Bài tập Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Đường tròn

Chuyên đề: Đường tròn
Bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn cực hay, có đáp án
Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Vẽ đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB, đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác COD. Chứng minh rằng hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc với nhau.
Bài 2: Cho các đường tròn (A; 10), (B; 15), (C; 15) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn (B) và (C) tiếp xúc với nhau tại A’. Đường tròn (A) tiếp xúc vớ đường tròn (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’
    a) Chứng minh rằng AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). Tính độ dài AA’
    b) Tính diện tích tam giác A’B’C’
Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) với R > R’ tiếp xúc trong với nhau tại A. Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại B và C (B, C khác A). Vẽ các đường tròn (M) và (N) có đường kính lần lượt là BC và OO’
    a) Chứng minh rằng BC = 2 OO’ và AM = 2 AN
    b) Từ A vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (N). Chứng minh rằng AE cũng là tiếp tuyến của đường tròn (M).
Bài 4: Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ các bán kính OB // O’D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO’. Đường thẳng DB và OO’ cắt nhau tại I.
    a) Tính góc BAD?
    b) Tính OI biết R = 3 cm; R’ = 2 cm
    c) Tính OI theo R và R’
    d) Chứng minh rằng BD, OO’ và tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) đồng quy.
Bài 6: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại C. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên d.
    a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (A; AD) và (B; BE)
    b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.
Bài 7: Xét ΔABC có các góc B, C nhọn. Các đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kì qua A và cắt hai đường tròn nói trên lần lượt tại M và N.
    a) Chứng minh H thuộc cạnh BC
    b) Tứ giác BCNM là hình gì?
    c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc một đường tròn
    d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.
Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1:
    Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC; AC = BD
    ⇒ ΔBDC = ΔACD (c.c.c)
    ⇒ ΔCOD cân
    ⇒ OC = OD dẫn tới OA = OB
    Ta có: IA = IB; OA = OB
    ⇒ Đường thẳng IO là đường trung trực của AB
    Tương tự OK là đường trung trực của CD
    Mặt khác, ABCD là hình thang cân nên các đường thẳng OI, OK trung nhau, ba điểm O, I, K thẳng hàng.
    ⇒ IK = IO + KO hay d = R + R’
    Do đó, hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài.
Bài 2:
    a) Theo tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta có:
    AB = 25; AC = 25; BC = 30 và A’ là trung điểm của BC
    ΔABC cân tại A có AA’ là đường trung tuyến nên cũng là đường cao
    ⇒ AA'⊥ BC
    ⇒ AA’ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B) và (C)
    Xét tam giác AA’C vuông tại A’ có:
    A'A2 = AC2 - A'C2 = 252- 152 ⇒ A'A = 20
    b) Ta có:
    ⇒ B’C’ // BC do đó B’C’ ⊥ AA’
    Lại có:
    ⇒ B'C'= 12
    Xét ΔABA’ có B’C’ // BC nên
    ⇒ A'H = 12
    Diện tích tam giác A’B’C’ là:
Bài 3:
    a) Ta có: OO’ = OA – O’A = R – R’
    BC = AB – AC = 2R – 2R’ = 2(R – R’) = 2OO’
    Mặt khác: MC = ½ BC = OO’ = 2ON ; AC = 2O’A
    ⇒ AM = AC + CM = 2O’A + 2ON = 2(O’A + ON) = 2AN
    b) Vẽ MF ⊥ AE, ta có MF // NE
    Do đó:
    Vậy điểm F nằm trên đường tròn (M) đường kính BC
    Mặt khác MF ⊥ AE nên AE là tiếp tuyến của đường tròn (M)
Bài 4:
    Vẽ OH ⊥ xy, H là một điểm cố định và OH không đổi
    Gọi giao điểm của AB và OM và OH lần lượt là E và F.
    Theo tính chất dây chung của hai đường tròn, ta có AB ⊥ OM
    Điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên góc AOM bằng 900
    Ta có: ΔOEF ~ ΔOHM (g.g)
    Mặt khác: ΔMAO vuông tại A có AE là đường cao nên
    OM.OE = OA2 = R2
    ⇒ OF.OH = R2 ⇒ OF = R2/OH
    Do OH không đổi nên OF cũng không đổi
    Vậy F là một điểm cố định, AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5:
    a) Trong tam giác OBA cân tại O có:
    Trong tam giác O’DA cân tại O có:
    Do OB // O’D nên
    Ta có:
    Vậy góc BAD bằng 900
    b) Áp dụng định lí Ta-let:
    c) Tương tự câu b, ta có:
    d) Gọi giao của tiếp tuyến chung ngoài và OO’ là I’
    Gọi giao điểm của tiếp tuyến chung ngoài với đường tròn (O) và (O’) lần lượt là G và H
    Ta có OG // O’H ( do cùng vuông góc với tiếp tuyến chung ngoài)
    Theo định lí Ta let ta có:
    ⇒ I’ trùng với I
    Vậy BD, OO’ và tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) đồng quy
Bài 6:
    a) Dễ thấy tứ giác ADEB là hình thang vuông
    Ta có OC // AD ( cùng vuông góc với d), O là trung điểm của AB
    ⇒ C là trung điểm của DE
    Ta có:  (so le trong, AD // OC)
     (Do ΔOAC cân tại O)
    Kẻ CH ⊥ AB
    Khi đó ΔADC = ΔAHC (cạnh huyền, góc nhọn)
    ⇒ AD = AH
    Chứng minh tương tự, ta được BH = BE
    Từ đó suy ra AB = AH + BH = AD + BE
    Ta thấy đoạn nối tâm của 2 đường tròn (A; AD) và (B; BE) bằng tổng hai bán kính nên chúng ở vị trí tiếp xúc ngoài.
    b) Vì  nên CD = CH = CE
    ⇒ CH là bán kính của đường tròn đường kính DE. Hơn nữa, CH⊥AB ⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn (C)
Bài 7:
    a) H ∈ (O) đường kính AB nên góc AHB bằng 900
    H ∈ (O) đường kính AC nên AHC bằng 900
    ⇒ B, H, C thẳng hàng.
    b) M ∈ (O) đường kính AB nên AMB bằng 900 ⇒ BM ⊥ d
    N ∈ (O) đường kính AC nên ANC bằng 900 ⇒ CN ⊥ d
    ⇒ BM // CN và BM ⊥ MN
    ⇒ Tứ giác BCNM là hình thang vuông.
    c) Ta có PQ là đường trung bình của hình thang vuông BCNM
    ⇒ PQ // BM và PQ ⊥ d
    Ta có: AQP bằng 900 ⇒ Q thuộc đường tròn đường kính AP
    Mặt khác AHP bằng 900 ⇒ H thuộc đường tròn đường kính AP
    Vậy 4 điểm A, H, P, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AP
    c) Xét tam giác ABC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // BC và BC = 2OO’ không đổi
    Trong hình thang vuông BCNM: NM ≤ BC
    Vậy MN lớn nhất khi MN = BC. Khi đó d // BC.