Bài tập ôn học sinh giỏi môn Toán 9

Bài tập ôn HSG
1. Cho đường tròn (O ; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O ; R) lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, C ), tiếp tuyến qua M cắt AB ở E, cắt AC ở F. 
a) Biết AO = a . Tính chu vi tam giác AEF theo a và R. 
b) Đường thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q. Chứng minh rằng tỉ số không đổi khi điểm M 
di chuyển trên cung nhỏ BC của đường tròn (O ; R).
2. Cho đường tròn (O) có đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại H. Đường tròn đường kính AH cắt AC tại E, đường tròn đường kính BH cắt BC tại F. Gọi G là trung điểm CH.
a) Chứng minh :
- Ba điểm E, F, G thẳng hàng.
- EF là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính AH và đường tròn 
đường kính BH. 
b) Gọi r1 và r2 lần lượt là bán kính các đường nội tiếp các tam giác ACH và 
BCH. Biết góc ACH = a, AB = a, tính tổng: theo a và a. 
3. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Qua một điểm M nằm trên đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến với (O), tiếp tuyến này cắt đường tròn (O') tại hai điểm phân biệt B và C. Chứng minh rằng điểm M cách đều hai đường thẳng AB và AC.
4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Qua A vẽ tiếp tuyến xy. Từ B vẽ BM//xy (M thuộc AC). Chứng minh rằng:
	a) AB2 = AM.AC;
	b) AB là tiếp tuyến của đường tròng ngoại tiếp tam giác MBC.
5. Cho tam giác ABC trực tâm H nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh rằng:
	AH2 + BC2 = BH2 + AC2 = CH2 + AB2 = 4R2
6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. 
	a) Chứng minh rằng MB + MC = MA.
	b) Gọi H là giao điểm của MA và BC. Chứng minh rằng: 
7. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vã dây cung AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) và dây cung AD của đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng:	a) BC.BD = BA2 	b) 
8. Cho nửa đường tròn đường kính AB , C là một điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên cung BC lấy một điểm M. Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM.	
	a) Chứng minh rằng tam giác CMN vuông cân.
	b) Qua N vẽ đường thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua 
	một điểm cố định. 
9. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M, cắt các dây MA, MB, MC lần lượt tại A’, B’, C’.
	a) Chứng minh rằng tam giác A’B’C’ là tam giác đều.
	b) Từ A, B, C vẽ các tiếp tuyến AD, BE, CF với đường tròn (I). Chứng minh rằng AD = BE + CF.
10. Cho đường tròn (O) dây AB. Trên cung AB lần lượt lấy các điểm M và N. HAi tia AM và NB cắt nhau tại C; Hai tia AN và MB cắt nhau tại D. Cho biết , chứng minh rằng AB vuông góc với CD.