Bài tập Toán Lớp 9 - Bài toán rút gọn phân thức (Có đáp án)

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN PHÂN THỨC
Câu 1: Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1)
Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị của x để P > .
Đáp án:
b) Với x > 0, x 1 thì . 
Vậy với x > 2 thì P > .
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
A = ( với x > 0, x 4 ).
B = ( với a > 0, b > 0, a b)
Đáp án:
Câu 3: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Đáp án:
 b) A < 0 .
Câu 4: Rút gọn biểu thức: A = với .
 với a ≥ 0 và a ≠ 1. 
Đáp án: 
A 
, với .
 B = 
 = 
Câu 5: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1, a ¹ 2.
 a) Rút gọn P.
 b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Đáp án:
a) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2
Ta có: 
b) Ta có: P = 
P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 8 (a + 2)
Câu 6: Cho biểu thức A=
Rút gọn biểu thức A.
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
Đáp án:
ĐK: x0 và x1
A==với x0 và x1
b) Để A có giá trị nguyên khi x – 1 là ước của 3.
 x - 1 = -3 x = -2
 x – 1 = -1 x = 0 (loại)
 x – 1 = 1 x = 2
 x – 1 =3 x =4
Vậy biểu thức A có giá trị nguyên khi x = -2; x = 2 và x = 4
Câu 7: Cho M = với .
 a) Rút gọn M.
 b) Tìm x sao cho M > 0.
Đáp án 
 a) M = 
 = 
 = 
 = . 
b) M > 0 x - 1 > 0 (vì x > 0 nên > 0) x > 1. (thoả mãn)
Câu 8: Cho biểu thức: K = với x >0 và x1
Rút gọn biểu thức K
Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2
Đáp án:
a) K = = 
b) Khi x = 4 + 2, ta có: K = - 1 = 
Câu 9: Rút gọn biểu thức: B = với 
Đáp án:
Câu 10: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1	
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P > - 2
Đáp án: 
a) P = 
 = .
Vậy P = - 2.
b) Ta có: P - 2 > - 2 < 1 0 < a < 1
Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: 0 < a < 1
Vậy P > -2 khi và chỉ khi 0 < a < 1
Câu 11: Rút gọn biểu thức B = với .
Đáp án
 B = .
Câu 12: Cho biểu thức A = với a > 0, a ¹ 1
 	a) Rút gọn biểu thức A.
 	b) Tính giá trị của A khi .
Đáp án:
 a) Ta có A = = .
 b) nên A = .
Câu 13: Cho biểu thức P = với x > 0.
 a) Rút gọn biểu thức P.
 b) Tìm các giá trị của x để P > .
Đáp án:
 a) 
 .
 b) Với x > 0 thì . 
Vậy với thì P > .
Câu 14: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1.
 	a) Rút gọn biểu thức A.
 	b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Đáp án:
a) 
 b) A < 0 .
Câu 15: Cho biểu thức	P = với a > 0 và a 9.
	a) Rút gọn biểu thức P
	b) Tìm các giá trị của a để P > .
Đáp án:
a) P = .
 = . Vậy P = .
b) Ta có: > + 3 < 4 < 1 .
 Vậy P > khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Câu 16: Cho biểu thức A =với a > 0, a ¹ 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2. a = 2017 - 2.
Đáp án:
 a) A = 
= .
= .
b) a = 2017 - 2 
Vậy A = =12
Câu 17: Cho biểu thức:	Q = .
a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3- 3.
Đáp án: 
 ĐKXĐ: x > 0; x 1.
a) Q = .
b) Q = - 3 => 4x + 3 - 1 = 0 (thỏa mãn)
Câu 18: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9.
a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.
Đáp án:
 a) P = 
= 
= 
Vậy P = .
b) P < 1 .
Câu 19: Cho biểu thức: M = 
Rút gọn biểu thức M với 
Đáp án:
M = + x + 1
= 
= x - - x - + x + 1 = x - 2 + 1 = ( - 1)2 
Câu 20: Cho biểu thức: P = với x > 0.
 a) Rút gọi biểu thức P.
 b) Tìm x để P = 0.
Đáp án:
a) Ta có x2 + 
nên P = 
= . Vậy P = .
b) P = 0 x - = 0 ( - 1) = 0 	x = 0 (loại) ; x = 1 (t/m)
Vậy x = 1 thì P = 0
Câu 21: Rút gọn biểu thức: P= với x1 và x >0
Đáp án:
P = 
= = = 
C©u 22: Rót gän biÓu thøc
§¸p ¸n:
§iÒu kiÖn:
* Rót gän:
C©u 23: Cho biÓu thøcA = víi x > 0 vµ x ¹ 1
a) Rót gän A
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3
§¸p ¸n:
 a)	Ta cã: A = = = 
= = = = 	
b) A = 3 => = 3 => 3x + - 2 = 0 => x = 2/3 	
C©u 24: Cho P = + - 
a/. Rót gän P.
b/. Chøng minh: P < víi x 0 vµ x 1.
§¸p ¸n: 
a) §iÒu kiÖn: x 0 vµ x 1
P = + - 
 = + - 
 = 
 = = 	
b/. Víi x 0 vµ x 1 .Ta cã: P < < 
 3 0 )
 x - 2 + 1 > 0
 ( - 1)2 > 0. ( §óng v× x 0 vµ x 1)
C©u 25: : Cho biÓu thøc D = :
	a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D vµ rót gän D
	b) TÝnh gi¸ trÞ cña D víi a = 
	c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña D
§¸p ¸n 
a) - §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D lµ 
D = :
D = 
b) a = 
VËy D = 
c) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cauchy ta cã 
VËy gi¸ trÞ cña D lµ 1
C©u 26: Cho biÓu thøc A = 
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh
b) Rót gän A
§¸p ¸n 
a) §iÒu kiÖn x tháa m·n
	Û 	Û x > 1 vµ x ¹ 2	
KL: A x¸c ®Þnh khi 1 2	
 b) Rót gän A
A = 	
A = 	
Víi 1 < x < 2 A = 	
Víi x > 2 A = 	
KÕt luËn
Víi 1 < x < 2 th× A = 
Víi x > 2 th× A = 	
C©u 27: Cho biÓu thøc M =
T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M
T×m x ®Ó M = 5
T×m x Z ®Ó M Z.
§¸p ¸n:
 a) §K 
 Rót gän M =
BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = = 
 c) M = 
 Do M nªn lµ íc cña 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4 
 do 
Câu 28: Cho biểu thức : A = , với x0 và x9.
a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A = và tìm giá trị nhỏ nhất của A
Đáp án:
A = =
===
==
Tìm giá trị của x để A = và tìm giá trị nhỏ nhất của A
A===9=6x=36 (thoả mãn điều kiện)
3
=1 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1, khi x=0 (thoả mãn điều kiện)
Câu 29: Rút gọn biểu thức với và .
Đáp án:
 Ta có: ; 
Câu 30: Cho biểu thức: B = ( + )( - ) với b > 0; b≠ 9
a) Rút gọn B
b) Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
Đáp án: 
a) Với b > 0; b9 
B = 
= = 
B = nguyên khi +3 là ước của 4 vì+3≥3 
Nên +3 = 4 hay =1 b=1
 Vậy với b = 1 thì B đạt giá trị nguyên
Câu 31: Rút gọn biểu thức: 	 với .
Đáp án:Với ĐK: . Ta có:
Kết luận: Vậy với thì 
Câu 32: Cho biểu thức 
Với những giá trị nào của x thì biểu thức trên xác định ? Hãy rút gọn biểu thức B .
Đáp án:
 ĐK x>0 và x1
=
Bµi tËp d¹ng to¸n rót gän
Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1)
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A tại 
Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.
Bài 3: Cho biểu thức A =
1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa
2/.Rút gọn biểu thức A
3/.Với giá trị nào của x thì A< -1
Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với ) 
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = - 1
Bài 5: Cho biểu thức : B = 
1/ Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B 
2/ Tính giá trị của B với x =3 
3/ Tìm giá trị của x để 
Bài 6: Cho biểu thức : P = 
1/ Tìm TXĐ 
2/ Rút gọn P
3/ Tìm x để P = 2 
 Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
1/ Tìm TXĐ rồi rút gọn Q 
2/ Tìm a để Q dương 
3/ Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4
Bài 8: Cho biểu thức: M = 
1/ Tìm ĐKXĐ của M.
2/ Rút gọn M
3/Tìm giá trị của a để M = - 4 
Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau: 
 kq: 
 kq: 
 kq:
 kq:
 kq: 
 kq: 
 kq: 
 kq: 
Bµi 10. Cho biÓu thøc: kq: 
1, T×m §K X§ cña biÓu thøc A. 
2, Rót gän A.
3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi 
4, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A b»ng -3.
6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A nhá h¬n -1.
7, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A lín h¬n 
8, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A - 1 Max 
9, So s¸nh A víi 
Bµi 11. Cho biÓu thøc: kq: 
1, T×m x ®Ó biÓu thøc B x¸c ®Þnh. 
2, Rót gän B.
3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B khi x = 
4, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc B nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc B b»ng -2.
6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc B ©m.
7, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc B nhá h¬n -2.
8, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc B lín h¬n 
Bµi 12. Cho biÓu thøc: kq: 
1, BiÓu thøc C x¸c ®Þnh víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña x? 
2, Rót gän C.
3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C khi x = 
4, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc C b»ng -3.
5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc C lín h¬n .
6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc C nhá h¬n .
7, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc C nhá nhÊt.
8, So s¸nh C víi .
Bµi 13. Cho biÓu thøc: kq: 
1, T×m §K X§ cña biÓu thøc D. 
2, Rót gän D.
3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc D khi x = .
4, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc D b»ng 1.
5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc D ©m.
6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc D nhá h¬n -2 .
7, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc D nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
8, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc D lín nhÊt.
9, T×m x ®Ó D nhá h¬n .
Bµi 14. Cho biÓu thøc: 
1, T×m a ®Ó biÓu thøc E cã nghÜa. 
2, Rót gän E.
3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E khi a = 
4, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E b»ng -1.
5, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E d­¬ng.
6, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E nhá h¬n .
7, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E nhá nhÊt.
8, So s¸nh E víi 1 .
Bµi 15. Cho biÓu thøc: kq: 4a 
1, T×m §K X§ cña biÓu thøc F. 
2, Rót gän F. 
3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc F khi a = 
4, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc F b»ng -1. 
5, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E nhá h¬n .
6, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E nhá nhÊt.
7, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó . (). 
8, So s¸nh E víi .
Bµi 16. Cho biÓu thøc: kq: 
1, T×m x ®Ó M tån t¹i. 2, Rót gän M.
3, CMR nÕu 0 0. ()
3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M khi x = 4/25.
4, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc M b»ng -1.
5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc M ©m ; M d­¬ng.
6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc M lín h¬n -2 .
7, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc M nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
8, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc M lín nhÊt.
9, T×m x ®Ó M nhá h¬n -2x ; M lín h¬n .
10, T×m x ®Ó M lín h¬n .
 Bài 17:
	Cho biểu thức : P = ( với x 0 )
 a) Rút gọn biểu thức P.
	b) Tính giá trị của P tại x thoả mãn 
Bài 18:
	 Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
	a) Rút gọn biểu thức P.
	b) Tính tại a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0
Bài 19: Cho hai biểu thức : 
	 ; B = với x > 0; y > 0 ; x y
	 Tính A.B
Bài 20: Cho biểu thức: P = (với )
a) Rút gọn biểu thức P.
	 b)Tìm giá trị của x để P = 
 Bài 21: Rút gọn biểu thức: B = (với a>0 , a 4)
Bài 22. Cho biểu thức :
	 P = với x > 0
	 a) Rút gọn biểu thức P.
	 b) Tìm x để P = 2.
	 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 23: Cho biểu thức: M = với x 0, x 1
Thu gọn biểu thức M.
Tính tại x = 
Bài 24: a) Rút gọn biểu thức : B = ( x > 0 và x 1)
 b) Tìm x khi B = – 3
Bài 25: Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
	 a) Rút gọn biểu thức P.
	 b) Tính tại a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0
Bài 26: Cho biểu thức : P = với x > 0 và x ≠ 4
Rút gọn P.
Tìm x để P > 3 
Bài 27: a) Rút gọn biểu thức : Q = với x > 0 ; y > 0 và 
 b)Tính giá trị của Q tại x = ; y = 5
Bài 28: Cho biểu thức: P = với a > 0 , a ≠ 1
Rút gọn A.
Tìm các giá trị của a để A > 0.
Bài 29: Cho biểu thức : Q = với a > 0 ; a ≠ 1.
 a) Rút gọn biểu thức Q.
 b) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị 0 <a < 1 thì Q < 0.
Bài 30: Cho biểu thức , với x ³ 0 và x ¹ 9
	a) Rút gọn biểu thức A.
	b) Tìm giá trị của x để .
	c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A