Bài tập Hình học phẳng

1 
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC PHẲNG EUCLID 
2 
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ HÌNH HỌC PHẲNG EUCLID. 
***Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C chuyển động trên đường tròn ấy. 
Dựng tam giác đều BCD sao cho D nằm ngoài đường tròn (O). Gọi E là hình chiếu của 
điểm C trên đường thẳng AE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn 
thẳng AD, OA, OE, DE. 
a) Chứng minh rằng: Tứ giác MNPQ là hình thoi. 
b) Tìm vị trí điểm A trên đường tròn (O) để SMNPQ đạt giá trị lớn nhất. 
(Bài 4 đề thi HSG lớp 9, bảng B Thành phố Hải Phòng năm học 2005-2006). 
***Cho tam giác ABC, các đường cao BE, CF giao nhau tại điểm M. Gọi N là trung 
điểm của đoạn thẳng BC. 
 Chứng minh rằng: 3 điểm A, M, N thẳng hàng. 
(Bài 4 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán trường THPT NK Trần Phú Hải Phòng, 
(đề Toán chuyên) năm học 2006-2007). 
**Cho hình bình hành ABCD với AB BC> . Dựng điểm M sao cho · ·BAM BCM= . 
 Chứng minh rằng: · ·AMD DMC= . 
(Bài 6 đề thi Olympic Toán Quốc tế (IMO) năm 2006). 
***Cho bốn điểm A, B, C, D, E phân biệt sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và 
tứ giác BCED là tứ giác nội tiếp. Gọi l là một đường thẳng đi qua A, cắt đoạn CD và 
đường thẳng BC theo thứ tự tại F và G. Biết rằng EC = EF = EG. 
 Chứng minh rằng l là phân giác của ·BAD . 
(Bài 2 đề thi Olympic Toán Quốc tế (IMO), Việt Nam năm 2007). 
***Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác của ·ACB cắt đường 
tròn (O) tại điểm thứ hai R, cắt trung trực của BC, AC theo thứ tự tại P, Q. Gọi K và L 
theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Chứng minh rằng SRQL = SRPK. 
 Gợi ý: Hãy chứng minh rằng 2.cos
2
C AB
BC AC
=
+
. 
(Bài 4 đề thi Olympic Toán Quốc tế (IMO), Việt Nam năm 2007). 
**Cho đường tròn (O;R) với các đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên cung 
nhỏ BD lấy một điểm M bất kì. AM, CM theo thứ tự cắt CD, AB tại P và Q. 
 Chứng minh rằng: SACQP không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cung nhỏ BD. 
**Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn. Giả sử một điểm M di động trên đường 
thẳng CD sao cho M không trùng với C và với D. Giả sử N là giao điểm thứ hai khác M 
của 2 đường tròn (BCM) và (DAM). Chứng minh rằng: 
1. Điểm N di động trên một đường tròn cố định. 
2. Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
(Bài 2 đề thi HSG Quốc gia THPT (bảng B) năm học 2005 – 2006, ngày thứ nhất). 
**Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm D và E sao cho B 
là trung điểm của DE. Gọi F là điểm đối xứng của A qua B, M và N theo thứ tự là giao 
điểm của FD, FE với đường tròn đường kính AF. Chứng minh rằng C, M, N thẳng hàng. 
**Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Cho đường tròn (O) cố định, điểm A 
cố định, số đo cung BC không đổi. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC. 
3 
**Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, CD là đường phân giác trong góc ·ACB . Xét một 
đường tròn (O) thay đổi luôn luôn đi qua hai điểm C và D, nó cắt các cạnh CB và CA 
theo thứ tự tại M và N. 
1. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn (S) tiếp xúc với hai đường thẳng DN và 
DM theo thứ tự tại N và M. 
2. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CB, CA với đường tròn (S). Chứng minh rằng 
độ dài hai đoạn MP và NQ không đổi khi đường tròn (O) thay đổi. 
(Bài 2 đề thi HSG Quốc gia THPT môn Toán, bảng A năm học 2003-2004). 
**Cho tam giác ABC nhọn cân tại A. Gọi M là hình chiếu của A trên BC. Gọi N là hình 
chiếu của M trên AC, Gọi P là trung điểm của MN. 
 Chứng minh rằng: AP ^ BN. 
**Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Về phía ngoài tam giác ABC dựng các hình 
vuông ABEF, ACMN có tâm tương ứng là P và Q. Gọi H là trung điểm của BC. 
 Chứng minh rằng: Tam giác HPQ vuông cân. 
**Cho tam giác ABC nhọn cân tại A, đường phân giác BD (D Î AC). Gọi M là chân 
đường phân giác trong góc D của tam giác BD. Gọi N là giao điểm của phân giác góc 
ADB và đường thẳng BC. Chứng minh rằng MN = 2.BD. 
*Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định. Gọi MN là một đường kính thay đổi của 
đường tròn (O). Gọi C là một điểm cố định nằm trên đường thẳng AB. Các đường thẳng 
CN và AM cắt nhau tại D. Tìm quỹ của điểm D khi đường kính MN thay đổi. 
*Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P) và (Q) theo thứ tự là các 
đường tròn nội tiếp của các tam giác ABH, ACH. Đường thẳng PQ cắt AB, AC theo thứ 
tự tại M và N. Chứng minh rằng tam giác AMN vuông cân. 
**Cho đường tròn (O;R) cố định và hai điểm A, B tự do chuyển động trên đường tròn 
ấy. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm G. 
**Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC 
sao cho DE = BD + CE. Tia phân giác của ·BDE cắt cạnh BC tại I. 
1. Chứng minh rằng Sđ · o90DIE = . 
2. Chứng minh rằng đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định khi D và E di 
động trên các cạnh AB và AC tương ứng. 
*Cho tứ giác lồi ABCD với các cạnh AB, CD có điểm chung. Gọi O là giao điểm của 2 
đường chéo AC và BD. Lần lượt trên các cạnh AB và CD, lấy các điểm M và N bất kì 
tương ứng. Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng AN và DM, BN và 
CM. Chứng minh rằng 3 điểm P, O, Q thẳng hàng. 
**Cho tam giác ABC vuông tại A có AC AB> . Gọi O là trung điểm của BC và I là tâm 
đường tròn nội tiếp tam giác. Tình tỉ số các cạnh tam giác ABC, biết rằng · o90OIB = . 
**Cho tam giác ABC cân tại A có cả 3 góc đều nhọn, các đường cao AH, BD. Trên tia 
BD lấy điểm K sao cho BK = BA. Tính số đo ·HAK . 
*Cho tam giác ABC cố định và một điểm M di chuyển trên đoạn BC. Gọi G là trọng 
tâm của tam giác ABM. Tìm qũy tích điểm G. 
4 
*Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC). nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Gọi E là 
hình chiếu của B trên AD, H là hình chiếu của A trên BC, M là trung điểm của BC. 
 Chứng minh rằng tam giác MEH cân. 
*Cho tam giác ABC vuông tại B với AB = 2BC. Lấy điểm D nằm trên cạnh AC sao cho 
BC = CD, điểm E nằm trên cạnh AB sao cho AD = AE. 
 Chứng minh rằng AD2 = AB.BE. 
**Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H Î BC). Một đường tròn đi qua B 
và C cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. Vẽ hình chữ nhật AMDC. 
Chứng minh rằng HN ^ HD. 
**Cho tam giác ABC (không cân tại A), đường cao AH, trung tuyến AM. Biết rằng các 
góc · ·BAH MAC= . Chứng minh rằng Sđ· o90BAC = . 
***Cho đường tròn (O), đường kính AB, CD là một dây cung của đường tròn khác AB. 
Gọi M là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O), N là giao điểm 
của các dây AC, BD. 
 Chứng minh rằng MN ^ AB. 
*Cho đường tròn (O;R) và đường tròn (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng (d) 
tiếp xúc với 2 đường tròn trên tương ứng tại M và N. Chứng minh rằng bán kính đường 
tròn (AMN) và (BMN) bằng nhau. 
**Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD vuông góc với ABC tại H. M là một 
điểm chuyển động trên CD, AM cắt (O) tại N khác A. Chứng minh rằng khi M chuyển 
động trên (O) thì trọng tâm G của ∆CAN chuyển động trên một đường tròn cố định. 
*** Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD. Trên AB lấy điểm M, trên AD lấy điểm N 
sao cho AM = AN. Gọi H là hình chiếu của A trên BN. 
 Chứng minh rằng Sđ· o90MHC = . 
**Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD = AB 
và CE = CA. Chứng minh rằng: 
1. Độ dài DE bằng độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
2. Sđ· o90DAE = . 
**Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là một điểm bất kì trên nửa đường 
tròn sao cho Sđ »AC > Sđ »BC . Gọi D là giao điểm của đường thẳng qua O vuông góc với 
AC. Tìm vị trí điểm C trên nửa đường tròn sao cho D là chân đường cao kẻ từ H xuống 
AC của tam giác ACH. 
**Cho đường tròn (O) và một dây CD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm M, kẻ các tiếp 
tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của dây 
CD, đường thẳng AB cắt OH tại P và cắt OM tại E. 
1. Chứng minh rằng OH.OP = OE.OM. 
2. Số đo góc ·CED không đổi khi M chuyển động trên quỹ đạo như trên. 
*Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm bất kì trên đường tròn. 
Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của D trên các cạnh AB, BC, CA. 
 Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 
(Đường thẳng đi qua 3 điểm M, N, P trên có tên là đường thẳng Xim-xơn của điểm D 
(Robert Simson (1687-1768), nhà toán học người Scotland)). 
5 
**Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi nội tiếp, tổng tích các cặp cạnh đối diện bằng 
tích của hai đường chéo. 
(Nội dung của định lí Ptôlêmê (Ptolémé – nhà toán học, triết học, thiên văn học thời cổ Hi Lạp). 
**Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác 
nhọn đến các cạnh của ta giác bằng tổng các bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại 
tiếp của tam giác đó. 
(Nội dung định lí Các - nô(Lazare Carnot(1753-1823), nhà toán học người Pháp). 
**Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Dựng tam giác PCB vuông 
tại P về phía ngoài hình vuông ABCD. Chứng minh rằng 2BP CP OP+ = . 
**Cho tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cung BC 
(không chứa A) lấy một điểm D. Chứng minh rằng ( )222AD BD CD= + . 
**Cho lục giác lồi ABCDEF nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P là giao điểm của các 
cặp cạnh đối của hình lục giác. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, P thẳng hàng. 
(Bài toán trên do nhà toán học Pascal xây dựng (Blaise Pascal – nhà toán học người Pháp)). 
**Trong mặt phẳng cho hai tam giác ABC và MNP. Chứng minh rằng nếu các đường 
thẳng AM, BM, CP đồng quy tại Q, cặp đường thẳng AB, MN giao nhau tại R, cặp 
đường thẳng BC, NP giao nhau tại S; cặp đường thẳng AC, MP giao nhau tại T. 
 Chứng minh rằng 4 điểm Q, R, S, T thẳng hàng. 
(Bài toán trên do nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Decartes xây dựng). 
**Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M, 
N, P là các chân đường cao của tam giác ABC; D, E, F là các chân đường trung tuyến 
của tam giác ABC và Q, R, S là trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm H và 3 đỉnh 
của tam giác ABC. 
 Chứng minh rằng 9 điểm M, N, P, D, E, F, Q, R, S cùng thuộc một đường tròn. 
 (Đường tròn trên có tên là đường tròn Euler (Leonard Euler(1707-1783)-nhà toán học lỗi lạc 
người Thụy Sĩ. Ông là nhà toán học xuất sắc nhất mọi thời đại, là người thầy của những người 
thầy, ông còn có một đường thẳng mang tên ông (sẽ được trình bày dưới đây). Trong suốt cuộc đời 
nghiên cứu khoa học của mình, ông đã để lại một công trình nghiên cứu vô cùng đồ sộ về hầu hết 
các lĩnh vực: toán học, vật lí học, thiên văn học,). 
*Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi G là trọng tâm tam giác, H là trực tâm 
của tam giác đó. Chứng minh rằng 3OH OG=
uuur uuur
. 
(Đường thẳng đi qua 3 điểm G, H, O có tên là đường thẳng Euler). 
**Trong một mặt phẳng cho hai điểm A và B bất kì. Hãy tìm tập hợp điểm M nằm trong 
mặt phẳng chứa A và B đó điểm M thoả mãn điều kiện MA = k.MB (k Î R). 
 (Bài toán trên là một bài toán khá cơ bản và tổng quát của môn hình học phẳng. Ta cần phải 
xét tất cả các trường hợp thoả mãn đề bài. Trong trường hợp A và B là hai điểm phân biệt, hệ số k 
là một số dương khác 1 thì tập hợp điểm M là một đường tròn, gọi là đường tròn Apololiut 
(Apololiut-nhà toán học người ????). Đường tròn Apololiut là một đường tròn rất đặc biệt, nó nhận 
đoạn thẳng nối 2 điểm chia trong và chia ngoại đoạn AB theo tỉ số k làm đường kính. Hãy thử 
chứng minh xem và thử nghĩ xem ta có thể suy ra những hệ quả gì từ kết quả của bài toán trên!). 
**Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P theo thứ tự nằm trên các đường thẳng AB, 
BC, CA tương ứng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AN, BP, 
CM đồng quy là . . 1MA NB PC
MB NC PA
= - . 
(Điều phải chứng minh ở bài toán trên là nội dung định lí Céva). 
6 
**Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P theo thứ tự nằm trên các đường thẳng AB, 
BC, CA tương ứng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AN, BP, 
CM thẳng hàng là . . 1MA NB PC
MB NC PA
= . 
(Điều phải chứng minh ở bài toán trên là nội dung định lí Menelauyt). 
**Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt 
đường tròn (O) theo thứ tự tại M, N, K. Chứng minh rằng 4AM BN CK
AD BE CF
+ + = . 
**Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB, H là hình chiếu của C trên AB. 
Các điểm D, E thuộc nửa đường tròn đó sao cho HC là tia phân giác của ·DHE . 
 Chứng minh rằng KA2 = KB.KC. 
***Hai đường tròn (O) và (O’) giao nhau tại A và B. Các điểm M, N theo thứ tự di 
chuyển trên các đường tròn (O), (O’) sao cho chiều từ A đến M và từ A đến N trên các 
đường tròn đều theo chiều quay của kim đồng hồ và các cung ¼ »,AM AN có cùng số đo. 
 Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. 
(Bài 4 đề thi Olympic Toán Quốc tế (IMO), VQ Anh năm 1979). 
**Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại 2 điểm A và B, trong đó tiếp tuyến chung 
CD song song với cát tuyến chung EBF, C và E thuộc (O), D và F thuộc (O’), B nằm 
giữa E và F. Gọi M và N theo thứ tự là giao điểm của DA, CA với EF. Gọi I là giao 
điểm của EC và FD. Chứng minh rằng IB là trung trực của MN. 
***Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. CC’ là một tiếp tuyến 
chung của 2 đường tròn (C, C’ lần lượt thuộc (O) và (O’)). Dựng đường kính COD. Gọi 
E và F theo thứ tự là giao điểm của OO’ với C’D, CC’. Chứng minh rằng: 
1. Sđ · o90EAF = . 
2. FA là tiếp tuyến của đường tròn (CAC’). 
**Cho hình thang ABCD (AB//CD) thoả mãn điều kiện BD2 = AB.CD. Chứng minh 
rằng đường tròn (ABD) tiếp xúc với BC. 
**Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của AB cắt BC tại K. Chứng minh 
rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn (ACK). 
**Cho hình bình hành ABCD (góc A không là góc tù). Đường tròn (BCD) cắt AC tại E. 
Chứng minh rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn (AEB). 
**Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn 
(B, C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến). Gọi D là giao điểm của OA và BC. Kẻ dây EF 
bất kì đi qua D. Chứng minh rằng AO là phân giác của ·EAF . 
**Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác AD. Đường tròn (AMD) cắt 
AB, AC theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng BE = CF. 
**Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF. lấy điểm M bất kì thuộc DF, kẻ 
MN song song với BC (N thuộc DE). Điểm I trên đường thẳng DE sao cho · ·MAI BAC= . 
 Chứng minh rằng: 
 1. Tam giác AMN cân. 
 2. Bốn điểm A, M, N, I thuộc cùng một đường tròn. 
 3. MA là phân giác của ·FMI . 
7 
*Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các điểm M, N, P là các điểm chính giữa 
của các cung AB, BC, CA. Gọi D và E theo thứ tự là giao điểm của MN và AB, của PN 
và AC. Chứng minh rằng DE song song với BC. 
***Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) và ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, 
N, P theo thứ tự là tâm của các đường tròn bàng tiếp trong các góc A, B, C. Gọi K là 
điểm đối xứng với I qua O. Chứng minh rằng K là tâm đường tròn (MNP). 
***Cho tam giác ABC (AC > AB). Đường tròn (I) nội tiếp tam giác đó tiếp xúc với AB, 
BC ở D, E. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Gọi K là giao điểm của 
MN và AI. Chứng minh rằng: 
1. 4 điểm I, E, K, C thuộc cùng một đường tròn. 
2. Ba điểm D, E, K thẳng hàng. 
**Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng 
BD, EF. Chứng minh rằng tam giác AMN đều. 
**Cho lục giác đều ABCDEF. Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của BC và CD. Gọi 
M là giao điểm của AQ và PF. Chứng minh rằng các tam giác AMF và PMQ có diện 
tích bằng nhau. 
**Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H, I theo thứ tự là hình chiếu của B 
trên AC, CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, HI. Chứng minh rằng · 090MNB = . 
**Trên hai cạnh BC và AC của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho các 
góc · ·o o50 , 30BAD ABE= = . Biết rằng · · o50ABC ACB= = . Chứng minh rằng · o40BED = . 
**Cho tam giác ABC cân có số đo góc A = 100o. Điểm D thuộc nửa mặt phẳng không 
chứa A có bờ là đường thẳng BC sao cho · ·o o15 , 35CBD BCD= = . Tính số đo của ·ADB . 
***Cho tam giác ABC cân tại A, µ o40 ,C = đường cao AH, điểm I thuộc cạnh AC sao cho 
1 ,
3
AI AC= điểm K thuộc tia đối của tia HA sao cho 1 .
3
HK AH= Tính số đo của ·BIK . 
**Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF. Gọi R là bán kính của đường 
tròn (ABC), r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 
1. Chứng minh rằng OA vuông góc với EF. 
2. Tính tỉ số DEF
ABC
S
S
. 
**Qua điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến ABC với đường tròn (O). Các tiếp 
tuyến của (O) tại B và C giao nhau ở K. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với OA, cắt 
OA tại H và (O) tại E và F. Gọi M là giao điểm của OK và BC. Chứng minh rằng: 
1. 4 điểm O, E, M, F thuộc cùng một đường tròn. 
2. AE, AF là tiếp tuyến của đường tròn (O). 
*Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, trực tâm H. Gọi AM và AN là các tiếp tuyến 
với đường tròn (O), đường kính BC (M và N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng: 
1. AMDN là tứ giác nội tiếp. 
2. Ba điểm M, H, N thẳng hàng. 
**Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), đường phân giác trong AD. Gọi H 
và K tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABD, ACD. 
 Chứng minh rằng OH = OK. 
8
**Cho đường tròn (O;R) với hai đường kính AB, CD phân biệt. Từ một điểm M thuộc 
đường tròn (O), hạ các đường vuông góc ME, MF lần lượt xuống các đường thẳng AB, 
CD. Chứng minh rằng độ dài EF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên (O). 
*Cho 2 đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác nhau tiếp xúc với nhau tại điểm A. 
Dựng một dây CD của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại điểm B. Chứng 
minh rằng AB là phân giác của góc ·CAD . 
***Trong ngũ giác lồi ABCDE, diện tích các tam giác ABC, BCD, CDE, DEA, EAB 
tương ứng là a, b, c, d, e. Gọi diện tích của ngũ giác là S. 
 Chứng minh rằng 2 ( ) ( ) 0S S a b c d e ab bc cd de ea- + + + + + + + + + = . 
(ĐPCM của bài toán trên là nội dung của định lí Miobiut(????)). 
**Cho tam giác ABC, Gọi N là trung điểm của AC và M là điểm đồi xứng với B qua C. 
Đường thẳng MN cắt AB tại P. Chứng minh rằng 3AB AP=
uuur uuur
. 
**Cho đường tròn (O), điểm M, N, P, Q bất kì trên (O). Kẻ các tiếp tuyến qua các điểm 
đó. Các tiếp tuyến cắt nhau tại các điểm theo thứ tự là A, B, C, D. 
 Chứng minh rằng · ·AOB COD p+ = . 
**Cho 3 đa giác đồng dạng tương ứng tỉ lệ : :
2
a ba b+ . Gọi Pa, P, Pb tương ứng là chu vi 
3 đa giác; Sa, S, Sb tương ứng là diện tích 3 đa giác. Tính P theo Pa và Pb, S theo Sa, Sb. 
**Cho 3 đường tròn bằng nhau (O1), (O2), (O3) giao nhau tại bốn điểm phân biệt A, B, 
C, H sao cho H là điểm chung của cả ba đường tròn trên và tam giác ABC nhọn. Chứng 
minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. 
**Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH (H Î BC). Trên AH lấy một điểm D bất kì. 
Gọi E và F theo thứ tự là giao điểm của BD và AC, CD và AB. 
 Chứng minh rằng · ·AHE AHF= . 
Gợi ý: hãy chứng minh rằng · ·tan tanAHE AHF= . 
**Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định ở ngoài đường tròn. B là một điểm bất kì 
trên đường tròn(O). Dựng hình vuông ABCD (theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). 
 Tìm tập hợp điểm C khi B chuyển động trên đường tròn. 
**Cho tam giác ABC cân tại C nội tiếp đường tròn (O) đồng thời ngoại tiếp đường tròn 
(I). Đường thẳng qua O vuông góc với phân giác trong góc B, cắt AC tại D. 
 Chứng minh rằng: AC // DI. 
**Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi (C) là đường tròn (AOB). AC, BC 
theo thứ tự cắt (C) tại P và Q. Chứng minh rằng PQ ^ OC. 
*Cho tam giác ABC, D và E là 2 điểm lần lượt thuộc 2 cạnh AB, AC sao cho DE // BC. 
Gọi F là một điểm bất kì nằm trong tam giác ADE. FB, FC lần lượt cắt DE tại M, N. 
Gọi O1, O2 lần lượt là tâm các đường tròn (DFN), (MFE). Chứng minh rằng AF ^ O1O2. 
(Bài 3 đề thi HSG Thành phố Hải Phòng, bảng A1 năm học 2007-2008). 
**Cho tam giác ABC có góc ·BEC nhọn, trong đó E là trung điểm của AB. Trên tia EC 
lấy điểm M sao cho · ·BME ECA= . Giả sử ·BEC a= , hãy tính tỉ số MC
AB
 theo a. 
(Bài 2 đề thi HSG Quốc gia THPT bảng A, năm học 2007-2008). 
 **Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng 
AD. Xét điểm M nằm trên d. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của MB và MC.