Bài tập Toán Lớp 9 - Bài tập về bất đẳng thức (Có đáp án)

Bài tập về bất đẳng thức – Toán lớp 9
Bài 1: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Bài 2: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Bài 3: Cho a, b > 0 và , tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Bài 4: Cho a, b, c> 0 và 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Cách 1: 
Cách 2:
Tương tự 
Do đó:
Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và . Chứng minh rằng:
Giải: 
Bài 6: Cho a, b, c > 0 và 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4
Bài 7: Cho x, y, z > 0 và 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải: 
Ta có
Bài 8:
Chứng minh rằng với mọi , ta có 
Giải: 
Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 
Giải: 
Dự đoán x=y=z = 2 và nên:
Cộng các kết quả trên => đpcm. 
Bài 10: 
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng
Giải:
Bài 11:
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải:
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
Giải:
Cách 1: 
Cách 2: 
Bài 13:
Cho x,y > 0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: Dự đoán x = y = 2
Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng 
Giải: Ta có 
Bài 15: Cho x, y, z > 0 và . Chứng minh rằng 
Giải:
Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải:
Bài 17:
Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: 
Giải: 
Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:
Giải:
 cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng: 
Giải:
Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
Giải:
Cần nhớ: 
Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng: 
Giải:
Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng 
Giải:
Bài 23:
Cho x, y, z> 0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải:
Cách1: 
Cách 2:
Bài 24:
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng 
Giải:
Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:
Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì 
Giải:
Bu- nhi -a ta có: 
Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 
Giải:
Bài 28:
Chứng minh rằng 
Giải:
Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 (Với x; y là các số thực dương).
Giải:
Đặt 
Có 
Bài 30:
Cho ba số thực đôi một phân biệt.
Chứng minh 
Giải:
(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c . Chứng ming rằng 
Giải:
Bài 32:
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải:
 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2	 
Mà a3 + ab2 ³ 2a2b ;b3 + bc2 ³ 2b2c;c3 + ca2 ³ 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0
Suy ra 
t = a2 + b2 + c2, với t ³ 3.
Suy ra Þ P ³ 4 a = b = c = 1
Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 P = 
Giải:

 có =khi y=2x; khi z=4x; khi z=2y =>P 49/16
 Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Dấu bằng xảy ra khi .Vậy Min B là 43 khi 
Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 9
Giải:
 và 
 
Tương tự và 
 x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – 6 3. 5 – 6 = 9
Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng .
Giải:
Bài 37:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Giải:
 cộng các vế lại 
Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng 
Giải:
hay 
Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
Giải: 
Có chứng minh được hay không?
Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải:
Có (1) , (2)
 (3) . Dấu ‘=’ xảy ra 
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có: (*)
Từ nên (*) 
 (*)
Ta có 
Từ đó (**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi 
Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng .
Giải:
Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
Giải:
Chứng minh được 
Bài 43:
Cho . Chứng minh rằng Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
Thật vậy:
Bài 44:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải:
Cách 1:
Cách 2: 
Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
Giải:
Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
Giải:
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Giải:
Bài 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 
Giải:
Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:
Giải:
Cách 1:
Cách 2
Bài 50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
Giải:
Bài tập về bất đẳng thức và cực trị đại số
Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010)
a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
 .
b) Từ đó suy ra: 
Bài 2: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)
 a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng : 
 b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)
 a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : .
b) Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: .
Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn .
	a) Chứng minh rằng.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.
Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn .
	Chứng minh rằng.
Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.
Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
a) Với , chứng minh rằng .
b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
.
Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
a) ;
b).
Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2. 
Chứng minh rằng 
	Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
Với a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: 
Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)
a)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè .
b) Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 6. 
Chøng minh r»ng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc ³ 52.
Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
 .
Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho ba số dương và thoả mãn . Chứng minh rằng: 
. 
Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh 
Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: 
Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)
a)Tìm x. y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1 .
b)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng:
c)Cho ba số thực . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
. Với mọi x, y, z > 0.
Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012)
Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .
Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) + 8
Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho 3 số thỏa điều kiện .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018)
a)Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện và p, q, r 
 là ba số thỏa mãn p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp 0.
b)Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 M = 
Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3
Chứng minh rằng 
Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 28: (HSG TĨNH GIA – THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho c¸c sè x,y,z tho¶ m·n x+y+z =1
T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña biÓu thøc : M = 
Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:. 
Chứng minh rằng: 
Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)
Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.
Chứng minh rằng: .
Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.
Chứng minh rằng: .
Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh: 
Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)
Cho 3 số dương . Chứng minh bất đẳng thức:
 .
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:. Chứng minh rằng:
Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008– 2009)
C¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n: x4 + y4 + z4 = 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :         
P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x) .
Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011)
Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. 
Chøng minh r»ng 
Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013)
Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
.
Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho a,b thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 (Với x; y là các số thực dương).
Bài 39: (HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017)
Cho là ba số thực dương thoả mãn . 
Chứng minh rằng: .
Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho các số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh bất đẳng thức .
Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)
Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng: 
.
Bài 44: (HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)
Cho hai sè a, b tho¶ m·n , t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña tæng: 
Bài 45: ( HSG TỈNH HÒA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho m là số cố định, x và y là các số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011)
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và .
Chứng minh rằng: 
b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012)
Cho a > 0, b > 0 và a + b . Tìm GTNN của biểu thức A = .
Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016)
Cho thỏa mãn. Chứng minh rằng: 
Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
.
Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho , chứng minh rằng : 
Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức . Chứng minh rằng .
Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)
Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn:
Chứng minh rằng: 
Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện: .
Chứng minh rằng: 
Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)
Tìm GTLN của .
Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A= 
Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)
a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè x, y, z cã tæng lµ mét sè kh«ng ©m th× 
 b) Cho m, n lµ c¸c sè tháa m·n ®iÒu kiÖn . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
Bài 63: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010)
Cho c¸c sè d­¬ng x, y, z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: xy + yz + zx = 670. Chøng minh r»ng 
Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: 
Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho các số thực dương thỏa mãn . 

Chứng minh rằng 

Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 
Chứng minh rằng 
Bài 67: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016)
Cho các số thực phân biệt . Chứng minh rằng
 .
Bài 68: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018)
Chứng minh rằng với là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . 
 Chứng minh rằng: .
Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)
Cho thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho ba số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: 
Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng: 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho ba số thực thỏa Chứng minh : . 
Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)
Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y3.
Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của Q=abc
Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho . Chứng minh rằng .
Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)
Chøng minh r»ng: + ³ 80 víi "a ³ 3, "b ³ 3. 
DÊu b»ng x¶y ra khi nµo? 
Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho a , b là hai số dương thỏa mãn a + b = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 
Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho x + y = 2 . CMR :x5 + y5 ≥ 2.
Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.
 Chứng minh rằng: 
Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho a R thỏa mãn a5 – a3 + a = 2. Chứng minh rằng : 3 < a6 < 4
Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)
Cho ba số dương thoả mãn: 
Chứng minh rằng: 
Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho các số thực thỏa mãn : và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho là các số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy2
Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 
 P =
Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008)
Cho các số thực dương thoả mãn Chứng minh rằng
Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009)
Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010)
Chứng minh rằng:
 với mọi 
Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011)
Cho a, b, c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 .
Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012)
Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: 
 . Chứng minh rằng: .
Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho là các số dương. Chứng minh rằng
.
.
Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)
Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab = 18. 
Tìm những giá trị của a và b để :
	a) M đạt giá trị lớn nhất
	b) M đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)
Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012)
 Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng + + ≥