Bài tập ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề: Chứng minh bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
ÔN THI VÀO LỚP 10
I. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số không âm chứng minh rằng 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải:
	Cách 1: Dùng bất đẳng thức phụ: 
 Ta có ; ; 
 (a+b)(b+c)(c+a)8abc 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2: 
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: (403-1001)
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:x + 2y + z 
3) Cho a > 0, b > 0, c > 0 
CMR: 
4) Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y	 
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và 
Chứng minh rằng
Giải: 
Do a, b, c đối xứng,giả sử abc 
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
 ==
 Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Ví dụ 4: 
 Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1.Chứng minh rằng :
Giải:
Ta có 
Do abcd =1 nên cd = (dùng )
Ta có (1)	 
Mặt khác: 
 =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
 =
 Vậy
Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:
 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
 tacó ac+bd
 mà 
II. Một số bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: + + 
Bài giải:
Với a, b, c > 0 ta có: + a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
Tương tự ta có: + b; và + c
Þ + + + a + b + c 	
Þ+ + (đpcm)
Vậy + + 
Bài 2: Cho x, y > 0; thoả x + y = 1. Tìm Min A = +.Bài giải:
	Ap dụng bất đẳng thức (a + b)2 4ab => (a, b > 0)
Mặt khác: x + y => xy = (áp dụng bất đẳng thức Cô si)
 A =++ + = +4 += 4 + 2 = 6 
Vậy MinA = 6 khi x = y = 
Bài 3.
Hướng dẫn
Ta có: 
Tương tự => 
Mặt khác: 
=> 
Bài 4: Cho ba số x,y,z dương và xyz = 1.
CMR : 
Bài giải
Ta có 
Nên vế trái = 
Vì xyz = 1. Dấu “ = “ khi x = y = z
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c chứng minh rằng:
Giải
Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Cộng vế theo vế (1) (2) và (3) ta có:
Vậy: 
Bài 6. (1đ) (Đắc Lắc 12 – 13)
Cho hai số dương x, y thõa mãn: x + 2y = 3. Chứng minh rằng: 
HD: Áp dụng 1/x + 1/y + 1/z ³ 9/(x + y + z)
Bài 7: (Hải Dương 12 – 13)
Cho 2 số dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 .
Hướng dẫn
Với ta có: 
Tương tự có . Từ (1) và (2) 
Vì mà .
Khi a = b = 1 thì . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 
Bài 8: (Hà Nội 12 – 13) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Hướng dẫn
Ta có M = 
Vì x, y > 0, áp dụng bdt Co si cho 2 số dương ta có , 
dấu “=” xảy ra Û x = 2y
 Vì x ≥ 2y Þ, dấu “=” xảy ra Û x = 2y
Từ đó ta có M ≥ 1 +=, dấu “=” xảy ra Û x = 2y
Vậy GTNN của M là , đạt được khi x = 2y
Bài 9: 
Hướng dẫn:	
Bài 10 (Hà Nam: 12 – 13) 
Cho ba số thực a, b, c thoả mãn 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Hướng dẫn:
Bài 11: (Hưng Yên 12 – 13) 
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4. 
Chứng minh rằng 
HD 
Bài 12: (Thanh Hóa 12 – 13) 
Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b 1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Hướng dẫn
a = b = 0,5
Bài 13: (Quảng Ngãi 12 – 13)
Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn: Với ta có 
Do đó .
Dấu “=” xảy ra khi . 
Từ 
Vậy khi .
Bài 14: (Quảng nam 12 – 13)
Cho a, b ≥ 0 và a + b ≤ 2. Chứng minh : 
Hướng dẫn:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 
Ta có: = (1) (bđt Côsi)
 (bđt Cô si)
 Þ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Dấu “=” xảy ra chỉ khi : a + 1 = b + và a + b = 2 Û a = và b = 
Bài 15: Chuyên lam Sơn Thanh Hóa 11 – 12 (Vòng 01)
Cho a, b, c là ba số thực dương t/m a + b + c = 2 Tìm Max P
biết 
Hướng dẫn
* Vì a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c2+ ab = (ca+ c2)+(bc + ab)
 = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) 
vì a ; b ; c > 0 nên và áp dụng cosi ta có 2.dấu (=) Û a + c = b + c a = b 
hay 
 (1) dấu bằng Û a = b
Tương tự: (2) dấu bằng Û b = c 
 (3) dấu bằng Û a = c 
cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có 
: P=(++)
 P 
 =
 P=≤ 1 dấu bằng Û a = b = c = 
Vậy min P = 1 khi a = b = c =
Bài 16: (Vĩnh Phúc 11 – 12) 
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .
Hướng dẫn: Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c (Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
Do đó (Cô – si)
Tương tự: ; 
Vậy 
Do đó: MinP = 3/2, xảy ra khi a = b= c = 1/2
Bài 17: (Hà Nội 11 – 12)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Hướng dẫn
Vì và x > 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 
M = ³ 0 + 1 + 2010 = 2011
M ³ 2011 ; Dấu “=” xảy ra óÛ x = 
 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 
Bài 18. (Hải Dương 11 – 12)
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
.
Hướng dẫn
Từ (*) Dấu “=” khi x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) 
Suy ra (Áp dụng (*)) 
 (1)
Tương tự ta có: (2), (3)
Từ (1), (2), (3) ta có 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

Bài 19: Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Do a, b, c > (*) nên suy ra: , , 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
 (1)
 (2)
(3)
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: . 
Dấu “=” xẩy ra (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15