Bài tập nâng cao Hình học 9

Bài tập Nâng cao Chương 1 
Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên	 
 (a)	 (b) 
b) Tìm x, y, z trong hình c
(c) 
Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc B. từ đó suy ra các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc C.
b) Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: sin240 ; cos350 ; sin540 ; cos700 ; sin780.
c) Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620.
Bài 3: a) Dựng góc nhọn , biết rằng . 
b) Dựng góc nhọn , biết rằng .
c) Dựng góc nhọn , biết 
Bài 4:
1. Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, . Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính:
a) Đường cao EI.	
b) Cạnh EF.
2. Giải tam giác vuông ABC, biết rằng , AB = 5, BC = 7.
3. Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 13 : 21. 
Bài 5: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E.
a) Tính AD.
b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân giác của góc BAD không ?.
c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D.
d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vị độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AD.
a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau.
b) Tính sinICJ.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm.
a) Tính AH.
b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC.
c) Tính AC. Vì sao ta không có hệ thức 
Bµi 8. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ^ AD. BiÕt = 580, AC = 8.
a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC
b) Chøng minh AC2 = AB.DC
Bài 9: Cho rABC có . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
a) chứng minh KH = BC.CosA
b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều
Bài 10: Cho rABC có là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=AB.AC.sinA. Aùp dụng: a) Tính biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và 
b) Biết = (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của 
Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có < 900. Chứng minh diện tích của hình đó là
 S =AB.AD.sinA. Aùp dụng: Biết (cm2) , AB = 4,5 cm, AD = 6 cm. Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD.
Bài 12: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, tạo thành góc nhọn AOD. Chứng minh: . Aùp dụng: Cho hình vuông ABCD ( ), AB = 12 cm, AD = 9 cm, DC = 18 cm. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính .
Bài 13: Cho rABC (< 900). Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’. Chứng minh: .
Bài 14: Cho rABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc theo thứ tự là a, b, c. Chứng minh: .
Bài 15: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm, = 1200. Kẻ đường phân giác AD của . Tính độ dài của AD.
Bài 16: Cho rABC có = 700, AB = 10 cm. Số đo của các góc B và C tỉ lệ với 4 và 3. Tính độ dài của các cạnh CA, CB và S(ABC).
Bài 17: Cho rABC có , AB.AC = , AB:AC = . Tính số đo cạnh BC; và S(ABC)
Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết đường chéo AC = 14 cm,
. Tính và độ dài các cạnh hình chữ nhật.
Bài 19: Cho tam vuông ABC (= 900), cạnh AB = 3 cm. Kẻ trung tuyến AM. Biết 
Tính tgB và S(ABC).
Bài 20: Cho hình bình hành ABCD ( ).
	a) Chứng minh : .
b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm, thì tứ giác ABCD là hình gì?. Tính diện tích của tứ giác đó.
Bài 21: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; < 900 ). Kẻ BK ^ AC.
	a) Chứng minh : .
	b) Chứng minh : .
	c) Biết , tính sinA.
Bài 22: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chứng minh : .
	b) Chứng minh : .
Bài 23: Cho rABC có = 600. Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB.
	a) Chứng minh : KH = BC.cosA.
	b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều.
Bài 24: Cho tam giác ABC có BC = a. . Về phía ngoài của rABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là Q và N. Trung điểm của BC và EG là M và P.
	a) Chứng minh rAEC = rABG.
	b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.
	c) Biết . Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và .
Bài 25: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD ( M Ỵ AB, N Ỵ BC, P Ỵ CD, Q Ỵ DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo của hình thoi. Biết AB = 7 cm. .
	a) Tính diện tích hình thoi ABCD.
b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 26: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ^ AD và CK ^ AB.
	a) Chứng minh rCKH ~ rBCA.
	b) Chứng minh .
	c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm.
Bài 27: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC. Nối AF và BE.
	a) Chứng minh AF = BE.cosC.
	b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE.
	c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính .
Bài 28: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P.
	a) Chứng minh CM ^ DN.
	b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc .
	c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc và diện tích tam giác MDN.
Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD; = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ^ BD và DF ^ AC.
	a) AC cắt BD ở O, tính .
	b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó.
c) Kẻ AG ^ BD và BH ^ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó.
Bài 30: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B.
a) Chứng minh : 
b) Tính số đo các góc của rMAB.
Bài 31: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E 
và F .
	a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng.
	b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của rEFG.
	c) Chứng minh rEFG ~ rABC.
Bài 32: Cho rABC, kẻ AH ^ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm.
	a) Chứng minh rABC là tam giác vuông.
	b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho
	. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của rMPN. 
Bài tập Nâng cao Chương 2
1. Định nghĩa và sự xác định đường tròn
Bài1: Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M nằm trên (O; R). dựng điểm N sao cho MN vuông góc với OM đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước.
 a) Tìm tập hợp điểm N.
 b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON.
 c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O; R) là tập hợp trọng tâm của rMON.
Bài 2: Cho 1 đoạn thẳng cố định AB có độ dài bằng 2a. Gọi I là trung điểm của AB. K là trung điểm của IB Trên tia Kx kẻ tuỳ ý, lấy 1 điểm M sao cho .
 a) So sánh hai tam giác KMB và MAB.
 b) Tìm tập hợp điểm M.
c) Dựng điểm M với a = 3 cm. (không dùng thước đo góc).
Bài 3: Cho một hình vuông ABCD, cạnh bằng a. Một đoạn thẳng MN có độ dài thay đổi, M chạy trên AB, N chạy trên CD sao cho chu vi tam giác AMN luôn luôn không đổi và bằng 2a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN. Chứng minh rằng H luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường thẳng theo thứ tự đó.
 a) Hãy dựng đường tròn (O), (O1), (O2), (O3) có đường kính là AD, AB, BC, CD.
 b) CMR mọi điểm nằm trên (O1), (O2), (O3) không kể hai điểm A và D đều nằm trong (O).
 c) CMR mọi điểm nằm trên (O2) không kể hai điểm B và C đều nằm ngoài (O1) và (O3)
Bài 5: Cho hai điểm A và B cố định. Một đ.thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối xứng của B qua d.
a) Tìm quĩ tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A.
b) Xác định vị trí của d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé nhất.
Bài 6: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); .
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm O và bán kính của đường tròn này.
b) Chứng minh AC ^ OB.
Bài 7: Cho rABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành.
Bài 8: Cho rABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K).
a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ; CK, CH là những đường phân giác của góc .
b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật.
Bài 9: Cho đường tròn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH ^ OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH.
a) Tìm quĩ tích các điểm P khi M chạy trên cung AC..
b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O).
2. Tính chất đối xứng của đường tròn
Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R. 
a) Chứng minh rằng AD // OO’.
b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD.
 c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố định khi các dây AB, CD thay đổi vị trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luôn nằm giữa A, D.
Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn (O) sao cho AB là đường kính. Gọi I, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống đường thẳng CD. Chứng minh CI = DK.
Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và đường kính CD vuông góc với dây AB tại điểm I.
a) Tìm công thức tính R theo AI, CI.
 b) Miệng của một tháp nước hình vành khăn bị vỡ gần hết, chỉ còn sót lại một mảng cung tròn. Hãy tìm cách đo đạc trên mảng còn lại đó để tính đường kính của miệng tháp ấy.
Bài ... ng tròn ngoại tiếp rABC tại F. C/m rFBC là tam giác vuông cân.
c) Giả sử . Gọi M là giao điểm của BF và ED. Chứng minh năm điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn.
d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp rABC.
Bài 20: Cho rABC nhọn. Các đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh:
a) FQRE là hình chữ nhật.
b) PEDQ, PRDF là hình chữ nhật.
c) PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó.
d) 9 điểm H, K, L, D, E, F, P, Q, R nằm trên một đường tròn (đường tròn Euler).
Bài 21: Cho rABC nhọn, đường cao CH và phân giác AM cắt nhau tại I. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB nó cắt đường thẳng AC tại D. Gọi F là hình chiếu của AD trên đường thẳng AM. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC cắt BI tại điểm thứ hai E. Chứng minh:
a) A, B, F, D, E thuộc cùng một đường tròn.
b) E, C, F thẳng hàng.
Bài 22: Cho đường tròn (O) và dây AB cố định. Lấy một điểm P tùy ý trên đoạn thẳng AB. Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chứng minh:
a) OCPD là hình bình hành.
b) 
c) rANB ~ rCPD. Khi P chạy trên đoạn thẳng AB thì N chạy trên đường nào ?
d) NP luôn đi qua một điểm cố định. 
§6. Độ dài đường tròn – Diện tích đường tròn
Bài 1: Người ta chia một đường tròn thành 6 phần bằng nhau. Lấy các điểm chia ấy làm tâm vẽ các cung tròn bán kính R. Tính chu vi của đường riềm 6 cánh.
Bài 2: Từ các đỉnh của một hình vuông, vẽ ở miền trong hình vuông những cung tròn. Tính chu vi của đường riềm 4 cánh.
Bài 3: Cho 4 điểm A, B, C, D sắp theo thứ tự trên một đường thẳng sao cho AC = DB = 2a, CD = 2b. Vẽ về cùng một phía đối với đường thẳng AB ba nửa đường tròn có đường kính AB, AC, DB. Vẽ về phía kia nửa đường tròn có đường kính CD. Chứng minh rằng diện tích của hình giới hạn bởi 4 nửa đường tròn trên bằng diện tích của hình tròn có đường kính DA.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a, vẽ về phía trong hình vuông 4 nửa đường tròn đường kính AB, BC, CD, DA. Hãy tính theo a diện tích của hình giới hạn bởi 4 nửa đường tròn đó.
Bài 5: Cho rABC vuông tại A. Vẽ nửa đường tròn qua A, B, C và bên trong tam giác vẽ hai nửa đường tròn khác có đường kính AB, AC. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình trăng khuyết giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính BC và hai nửa đường tròn kia bàng diện tích rABC.
Bài 6: Cho hai đường tròn (C) và (S) cùng tâm o, bán kính R và 2R. Tiếp tuyến tại M trên đường tròn (C) cắt đường tròn (S) tại A và B. Gọi C là giao điểm của tia OM với đường tròn (S).
a) Chứng minh OAC và OBC là những tam giác đều.
b) Tính diện tích P hình viên phân ACB.
c) Tính diện tích P’ của hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (C).
d) Tính P + P’.
 r 
Hướng dẫn giải
Chương 2: Đường tròn
§2. Tính chất đối xứng
Bài 7: a) Ta chứng minh được AA’ = BB’; suy ra AD = BE
b) Vì nên dễ dàng chứng minh 
Ta chứng minh được rATI = rBTI
Nên . Suy ra đó là những tam giác đều.
Lấy A (hoặc B) làm tâm vẽ cung tròn (A ; AI) nó cắt cung nhỏ AB tại T, đó chính là tâm đường tròn qua A, I, B.
c) Ta chứng minh được rằng đường tròn tâm T bán kính TI đi qua O. Thật vậy, giả sử (T) cắt IO tại O’ và cắt O’T tại T’.
Ta có . Nhưng . Suy ra , do đó .
Ta có . Nếu O’B và OB là hai đường thẳng phân biệt thì có một góc ở vị trí góc ngoài còn góc kia là góc trong của rBOO’, như vậy chúng không thể bằng nhau được. Do đó BO và BO’ trùng nhau, O’ trùng với O.
PHẦN THUẬN: Ta có TI = TO Þ T thuộc trung trực của OI cố định. Để đường tròn tâm T cắt các tia Ox, Oy thì là các góc nhọn. Do đó T nằm ở miền trong góc xác định bởi Ou ^ Ox, Ov ^ Oy. Do đó T thuộc đoạn thẳng T1T2 vừa thuộc trung trực của OI, vừa thuộc miền trong của góc uOx (để A, B phân biệt).
PHẦN ĐẢO: Lấy T’ thuộc đoạn T1T2 vẽ đường tròn bán kính TI, nó cắt Ox tại A’, cắt Oy tại B, ta phải chứng minh đường tròn (I ; IA’) qua B. (Chứng minh rIDA’ = rIEB’ Þ IA’ = IB’).
KẾT LUẬN: Quĩ tích T là đoạn thẳng T1T2, không kể T1, T2.
	d) AIBT là hình thoi nên trực tâm H của rAIB nằm trên đường thẳng TI, Bz ^ AI, ta chứng minh được Bz ^ BT.
Ta chứng minh được H thuộc (I) và H đối xứng với T qua I.
Quĩ tích các trực tâm H là đoạn thẳng H1H2 đối xứng của T1T2 qua I không kể H1, H2.
Bài 8: 
a) Ta c/m được AO là phân giác của góc FAE nên AO là trục đối xứng
của góc FAE. AO là đường thẳng chứa đường kính của (O) nên AO là 
trục đối xứng của đường tròn (O). F là giao điểm của AB với (O).
Hình đối xứng của F là giao điểm của AC với (O), đó chính là điểm E.
F và E đối xứng nhau qua AO. Vậy rAEF là tam giác cân.
b) Ta c/m được: .
Suy ra hay DO ^ OE.
c) Lấy I là trung điểm của DE, ta có ID = IA = IE = IO. Vậy D, A, O, E nằm trên một đường tròn tâm I bán kính DE/2.
Bài 9:
 Ta có C và D đối xứng qua O.
Lấy B’ đối xứng của A qua O thì B’ cố định. CA có hình đối xứng qua O
Là DB’ nên CA = DB’, do đó DB = DB’.
Suy ra D nằm trên trung trực d của BB’.
§3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Tiếp tuyến
Bài 9: 
a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.
rOIB có ; ta tính được ; do đó:
OE + EF + OF = 2R.
Giá trị 2R không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
b) Ta tính được .
Suy ra . Vậy có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.
Bài 10:
a) Tính số đo các góc, ta được .
Hai tam giác OAC và CAD có 
Vậy rOAC ~ rCAD.
b) Tam giác COB là tam giác đều, (có nhiều cách chứng minh),
. Dễõ dàng chứng minh được rOAC ~ rBCD. Suy ra BD = R. 
rDCB ~ rDAC Þ . Do đó DA.DB = DC2 mà DB = R , DA = 3R.
Vậy DA.DB = DC2 = 3R2.
Bài 11: 
a) Gọi I là trung điểm của BH thì I là tâm đường tròn đường
kính BH. Gọi J là trung điểm của HC thì J là tâm đường tròn
đường kính BH.
Ta có IH ^ AH suy ra AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC.
Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I), (J).
b) Chứng minh không khó khăn AFHE là hình chữ nhật. Gọi P là giao điểm AH và EF.
Ta có PE = PF = PH = PA. 
Chứng minh rPEI ~ rPHI (c.c.c), suy ra . Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Chứng minh rPFJ ~ rPHJ (c.c.c), suy ra . Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn (J)
Bài 12:
a) Gọi O là trung điểm của AI ta có OA = OI = OK. Vậy đường tròn tâm O 
đường kính AI đi qua K.
b) Ta có rAOK cân Þ (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).
Ta lại có HK = HB nên . Từ đó ta c/m được OK ^ HK.
Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn O.
Bài 13:
ACED là hình thang vuông
b) Đặt AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x.
Ta có các hệ thức sau: x + y =R hay HI = R
OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y
Hai tam giác OHC và IEH có: OH = IE = y ; OC = IH = R ; (đv)
Suy ra rOHC = rIEH (c.g.c).
Do đó HC = EH hay HCE là tam giác cân tại H.
c) Do rOHC = rIEH nên , tức là HE ^ IE. Vậy HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I
Bài 14:
a) Tự giải.
b) CA = CM (hai tiếp tuyến cắt nhau tại C)
Lấy I là trung điểm của AM, CI là đường trung bình của rAA’M.
Vậy CA = CA’. Tương tự DB = DB’.
c) Ta có AA’ // BB’.
Lại có 
Vậy B’A’, DC, AB đồng qui.
Bài 15:
a) CO ^ AE tại P, BO ^ AD tại Q.
Gọi I là giao điểm của OP và AQ.
Hai tam giác PAI và QOI có:
Suy ra .
b) Tứ giác AQOP’ có 
mà tổng các góc trong tứ giác lồi là 3600 , suy ra
§4. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 8:
a) AOBO’ là hình thoi (AO = OB = BO’ = O’A) nên AB và OO’
cắt nhau tại I, trung điểm chung của AB và OO’. D’ đối xứng của
D qua O nên D’ thuộc O’.
OCO’D’ là hình bình hành (OC // O’D’ ; OC = O’D’).
AB và CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Nhưng trung
điểm của AB là I, nên CD’ đi qua I.
Vậy AB, OO’, CD’ cắt nhau tại I, trung điểm của mỗi đoạn thẳng.
b) Tứ giác OCDO’ là hình bình hành nên OO’ // CD. Vì BA ^ OO’ nên BA ^ CD.
Tứ giác ACBD’ có IA = IB, IC = ID nên ACBD’ là hình bình hành do đó AD’ // CB.
Vì DA ^ AD’ (DD’ là đường kính) suy ra DA ^ CB. Vậy A là trực tâm của rBCD.
Bài 9:
a) B, A, E thẳng hàng, suy ra hai đường tròn (A ; DA), (B ; BE) 
tiếp xúc nhau tại E.
b) Ta c/m được 
BF // AD (*)
Vì ABCD là hình bình hành BC // AD (**)	
Từ (*) và (**) ta suy ra C, B, F thẳng hàng
Bài 10:
Tâm đường tròn tiếp xúc với (O) tại A nằm trên đường thẳng OA
Giả sử đường tròn (I) thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiếp xúc với
D tại B. Tại A vẽ tiếp tuyến chung nó cắt d tại P, thì PB = PA.
Từ đó ta suy ra cách dựng
Bài 11:
a) A’B // AC
Ta có 
Do đó rOA’B ~ rO’AC’ 
Ta có BOC là đường kính của đường tròn (O),
 B’O’C’ là đường kính của đường tròn (O’)	
Ta có BC // B’C’ và nên OO’ , BC’ , B’C đồng qui tại M.
Ta lại có . Suy ra M là điểm cố định.
b) Giả sử PP’ cắt OO’ tại M1, ta chứng minh được . Suy ra M1 trùng với M.
c) Phần thuận: (A, I cố định), đồng thời I không ở miền ngoài của góc PMT. Do đó I nằm trên cung tròn đường kính AM, giới hạn bởi hai tiếp tuyến MP, MT, đó là cung I1I2 (khi B ở vị trí P thì C’ ở vị trí P’)
Phần đảo: Lấy I’ trên cung I1I2. Đường thẳng MI’ cắt (O) tại B1, cắt (O’) tại C’1, ta phải chứng minh 
 và AI’ ^ B1C*1 (có thể sử dụng định lí đảo của định lí Thales)
Kết luận: Quĩ tích điểm I là cung .
Bài 13:
Ta tính được suy ra .
Ta cũng tính được BC = R. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp,	
Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB, BC, CD.
Trong tam giác IAD vuông tại D ta thấy ,
ID = IF = r, do đó AD = AF = r.
Ta có: SABC = p.r = (AB + BC + CA).r
	= (AD + AF + DB + CF + CE + EB).r
Trong đó DB + CF = BE + EC = R.
Thay các giá trị đã biết và thu gọn ta được SABC = r.(R + r).
Bài 14: Ta chứng minh được
DE = DF = R ; SACD = b.R ; SBCD = a.R ; SABC = .
Ta rút ra được .
Ta tính được .
Gọi M, N là giao điểm của tiếp tuyến chung tại K với AC và BC thì
. Ta chứng minh được rCMN cân tại C nên:
. Do đó ,