AC, BC 
theo thứ tự tại D và E. Tính DE? 
Bài 6. Trong một tam giác vuông tỉ số giữa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh 
góc vuông là 40:41. Tính tỉ số độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó? 
Bài 7. Trong một tam giác vuông, phân giác của góc nhọn chia cạnh đối diện thành hai phần tỉ 
lệ với 4:5 và 3:5. Biết chu vi tam giác bằng 72. Tính các cạnh của tam giác đó? 
Bài 8. Trong một tam giác vuông, phân giác của góc vuông chia cạnh huyền thành hai phần có 
độ dài 1cm và 3cm. Hỏi đường cao tương ứng với cạnh huyền chia cạnh huyền theo tỉ số nào? 
Bài 9. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD ở I. 
Biết IB = 10 5 cm, ID = 5 5 cm, tính diện tích tam giác ABC. 
Hướng dẫn 
 Tính chất phân giác: AB BI BC AB2 ; 2
AD ID CD AD
= = = = 
 Đặt AD = x, CD = y => AB = 2x ; BC = 2y 
 ∆vADB có BD2 = AB2 + AD2 => x 
 ∆vABC có BC2 = AB2 + AC2 => y 
Từ đó => AB, AB => S∆ABC = 1 AB.AC2
DẠNG 3: Nhận biết tam giác vuông rồi dùng hệ thức tam giác vuông để tính. 
5 
I/ Phương pháp. 
 - Tính bình phương các cạnh của tam giác, nếu tổng bình phương hai cạnh bằng bình 
phương cạnh còn lại => tam giác đó vuông. 
 - Áp dụng các hệ thức của tam giác vuông để tính. 
II/ Bài tập vận dụng. 
Bài 1. Cho ∆ABC biết BC = 7.5cm, AC = 4.5cm, AB = 6cm. 
a) ∆ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của ∆ABC. 
b) Tính độ dài các cạnh BH, HC. 
Bài 2. Cho ∆ABC biết BC = 50cm, AC = 14cm, AB = 48cm. Tính độ dài phân giác góc C? 
DẠNG 4: Kết hợp tỉ số đồng dạng và hệ thức lượng để tìm dộ dài đoạn thẳng. 
I/ Phương pháp. 
 - Có thể gọi ẩn độ dài các đoạn thẳng cần tính. 
 - Từ tam giác đồng dạng => Tỉ số độ dài => liên hệ giữa các ẩn độ dài (1) 
 - Từ hệ thức lượng => Liên hệ giữa các ẩn độ dài (2) 
 - Từ (1) và (2), giải hệ tìm ra các ẩn độ dài. 
II/ Bài tập vận dụng. 
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 5 2 cm. Hình vuông ADEF cạnh 2cm có D thuộc 
AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Tính các độ dài AC, AB. 
Hướng dẫn 
 Đặt x = BD, y = FC. ∆BDE ~ ∆EFC => x 2
2 y
= 
 Lại có AB2 + AC2 = BC2 => (2 + x)2 + (2 + y)2 = 50 
 Từ hai phương trình trên giải tìm được x, y 
 => AC, AB 
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao 
ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. 
Hướng dẫn 
Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x 
Áp dụng định lí Pitago tính được AC = 2 215,6 x+ 
6 
2x
12
15,6
// //
K
H CB
 F
 E
 H B
 C
 A
Từ ∆KBC ∆HAC 
BC KB
AC AH
⇒ = hay 
2 2
2 12
15,615,6
x
x
=
+
Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 => x 
Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. 
a) Chứng minh 
3EB AB
FC AC
 =  
 
b) Chứng minh BC . BE . CF = AH3 
Hướng dẫn 
a) Trong AHB∆ có HB2 = BE . BA (1) ; 
 AHC∆ có HC2 = CF . CA (2 ) 
Từ (1) và (2) có : 
2
2 .
HB BE AB
HC FC AC
= . (1) 
Trong ABC∆ có: AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC 
 
2 42
2
HB AB HB AB
HC AC HC AC
   = ⇔ =   
   
 (2) 
Từ (1) và (2). Ta có : 
3EB AB
FC AC
 =  
 
. 
b) ABC∆ BE BHEBH
BA BC
∆ ⇒ = . 
Thay 
2 3
2
AB ABBH BE
BC BC
= → = (3) 
Tương tự ta cũng có 
3
2
ACCF
BC
= (4) . 
Từ (3) và (4) Ta có : BE .CF = 
3 3
4
.AB AC
BC
 . 
 Mà AB. AC = BC . AH nên BC . BE . CF = 
33 3
2 2
AB AC AB ACBC
BC BC BC
⋅ ⋅ ⋅ =  
 
 = AH3 
DẠNG 5: Kẻ thêm đường phụ để tạo yếu tố đặc biệt có liên quan. 
I/ Phương pháp. 
7 
 - Yếu tố đặc biệt thường gặp khi kẻ thêm hình: 
+ Tam giác cân (đều) có chứa cạnh cần tính. 
+ Tam giác vuông có chứa cạnh đã biết và cạnh cần tính. 
II/ Bài tập vận dụng. 
Bài 1: Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết AB = 5cm, 
IC = 6cm. Tính độ dài BC. 
Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác. Biết IB = 5
cm, IC = 10 cm. Tính các độ dài AB, AC. 
 Hướng dẫn bài 1, bài 2 chung một hình vẽ. 
 Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BI tại H và cắt AB tại D 
Bài 1: Có ∆CBD cân tại B => BC = BD 
 Góc HIC = góc IBC + góc ICB = 45o (góc ngoài tại I) 
 Tính được HC => Tính được DC = 2HC = 
Gọi x = BC = BD => AD = x – 5 
Ta có: AC2 = x2 - 25 và DC2 = AD2 + AC2 => x = 
Bài 2: Có ∆CBD cân tại B => HC = HD 
Góc HIC = góc IBC + góc ICB = 45o (góc ngoài tại I) 
 Tính được HC = HI = HD => Tính được DC = 2HC và BH = IB + HI 
∆DHB ~ ∆DAC => Tính được DA
AC
 => AC theo AD 
Có AC2 + AD2 = CD2 => AC = 
Có BC2 = BH2 + HC2 = BA2 + AC2 => AB = 
Bài 3: Tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường 
phân giác của góc A và góc B. Biết IA = 2 5 cm, IB = 3cm. Tính độ 
dài AB. 
Hướng dẫn 
 Ở bài này: Nếu kẻ AH ⊥ phân giác BI tại H thì ∆AHI không 
phải là ∆ cân như bài 1, bài 2 ở trên, Nhưng nếu kẻ đường vuông góc 
với AB tại A và cắt BI tại K thì ∆IAK cân tại A. 
 ∆IAK cân tại A => AK = AI = 2 5 
 Đặt x = HK => IK = 2HK = 2x => BK = BI + IK = 3 + 2x 
8 
 ∆vAKB có AK2 = KH.KB => x.(3 + 2x) = 20 => x => BH và BK 
 AB2 = BH.KB = 
DẠNG 6: Các bài toán về tứ giác có dùng hệ thức của tam giác vuông để tính toán, chứng 
minh. 
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD, qua A kẻ đường vuông góc với BD tại H. Biết AB = 20, AH = 
12. Tính chu vi hình chữ nhật ABCD. 
Bài 2. Cho hình vuông ABCD,   90oA D= = , AB = 15cm, áp dụng các đường chéo AC và BD 
vuông góc với nhau tại O, tính: 
a) OB, OD, AC 
c) Diện tích hình vuông ABCD. 
Bài 3. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết AB = 45cm, cạnh đáy CD = 10cm, BC = 
37cm. Tính chiều cao và diện tích hình thang. 
Bài 4. Cho hình thang ABCD có chu vi là 52cm, đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD và BC, đáy 
lớn DC = 22cm. Tính chiều cao hình thang. 
Bài 5. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. 
Chứng minh: 2 2 2 2AD BC AB CD+ = + 
Bài 6. Cho hình thang ABCD có   90oB C= = . Hai đường chéo vuông góc với nhau tại H. Biết 
AB = 3 5 cm, HA = 3cm. Chứng minh: 
a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8 
b) 2 2 2 2
1 1 1 1
− = −
AB CD HB HC
1 
CHỦ ĐỀ 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 
 TRONG TAM GIÁC VUÔNG. 
 Xét góc nhọn α trong tam giác vuông ABC 
 Cạnh AB kề với góc α 
Cạnh AC đối diện góc α 
 Cạnh huyền BC. 
1/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông. 
 * Có bốn tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: 
 doisin
huyen
α = kecos
huyen
α = 
 doitg
ke
α = kecotg
doi
= 
 * Chú ý: 
 - Tỉ số lượng giác của góc nhọn luôn dương. 
 - Muốn có tỉ  ... n tia Ax thì trực tâm H của ∆MAB chạy trên một đường 
tròn cố định. 
Bài 11: Cho (O) đường kính AB cố định. Hai tia Ax và Ay thay đổi cắt đường tròn (O) tại M và 
N sao cho góc xAy bằng 45o. BM cắt Ay tại E, BN cắt Ax tại F. 
 a) Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp. 
 b) Tính độ dài MN theo R 
 c) Chứng minh EF luôn song song với một đường thẳng cố định và có độ dài không đổi. 
4 
 c) Khi góc xAy quay quanh A, hãy chứng minh trung điểm của EF thuộc một đường tròn 
cố định. 
Bài 12: Cho hai đường tròn (O ; R) và (O1 ; R1) cắt nhau tại A và B, đường thẳng đi qua B và 
vuông góc với AB cắt (O) , (O1) lần lượt tại C và D. Gọi E là một điểm thuộc cung nhỏ BC của 
(O), đường thẳng BE cắt (O1) tại điểm thứ hai là F. Hai đường thẳng CE và DF cắt nhau tại M. 
Gọi N là giao điểm của AM và (O1). 
 a) Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếp. 
 b) Chứng minh BN // CM 
 c) Gọi K là điểm đối xứng của D qua F. Chứng minh rằng K thuộc một đường tròn cố 
định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC của (O). 
BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH LỚP 9 – PS 6 
 CHỦ ĐỀ: TÌM VỊ TRÍ ĐIỂM ĐỂ TAM GIÁC, TỨ GIÁC 
 CÓ DIỆN TÍCH (CHU VI) ĐẠT Max hoặc Min 
Bài 1. Cho nửa đường tròn (O ; R) và hai đường kính MN và PQ vuông góc với nhau. Lấy điểm 
A trên cung nhỏ PN, PA cắt MN tại B, AQ cắt MN tại E 
1) Chứng minh tứ giác OABQ là tứ giác nội tiếp 
2) Nối AM cắt PQ và PN lần lượt tại C và I. Chứng minh rằng: MC . MA không đổi khi 
A di chuyển trên cung nhỏ PN. 
3) Chứng minh : 2IN EN= 
4) Tìm vị trí của điểm A để diên tích tam giác ACE đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. 
1) Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp; 
2) Chứng minh AF.AB = AE.AC. 
3) BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN. 
4) Giả sử B,C cố định; A thay đổi. Tìm vị trí của A sao cho tam giác AEH có diện tích 
lớn nhất. 
Bài 3. Cho (O;R) đường kính AB cố định. Dây CD di động vuông góc với AB tại điểm H nằm 
giữa hai điểm A và O. Lấy điểm F thuộc cung AC nhỏ; BF cắt CD tại E; AF cắt tia DC tại I. 
1) Chứng minh rằng: Tứ giác AHEF là tứ giác nội tiếp 
2) Chứng minh rằng: HA.HB = HE.HI 
3) Đường tròn ngoại tiếp IEF∆ cắt AE tại điểm thức hai M. Chứng minh: M thuộc (O;R) 
4) Tìm vị trí của H trên OA để OHD∆ có chu vi lớn nhất. 
Bài 4. Cho đường tròn (O; R). Một đường thẳng d không qua O cắt đường tròn (O) tại 2 điểm A 
và B. Trên đường thẳng d lấy điểm C sao cho CA < CB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với 
đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng qua O vuông góc với AB tại H cắt CN tại K 
1) Chứng minh O, C, H, N cùng thuộc một đường tron. 
2) Chứng minh KN.KC = KO.KH 
3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nột tiếp ∆CMN. 
4) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và 
F. Xác định vị trí của C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất. 
Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R , dây BC cố định . Gọi A là điểm chính giữa cung nhỏ 
BC . E thuộc cung lớn BC . Nối AE cắt BC tại D . Gọi I Là trung điểm của BC , hạ CH vuông 
góc với AE tại H . Đường thẳng BE cắt CH tại M 
a) Chứng minh rằng : A , I , H , C cùng thuộc đường tròn 
b) Chứng minh: AD.AE = AB2 
c) Cho BC = R 3 . Tính AC 
d) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác MAC lớn nhất 
Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R. Dây cung BC thuộc đường tròn sao cho BC < 2R. 
Điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi AD, BE, CF là 3 đường cao của tam giác ABC, H là 
trực tâm. 
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn, tìm tâm I của đường tròn đó 
b) Chứng minh tiếp tuyến tại E của đường tròn I luôn đi qua 1 điểm cố định 
c) Tìm vị trí của A để tam giác AEF có diện tích lớn nhất 
Bài 7: Cho (O;R) và dây BC cố định không đi qua O. Từ A thuộc tia đối của tia BC vẽ các tiếp 
tuyến AM,AN với (O) (M, N là tiếp điểm,M thuộc cung nhỏ BC). Gọi I là trung điểm của 
BC,MI cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Gọi giao của MN với OI là K. Tìm vị trí của A để diện tích 
tam giác ONK lớn nhất 
Bài 8: Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường 
tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất 
kì trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M với nửa đgờng tròn Ax, By lần lượt ở C, D. 
a) Chứng minh AC.BD = R^2 
b) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB 
c) Chứng minh MN song song với AC 
d) Tìm vị trí của M trên nửa đgờng tròn (O) để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất 
Bài 10: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH ⊥
BC. Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E. 
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10 
b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn. 
c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO2O1 đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó. 
Bài 11:Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và 
cùng vuông góc với đường thẳng AB. M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON = 
900. 
1) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
2) Chứng minh AM . AN = 
4
2AB . 
3) Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 12: Cho đường tròn cố định tâm O, bán kính R. Tam giác ABC thay đổi và luôn ngoại tiếp 
đường tròn (O). Một đường thẳng đi qua tâm O cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M và N. Xác 
định giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN. 
Bài 13: Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn. 
Kẻ CH vuông góc với AB. Gọi I là trung điểm của AC,OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn 
tại M,MB cắt CH tại K. Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN? Tìm GTLN 
đó theo R 
Bài 14: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. M là 
một điểm thuộc đường thẳng d . Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn. Hạ OH vuông 
góc với d tại H. Nối AB cắt OM tại I, OH tại K. Tia OM cắt đường tròn (O;R) tại E 
a) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB 
b) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có diên tích lớn nhất 
Bài 15: Cho đường tròn (O;R) đường kính CD = 2R. M là 1 điểm thay đổi trên OC . Vẽ đường 
tròn (O') đường kính MD. Gọi I là trung điểm của MC,đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt 
(O) tại E,F. đường thẳng ED cắt (O') tại P 
a) Chứng minh 3 điểm P, M, F thẳng hàng 
b) Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) 
c) Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO lớn nhất 
BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH LỚP 9 – PS 7 
 CHỦ ĐỀ: CHỨNG MINH ĐƯỜNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH. 
 ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG TRÒN CỐ ĐỊNH. 
Bài IV 1. (Thi Thử - THCS Khương Thượng 2015 – 2016) 
Cho nửa đường tròn O đường kính AB = 2R. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Lấy 
điểm K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH AB⊥ tại H. Tia AC cắt HK tại I, tia BC cắt HK tại E, AE 
cắt đường tròn (O) tại F. 
a) Chứng minh tứ giác BHFE nội tiếp; 
b) Chứng minh BI . BF = BC . BE; 
c) Giả sử H là trung điểm của OA. Tính diện tích tam giác FEC theo R; 
d) Chứng minh rằng khi K di chuyển trên cung nhỏ AC thì đường thẳng FH luôn đi qua 
một điểm cố định. 
Bài IV 2. (KSCL - L5 - THCS Phương Liệt 2017 – 2018) 
Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp điểm AB và AC với đường tròn ấy 
(B,C là hai tiếp điểm B C≠ ). Điểm M thuộc cùng nhỏ BC ( M B≠ và M C≠ ). Gọi I, H, K lần 
lượt là hình chiếu vuông góc với M trên CB, BA, AC. Biết MB cắt IH tại E, MC cắt IK tại F. 
1) Chứng minh bốn điểm M, K, I, C cùng thuộc một đường tròn. 
2) Chứng minh  MIK MHI= và 2 . .MI MH MK= 
3) Chứng minh EF MI⊥ 
4) Đường tròn ngoại tiếp MFK∆ và đường tròn ngoại tiếp tam giác MEH∆ cắt nhau tại 
điểm thứ hai là N. Chứng tỏ khi M di động trên cung nhỏ BC ( M B≠ và M C≠ ) thì đường 
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài IV 3. (KSCL - THCS Yên Hòa 2017 – 2018) 
Cho đường tròn (O;R) có dây CD cố định và H là trung điểm của CD. Gọi S là một điểm 
bất kì trên tia đối của tia DC. Qua S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB tới đường tròn tâm O (với A, B là 
các tiếp điểm). Đường thẳng AB cắt SO tại E. 
1) Chứng minh bốn điểm O, H, A, S cùng thuộc một đường tròn; 
2) Chứng minh 2.OOE S R= ; 
3) Cho R = 10cm; SD = 4cm; OH = 6cm. Tính CD và SA; 
4) Chứng minh rằng khi D di động trên tia đối của tia DC thì đường thẳng AB luôn đi qua 
một điểm cố định. 
Bài IV 4. (Thi Thử - L4 – VINSCHOOL 2017 – 2018) 
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm giữa A và O; dây CD vuông góc 
với AB tại I; điểm M thuộc cung nhỏ BC (M khác B,C). Dây AM cắt CD tại K. 
1) Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp. 
a) Chứng minh 2 .AD AK AM= 
b) Nếu cho R = 6cm và I là trung điểm AO. Tính DI, từ đó tính thể tích của hình tạo 
thành khi tam giác ADI quay quanh trục DI. 
2) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CKM. 
3) Trên tia đối của MC lấy điểm E sao cho ME = MB. Chứng minh rằng: khi các điểm A, 
B, I cố định và điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC (M khác B,C) thì đường tròn ngoại tiếp tam 
giác BCE luôn đi qua một điểm cố định khác C và B. 
Bài 5: (Thi Thử L3 – TTBDVH EduFly – 2017 -2018) 
Cho đường tròn (O) và dây cung AB, trên tia AB lấy 1 điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ 
điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ, cắt dây AB tại A. Tia CP cắt đường tròn 
tại điểm thứ hai I, các dây AB và QI cắt nhau tại K. 
a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp được 
b) Chứng minh CI. CP = CK. CD. Chứng minh hai tam giác QAI và BKI đồng dạng 
c) Chứng minh IC là phân giác ngoài góc I của tam giác AIB 
d) Cho A,B,C cố định. Chứng minh rằng khi (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì 
đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 6. (KSCL - L5 - THCS Vĩnh Tuy 2015 – 2016) 
 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn. Gọi M và N là điểm 
chính giữa các cung nhỏ AC và BC. Nối MN cắt AC tại I. Hạ ND vuông góc AC. Gọi E là trung 
điểm BC. Dụng hình bình hành ADEF. 
 1) Tính góc MIC 
 2) Chứng minh F thuộc đường tròn (O; R) 
 3) Chứng minh DN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) 
 4) Khi C chuyển động trên đường tròn (O; R) chứng minh MN luôn tiếp xúc với một 
đường tròn cố định 
Bài 7: (Kiểm Tra kì 2 – Quận Hoàng Mai 2016 – 2017) 
 Cho nửa (O), đường kính AB. Lấy hai điểm C, M bất kì thuộc nửa đường tròn sao cho 
AC = CM (AC và CM khác MB). Gọi D là giao điểm của AC và BM; H là gia điểm của AM và 
BC. 
 1) Chứng minh tứ giác CHMD nội tiếp. 
 2) Chứng minh DA.DC = DB.DM 
 3) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia BC tại K. Chứng minh AK + HD = 2KD 
 4) Gọi Q là giao điểm của DH và AB. Chứng minh khi C di chuyển trên nửa đường tròn 
sao cho AC = AM thì đường tròn ngoại tiếp ∆CMQ luôn đi qua một đểm cố định.