Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi và năng khiếu

PHẦN I: ĐỀ BÀI 
1. Chứng minh là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
 b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : .
 b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 
 c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : 
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
	a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)	b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
	a) | 2x – 3 | = | 1 – x |	b) x2 – 4x ≤ 5	c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
	x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
	a) 	b) 
	c) 	d) 
18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhưng nhỏ hơn 
19. Giải phương trình : .
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.
21. Cho .
 Hãy so sánh S và .
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số vô tỉ.
23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :
a) 	
b) 
c) .
24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : 
a) 	
b) với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : .
27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : .
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức : 
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)	
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + .. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + .. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
31. Chứng minh rằng : .
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : .
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0.
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu : 
a) ab và là số vô tỉ.	
b) a + b và là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : 
39. Chứng minh rằng bằng hoặc 
40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ;  ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : .
 c) Giải phương trình : 
43. Giải phương trình : .
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
45. Giải phương trình : 
46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
48. So sánh : a) b) 
	c) (n là số nguyên dương)
49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : .
50. Tính : 
 (n ≥ 1)
51. Rút gọn biểu thức : .
52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : 
53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
54. Giải các phương trình sau :
55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: .
56. Rút gọn các biểu thức :
57. Chứng minh rằng .
58. Rút gọn các biểu thức :
.
59. So sánh : 
60. Cho biểu thức : 
Tìm tập xác định của biểu thức A.
Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau : 
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 
63. Giải bất phương trình : .
64. Tìm x sao cho : .
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
	x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa: .
67. Cho biểu thức : .
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : (20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số : (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?
72. Cho biểu thức . Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính : 
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 
75. Hãy so sánh hai số : ; 
76. So sánh và số 0.
77. Rút gọn biểu thức : .
78. Cho . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : .
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : .
81. Tìm giá trị lớn nhất của : với a, b > 0 và a + b ≤ 1.
82. CMR trong các số có ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức : .
84. Cho , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) ≥ 2n.
86. Chứng minh : (a, b ≥ 0).
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài cũng lập được thành một tam giác.
88. Rút gọn : a) b) .
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có : . Khi nào có đẳng thức ?
90. Tính : bằng hai cách.
91. So sánh : a) 
92. Tính : .
93. Giải phương trình : .
94. Chứng minh rằng ta luôn có : ; "n Î Z+
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì .
96. Rút gọn biểu thức : A = .
97. Chứng minh các đẳng thức sau : 	(a, b > 0 ; a ≠ b)
 (a > 0).
98. Tính : .
	.
99. So sánh : 
100. Cho hằng đẳng thức : 
 (a, b > 0 và a2 – b > 0).
Áp dụng kết quả để rút gọn : 
101. Xác định giá trị các biểu thức sau :
với 	(a > 1 ; b > 1)
 với .
102. Cho biểu thức 
a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biểu thức .
a) Rút gọn biểu thức A.	b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
105. Rút gọn biểu thức : , bằng ba cách ?
106. Rút gọn các biểu thức sau : 
.
107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥ 
a) b) 
108. Rút gọn biểu thức : 
109. Tìm x và y sao cho : 
110. Chứng minh bất đẳng thức : .
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : .
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :
.
113. CM : với a, b, c, d > 0.
114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : .
115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : .
116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + .
118. Giải phương trình : 
119. Giải phương trình : 
120. Giải phương trình : 
121. Giải phương trình : 
122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 
123. Chứng minh .
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :
	 với a, b, c > 0.
125. Chứng minh với a, b, c, d > 0.
126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài cũng lập được thành một tam giác.
127. Chứng minh với a, b ≥ 0.
128. Chứng minh với a, b, c > 0.
129. Cho . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.
130. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
131. Tìm GTNN, GTLN của .
132. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
133. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
134. Tìm GTNN, GTLN của : 
135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn (a và b là hằng số dương).
136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.
137. Tìm GTNN của với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
138. Tìm GTNN của biết x, y, z > 0 , .
139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) với a, b > 0 , a + b ≤ 1
b) 
 với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.
141. Tìm GTNN của với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.
142. Giải các phương trình sau :
.
143. Rút gọn biểu thức : .
144. Chứng minh rằng, "n Î Z+ , ta luôn có : .
145. Trục căn thức ở mẫu : .
146. Tính : 
147. Cho . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.
148. Cho . b có phải là số tự nhiên không ?
149. Giải các phương trình sau :
150. Tính giá trị của biểu thức : 
151. Rút gọn : .
152. Cho biểu thức : 
	a) Rút gọn P.	b) P có phải là số hữu tỉ không ?
153. Tính : .
154. Chứng minh : .
155. Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.
156. Chứng minh : (a ≥ 3)
157. Chứng minh : (x ≥ 0)
158. Tìm giá trị lớn nhất của , biết x + y = 4.
159. Tính giá trị của biểu thức sau với .
160. Chứng minh các đẳng thức sau :
161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
162. Chứng minh rằng : . Từ đó suy ra:
163. Trục căn thức ở mẫu : .
164. Cho . Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
165. Chứng minh bất đẳng thức sau : .
166. Tính giá trị của biểu thức : với .
167. Giải phương trình : .
168. Giải bất các pt : a) .
169. Rút gọn các biểu thức sau :
170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức .
171. Tìm giá trị nhỏ nhất của với 0 < x < 1.
172. Tìm GTLN của : biết x + y = 4 ; b) 
173. Cho . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
174. Tìm GTNN, GTLN của : .
175. Tìm giá trị lớn nhất của .
176. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
177. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
178. Tìm GTNN, GTLN của biết .
179. Giải phương trình : .
180. Giải phương trình : .
181. CMR, "n Î Z+ , ta có : .
182. Cho . Hãy so sánh A và 1,999.
183. Cho 3 số x, y và là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số đều là số hữu tỉ
184. Cho . CMR : a, b là các số hữu tỉ.
185. Rút gọn biểu thức : . (a > 0 ; a ≠ 1)
186. Chứng minh : . (a > 0 ; a ≠ 1) 
187. Rút gọn : (0 < x < 2)
188. Rút gọn : 
189. Giải bất phương trình : (a ≠ 0)
190. Cho 
a) Rút gọn biểu thức A. 	b) Tính giá trị của A với a = 9.
c) Với giá trị nào của a thì | A | = A.
191. Cho biểu thức : .
a) Rút gọn biểu thức B.	b) Tính giá trị của B nếu .
c) So sánh B với -1.
192. Cho 
a) Rút gọn biểu thức A.	b) Tìm b biết | A | = -A.
c) Tính giá trị của A khi .
193. Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A nếu .	c) Tìm giá trị của a để .
194. Cho biểu thức .
a) Rút gọn biểu thức A.	b) Tìm giá trị của A để A = - 4
195. Thực hiện phép tính : 
196. Thực hiện phép tính : 
197. R ... ng hai vế, cuối cùng được : x = .
Điều kiện x ≤ 1 thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy).
Kết luận : Nghiệm là x = . Với a ≥ 1.
220. Nếu x = 0 thì y = 0, z = 0. Tương tự đối với y và z. Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > 0
Từ hệ phương trình đã cho ta có : .
Tương tự . Suy ra x = y = z. Xảy ra dấu “ = ” ở các bất đẳng thức trên với x = y = z = 1. Kết luận : Hai nghiệm (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1).
221. a) Đặt A = (8 + 3)7. Để chứng minh bài toán, chỉ cần tìm số B sao cho 0 < B < và A + B là số tự nhiên.
Chọn B = (8 - 3)7. Dễ thấy B > 0 vì 8 > 3. Ta có 8 + 3 > 10 suy ra :
Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + 3)7 = a + b với a, b Î N.
B = (8 - 3)7 = a - b. Suy ra A + B = 2a là số tự nhiên.
Do và A + B là số tự nhiên nên A có bảy chữ số 9 liền sau dấu phẩy.
Chú ý : 10- 7 = 0,0000001.
b) Giải tương tự như câu a.
222. Ta thấy với n là số chính phương thì là số tự nhiên, nếu n khác số chính phương thì là số vô tỉ, nên không có dạng . Do đó ứng với mỗi số n Î N* có duy nhất một số nguyên an gần nhất.
Ta thấy rằng, với n bằng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,  thì an bằng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3,  Ta sẽ chứng minh rằng an lần lượt nhận các giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3 Nói cách khác ta sẽ chứng minh bất phương trình :
 có hai nghiệm tự nhiên.
 có bốn nghiệm tự nhiên.
 có sáu nghiệm tự nhiên.
Tổng quát : có 2k nghiệm tự nhiên. Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với : k2 – k + < x < k2 + k + . Rõ ràng bất phương trình này có 2k nghiệm tự nhiên là : k2 – k + 1 ; k2 – k + 2 ;  ; k2 + k. Do đó :
.
223. Giải tương tự bài 24.
a) 1 < an < 2. Vậy [ an ] = 1.	b) 2 ≤ an ≤ 3. Vậy [ an ] = 2.
c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, còn 462 = 2116.
a1 = = 44 < a1 < 45.
Hãy chứng tỏ với n ≥ 2 thì 45 < an < 46. 
Như vậy với n = 1 thì [ an ] = 44, với n ≥ 2 thì [ an ] = 45.
224. Cần tìm số tự nhiên B sao cho B ≤ A < B + 1. Làm giảm và làm trội A để được hai số tự nhiên liên tiếp.
Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + 3 < (4n + 2)2 Þ 4n + 1 < < 4n + 2
Þ 4n2 + 4n + 1 < 4n2 + < 4n2 + 4n + 2 < 4n2 + 8n + 4
Þ (2n + 1)2 < 4n2 + < (2n + 2)2.
Lấy căn bậc hai : 2n + 1 < A < 2n + 2. Vậy [ A ] = 2n + 1.
225. Để chứng minh bài toán, ta chỉ ra số y thỏa mãn hai điều kiện : 0 < y < 0,1 (1).
x + y là một số tự nhiên có tận cùng bằng 2 (2).
Ta chọn y = . Ta có 0 < < 0,3 nên 0 < y < 0,1. Điều kiện (1) được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh x + y là một số tự nhiên có tận cùng bằng 2. Ta có :
.
Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = 5 + 2 , b = 5 - 2.
Sn = (5 + 2)n = (5 - 2)n
A và b có tổng bằng 10, tích bằng 1 nên chúng là nghiệm của phương trình X2 -10X + 1 = 0, tức là : a2 = 10a – 1 (3) ; b2 = 10b – 1 (4).
Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn.
Suy ra (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn),
tức là Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 - Sn+1 (mod 10)
Do đó Sn+4 - Sn+2 Sn (mod 10) (5)
Ta có S0 = (5 + 2)0 + (5 - 2)0 = 1 + 1 = 2 ; S1 = (5 + 2) + (5 - 2) = 10.
Từ công thức (5) ta có S2 , S3 ,  , Sn là số tự nhiên, và S0 , S4 , S8 ,  , S100 có tận cùng bằng 2, tức là tổng x + y là một số tự nhiên có tận cùng bằng 2. Điều kiện (2) được chứng minh. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
226. Biến đổi . Phần nguyên của nó có chữ số tận cùng bằng 9.
(Giải tương tự bài 36)
227. Ta có :
Theo cách chia nhóm như trên, nhóm 1 có 3 số, nhóm 2 có 5 số, nhóm 3 có 7 số, nhóm 4 có 9 số. Các số thuộc nhóm 1 bằng 1, các số thuộc nhóm 2 bằng 2, các số thuộc nhóm 3 bằng 3, các số thuộc nhóm 4 bằng 4.
Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70
228. a) Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.. .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm , , (3 – x) ta được : ..(3 – x) ≤ .
Do đó A ≤ 4 (1)
b) Xét x > 3, khi đó A ≤ 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận :
.
229. a) Lập phương hai vế, áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta được :
 Û x = - 1 ; x = 7 (thỏa)
b) Điều kiện : x ≥ - 1 (1). Đặt . Khi đó x – 2 = y2 ; x + 1 = z2 
nên z2 – y3 = 3. Phương trình đã cho được đưa về hệ :
Rút z từ (2) : z = 3 – y. Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – 6 = 0 Û (y – 1)(y2 + 6) = 0 Û y = 1
Suy ra z = 2, thỏa mãn (4). Từ đó x = 3, thỏa mãn (1). Kết luận : x = 3.
230. a) Có, chẳng hạn : .
b) Không. Giả sử tồn tại các số hữu tỉ dương a, b mà . Bình phương hai vế :
.
Bình phương 2 vế : 4ab = 2 + (a + b)2 – 2(a + b) Þ 2(a + b) = 2 + (a + b)2 – 4ab
Vế phải là số hữu tỉ, vế trái là số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn. 
231. a) Giả sử là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra 5 = . Hãy chứng minh rằng cả m lẫn n đều chia hết cho 5, trái giả thiết là phân số tối giản.
b) Giả sử là số hữu tỉ (phân số tối giản). Suy ra :
Thay m = 2k (k Î Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 Þ 4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ra 3n3 chia hết cho 2 Þ n3 chia hết cho 2 Þ n chia hết cho 2. Như vậy m và n cùng chia hết cho 2, trái với giả thiết là phân số tối giản.
232. Cách 1 : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Ta có hằng đẳng thức :
x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]. (bài tập sbt)
Do a, b, c ≥ 0 nên x, y, z ≥ 0, do đó x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Như vậy : 
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c.
Cách 2 : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm. Ta có :
Trong bất đẳng thức , đặt ta được :
.
Chia hai vế cho số dương (trường hợp một trong các số a, b, c bằng 0, bài toán được chứng minh) : . 
Xảy ra đẳng thức : a = b = c = Û a = b = c = 1
233. Từ giả thiết suy ra : . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương : . Tương tự :
Nhân từ bốn bất đẳng thức : .
234. Gọi . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
 (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : (2)
Nhân từng vế (1) với (2) : 
235. Đặt thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hiệu b3 – a3 , ta được :
b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y)
Do (1), ta thay 24 bởi 4(x3 + b3), ta có :
b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) =
= 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > 0 (vì x > y > 0).
Vậy b3 > a3 , do đó b > a.
236. a) Bất đẳng thức đúng với n = 1. Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có :
< 
Dễ dàng chứng minh : 
= 
Do đó 
b) Với n = 2, ta chứng minh (1). Thật vậy, (1) Û Û 32 > 22.
Với n ≥ 3, ta chứng minh (2). Thật vậy :
 (3)
Theo câu a ta có , mà 3 ≤ n nên (3) được chứng minh.
 Do đó (2) được chứng minh.
237. Cách 1 : . min A = 2 với x = 0.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
min A = 2 với x = 0.
238. Với x < 2 thì A ≥ 0 (1). Với 2 ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
- A ≤ 32 Þ A ≥ - 32. min A = - 32 với x = 4.
239. Điều kiện : x2 ≤ 9.
max A = với x = ± .
240. a) Tìm giá trị lớn nhất :
Cách 1 : Với 0 ≤ x < thì A = x(x2 – 6) ≤ 0.
Với x ≥ . Ta có ≤ x ≤ 3 Þ 6 ≤ x2 ≤ 9 Þ 0 ≤ x2 – 6 ≤ 3.
Suy ra x(x2 – 6) ≤ 9. max A = 9 với x = 3.
Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x. Ta có x ≥ 0, x2 – 9 ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9.
max A = 9 với x = 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất :
Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2)3 – 6x – (2)3 =
= (x + 2)(x2 - 2x + 8) – 6x - 16
= (x + 2)(x2 - 2x + 2) + (x + 2).6 – 6x - 16
= (x + 2)(x - )2 - 4 ≥ - 4.
min A = - 4 với x = .
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm :
x3 + 2 + 2 ≥ 3. = 6x.
Suy ra x3 – 6x ≥ - 4. min A = - 4 với x = .
241. Gọi x là cạnh của hình vuông nhỏ, V là thể tích của hình hộp.
Cần tìm giá trị lớn nhất của V = x(3 – 2x)2.
Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :
4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ = 8
max V = 2 Û 4x = 3 – 2x Û x = 
Thể tích lớn nhất của hình hộp là 2 dm3 khi cạnh hình vuông nhỏ bằng dm.
242. a) Đáp số : 24 ; - 11.	b) Đặt . Đáp số : 1 ; 2 ; 10.
c) Lập phương hai vế. Đáp số : 0 ; ± 
d) Đặt = y. Giải hệ : x3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, được (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
Û x = y. Đáp số : 1 ; .
e) Rút gọn vế trái được : . Đáp số : x = 4.
g) Đặt . Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, do đó vế phải của phương trình đã cho là . Phương trình đã cho trở thành : = .
Do a3 + b3 = 2 nên Þ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3)
Do a + b ≠ 0 nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2).
Từ a = b ta được x = 6. Từ ab = 0 ta được x = 7 ; x = 5.
h) Đặt . Ta có : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 – b3 = 2 (2).
Từ (1) và (2) : a – b = 2. Thay b = a – 2 vào (1) ta được a = 1. Đáp số : x = 0.
i) Cách 1 : x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x + 2 ≠ 0, chia hai vế cho .
Đặt . Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - 1. Hệ này vô nghiệm.
Cách 2 : Đặt = y. Chuyển vế : . Lập phương hai vế ta được :
y3 – 1 + y3 + 1 + 3..(- y) = - y3 Û y3 = y. .
Với y = 0, có nghiệm x = - 2. Với y ≠ 0, có y2 = . Lập phương : y6 = y6 – 1. Vô n0.
Cách 3 : Ta thấy x = - 2 nghiệm đúng phương trình. Với x - 2, phương trình vô nghiệm, xem bảng dưới đây :
x
Vế trái
x < - 2
x > - x
< - 1
> - 1
< 0
> 0
< 1
> 1
< 0
> 0
k) Đặt 1 + x = a , 1 – x = b. Ta có : a + b = 2 (1), = 3 (2)
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
.
Phải xảy ra dấu đẳng thức, tức là : a = b = 1. Do đó x = 0.
l) Đặt thì m4 + n4 = a + b – 2x. 
Phương trình đã cho trở thành : m + n = . Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế rồi thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = 0.
Suy ra m = 0 hoặc n = 0, còn nếu m, n > 0 thì 2m2 + 3mn + 2n2 > 0.
Do đó x = a , x = b. Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để các căn thức có nghĩa.
Giả sử a ≤ b thì nghiệm của phương trình đã cho là x = a. 
243. Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ 0 (a và b không đồng thời bằng 0).
Đặt , ta có : =
.
Vậy : (với a2 + b2 ≠ 0).
244. Do A là tổng của hai biểu thức dương nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
 = 
= . Đẳng thức xảy ra khi : 
.
Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy : min A = 2 Û x = 0.
245. Vì 1 + là nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có :
3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = 0.
Sau khi thực hiện các phép biến đổi, ta được biểu thức thu gọn :
(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = 0.
Vì a, b Î Z nên p = 4a + b + 42 Î Z và q = 2a + b + 18 Î Z. Ta phải tìm các số nguyên a, b sao cho p + q = 0.
Nếu q ≠ 0 thì = - , vô lí. Do đó q = 0 và từ p + q = 0 ta suy ra p = 0.
Vậy 1 + là một nghiệm của phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và chỉ khi :
 . Suy ra a = - 12 ; b = 6.
246. Giả sử là số hữu tỉ ( là phân số tối giản ). Suy ra : 3 = . Hãy chứng minh cả p và q cùng chia hết cho 3, trái với giả thiết là phân số tối giản.
247. a) Ta có : .
Do đó : .
b) .
248. Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : 
 Û a3 – 6a – 40 = 0 Û (a – 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 nên Þ a = 4.
249. Giải tương tự bài 21.
250. A = 2 + .
..............................................................................................