Bài toán cực trị phần hình học

Bài toán cực trị Phần hình học 
I. một số kiến thức cơ bản.
1. Cực trị trong hình học là gì?
Một số bài toán hình học mà trong đó các hình được nêu ra có cùng một tính chất và đòi hỏi ta tìm được hình sao cho có một đại lượng nào đó (số đo góc, độ dài đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ...) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là (max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) được gọi là bài toán cực trị hình học.
1) Lời giải của bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách:
Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN).
Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực thành một đại lượng khác tương đương (nếu được) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A. (A là một đại lượng nào đó như góc, đoạn thẳng, ....)
 a) - Ta chứng minh được A ³ m (m không đổi)
- Có một hình sao cho A = m thì GTNN của A là m
 b) Ta chứng minh được A Ê t (t không đổi)
- Có một hình sao cho A = t thì GTLN của A là t
- Từ đó ta xác định được vị trí của các điểm để đạt được cực trị.
Chú ý : Thường trình bày cực trị theo 2 cách:
Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ :
Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác 
Kiến thức cơ sở: 
Với 3 điểm A,B ,C bất kỳ ta có : ≤ AB ≤ AC + BC
 Dấu “ = “ xảy ra Û C 
- Trong tam giác ABC Có é BAC > é ABC Û BC < AC 
+ Quy tắc n điểm A1A2, ..., An 
Ta có A1An Ê A1A2 + A2A3 + ... An-1An
Dấu "=" xảy ra ÛA1A2, ..., An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
12. Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (0; R) , A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đường tròn . M là điểm cố định trên đường tròn (0) .
 Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị :
A
B
C
M
O
K
H
D
d
 a) Lớn nhất b) nhỏ nhất 
	Giải
 Vẽ đường thẳng d qua 0 và ^ AB tại K
d cắt đường tròn ( 0 ) tại C và D 
Hạ AH ^ AB 
ị SMAB = 
a) Ta có MH ≤ MK 
Xét 3 điểm M,O ,K ta có 
 MK ≤ OM + OK 
Û MK ≤ OC + OK Û MH ≤ CK 
ị SMAB ≤ ( không đổi ) 
Dấu “ = “ xảy ra Û H K
 Û M C
b) Xét 3 điểm M,O ,H ta có MH ≥ 
Mà OK ≤ OH và OK - OM = OK - OD = DK ị MH ≥ DK 
ị SMAB ≥ ( không đổi ) Dấu “ = “ xảy ra Û M 
 Và M K Û M D 
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R); A là điểm cố định trong đường tròn 
(A ạ O). Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn O sao cho góc OBA lớn nhất.
	Giải:
Giả sử có B ẻ (O). Vẽ dây BC của đường tròn (O) qua A ta có OB = OC = R 
A
 => DOBC cân tại O => góc OBC = 
Nên góc OBAmax góc COBmin. 
Trong DCOB có CO = OB = R không đổi
=> éCOB min BCmin = OHmax
Mà OH Ê OA nên OHmax H º A BC ^ OA tại A.	
Vậy OBAmax B ẻ (O) sao cho BC ^ OA tại A.
Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho AM + MB + MC + MD đạt cực trị nhỏ nhất.
O
M
D
A
C
B
	Giải:
Với 3 điểm M, A, C ta có: MA + MC ³ AC
Dấu "=" xảy ra Û M ẻ AC
Tương tự với ba điểm M, B, D
 ta có MB + MD ³ BD. 
Dấu "=" xảy ra Û M ẻ BD
AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (không đổi).
Dấu "=" xảy ra Û
Vậy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD ÛM º O
1.3. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc. Các diểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox,Oy sao cho góc MAB = 900. Xác định vị trí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2: Cho 2 đường tròn ở ngoài nhau (O;R) và (O';R'). A nằm trên (O), B nằm trên (O'). Xác định vị trí của điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất.
2 / Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên 
. 2.1. Kiến thức cơ sở
Ta có AH ^ d; A ẽ d; B,C ẻ d
*.AB ³ AH, dấu "=" xảy ra Û B º H
*.AB Ê AC Û BH Ê HC
2.2. Các ví dụ áp dụng 
Ví dụ1:: Cho DABC (Â = 900) M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD ^ AB; ME ^ AC (D ẻ AB, E ẻ AC). Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.
	Giải:
C
D
B
A
A
H
M
E
Vẽ AH ^ BC (H ẻ BC), H cố định và AH không đổi, tứ giác AEMD có Â = Ê = = 900
 => AEMD là hình chữ nhật.	
 => DE = AM mà AM ³ AH (không đổi) 
(theo t/c đường xiên và đường vuông góc). 
Dấu "=" xảy ra Û M ºH. Vậy khi M º H thì DE nhỏ nhất.
 Ví dụ 2 : Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d là OH ³ R. Lấy hai điểm bất kỳ A ẻ d; B ẻ (O;R). Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao cho độ dài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đó.
Giải:
Từ tâm (O) kẻ OH ^ d, OH cắt đường tròn (O) tại K. Xét ba điểm A. B. O ta có AB + OB Ê OA mà OA ³ OH (quan hệ đường xiên và đường vuông góc).
=> AB ³ OH - OB = HK không đổi
Vậy min AB = KH Û 
2.3.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho Bạch Mã = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho nửa đường tron (O;R) đường kính AB.M là một điểm trên nửa đường tròn, kẻ MH ^ HB. Xác định vị trí của M để: 
a) SDABC lớn nhất
b) Chu vi của DMAB lớn nhất.
3. Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn.
3.1 Kiến thức cơ sở:
 + Trong một đường tròn: đường kính là dây cung lớn nhất.
 + Dây cung lớn hơn Û dây đó gần tâm hơn.
 + Cung lớn hơn Ûdây trương cung lớn hơn
 + Cung lớn hơn Û góc ở tâm lớn hơn
3.2. Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm trong đường tròn đó (M ạ O). Xác định vị trí của dây cung AB của đường tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất.
	Giải:
O
M’
A
M
B’
A’
B
 Ta có dây AB ^ OM tại M là dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ của (O) A'B' không vuông góc với OM. Vẽ OM' ^ A'B'. M' ẻ A'B'; M' ạ M => OM' ^ MM' => OM > OM'
=> AB < A'B' (theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây).
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm di động trên đường tròn (O). Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Ta xét M ẻ cung BC. Trên MA lấy D sao cho MB = MD. Ta chứng minh được: DBMD là tam giác đều.
	=> = 602
Mà = 600 => 
Chứng minh cho DBAD = DBCM (gcg)
=> AD = MC
=> MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA
Mà MA là dây cung của đường tròn (O;R) => MA = 2R
=> max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R ÛMA là đường kính của đường tròn (O) ÛM là điểm chính giữa của cung BC.
Tương tự ta xét M thuộc cung AB và M thuộc cung AC => M là điểm chính giữa cung AB hoặc cung AC thì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
 3.4.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước. tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất.
4 . Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số 
4.1. Kiến thức bổ sung :
+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm: a,b
Ta có: . Dấu "=" xảy ra ú a= b
+ Bất đẳng thức côsi tổng quát cho n số không âm
. Dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
+ Bất đẳng thức Bunhiacôpski
(ax + by) Ê . Dấu "=" xảy ra Û .
+ Và một số bất đẳng thức quen thuộc khác.
4.2. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1 Cho đường tròn (0; R) , đường kính AB , M là điểm chuyển động trên đường tròn . Xác định vị trí của M trên đường tròn 
để MA + MB đạt giá trị lớn nhất
Giải :
Ta có : é AMB = 900 ( góc nt chắn nửa đ.tròn)
 D MAB có é M = 900 Theo Pitago ta có : 
A
B
M
MA2 + MB2 = AB2 = 4R2
áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 
MA + MB ≤ = 4R
MA + MB ≤ 4R
Dấu "=" xảy ra Û 
Û tg = = tg600
Û MÂB = 600 nên max(MA + .MB) = 4R Û MÂB = 600
Ví dụ 2 : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển trên đoạn ấy .Vẽ các đường tròn đường kính MA , MB .Xác định vị trí của M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất . 
A
M
B
O
O/
Giải 
 Đặt MA =x , MB = y , ta có : x + y = AB ( 0 < x< y < AB ) 
 Gọi S và S’thứ tự là diện tích của 2 hình tròn có đường kính là MA và MB 
Ta có : S + S’ = 
 áp dụng BĐT : x2 + y2 ≥ ị S + S’ ≥ . = 
 Dấu "=" xảy ra Û x = y Vậy Min (S + S’ ) = 
 Û M là trung điểm của AB
Ví dụ 3 : Cho D ABC có BC = a , AC = b , AB = c Tìm điểm M nằm bên trong tam giác ABC sao cho có giá trị nhỏ nhất . Trong đó x,y,z là khoảng cách từ M đến BC , AC , AB 
Giải
Gọi diện tích D ABC là S . Ta có ax +by + cz = 2S Không đổi 
Ap dụng BĐT Bunhiacopski ta có 
B
A
C
a
c
b
x
z
M
(ax +by + cz ) ( ) ≥ 
ị (ax +by + cz ) ( ) ≥ (a+b+c)2 
ị ( ) ≥ 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất 
Û ( ) = 
Û Û x = y = z Û D ABC là tam giác đều
4.3. Các bài tập áp dụng :
 Bài 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho chu DAMN = 2a. Tìm vị trí của M và N để SDAMN lớn nhất.
Bài 2: Cho DABC ngoại tiếp đường tròn (O;r). Kẻ các tiếp tuyến của đường tròn (O;r) song song với các cạnh của tam giác. Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích là S1, S2, S3. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số .