Đại số 9 - Chuyên đề 3: Phương trình bậc 2 - Định luật: Vi-ét

Chuyên đề 3: Phương trình bậc 2- ĐL Vi-ét.
I- Lí thuyết.
PTB2: ax2 + bx + c = 0 (a#0)
1. Cách giải.
+ Công thức nghiệm tổng quát (thu gọn).
+ Nhẩm nghiệm.
2. Định lí Vi-et thuận: 
3. Định lí Vi-et đảo: u+v=S; uv=P => u,v là nghiệm pt: x2 –Sx +P =0
4. Các biểu thức thường gặp áp dụng đl Viet:
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 
x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)
x14+x24=[(x1+x2)2-2x1x2]2-2(x1x2)2
5. Xét dấu các nghiệm của ptb2:
+ pt có 2 nghiệm trái dấu Û P= c/a<0
+ ------------------ cùng dấu Û 
+ ------------------ dương Û 
+ ------------------- âm Û 
6. Chú ý về tính chất của giá trị tuyệ đối:
II- Bài tập.
1. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
- CM pt có nghiệm với mọi m.
- Tìm m để pt có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
- Tìm m để pt có nghiệm = 4, tìm nghiệm còn lại.
2. c/m ít nhất 1 trong 2 pt sau có 2 nghiệm pb.
 x2+2mx+3=0; x2+6x+4m=0
3. c/m ít nhất 1 trong 2 pt sau vô nghiệm 
 x2+2x-6m=0; x2+4x+m2+15=0
4. Cho 2 pt: x2+2x-3 =0 và 2x2 – 2(3m+n)x +2m-n =0
 Tìm m để 2 pt trên tương đương.
5. Cho 2 phương trình: x2 – 3x + 3 =0 và x2 – (2m-1)x + m2 +m +3 =0
 Tìm m để 2 pt trên tương đương.
6. Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0	(1)
Chứng minh rằng luôn có hai nghiệm số phân biệt mọi m.
Định m để (1) có nghiệm x1 = 2. Tìm x2.
Định m để (1) có hai nghiệm đối nhau.
Định m để (1) có hai nghiệm nghịch đảo nhau.
7. Cho phương trình ẩn x: x2 - 2mx + m - 1 = 0	(1)
Chứng minh rằng (1) có 2 nghiệm phân biệt mọi m.
Định m để (1) có hai nghiệm thoả x21x2 + x1x22 = 12.
Định m để (1) có hai nghiệm t/m: |x1-x2|= 5
8.Cho phương trình: x2 + 3x - 2 = 0. Không giải phương trình trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên, hãy tính.
A= x31 + x32 ;B= x1 - x2 ;C= x12 - x22 ; D= x31 - x32
9. Cho phương trình ẩn x: x2 - 2x + m + 2 = 0
Định m để phương trình trên có nghiệm số
Định m để phương trình trên có hai nghiệm số x1; x2 thoả:
2.1) x12 + x22 = 10 	2.2) 
2.3) x2 - x1= 2	2.4) x12 + x22 = 0
2.5) x12 + x22 + 4x1x2 = 0	2.6) 2(x12 + x22 ) - (x1 + x2)2 = 2x1x2 - 5
10. Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0
Định m để phương trình trên có nghiệm số x1; x2
Định m để phương trình trên có nghiệm số kép và tính nghiệm số kép đó với giá trị m vừa tìm được.
Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2 . Hãy tính A theo m và tìm m sao cho A = 8.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
11. Cho phương trình: x2 - 3x - 4 = 0	(1)
Chứng minh rằng (1) có hai nghiệm x1, x2.
Không giải (1), hãy tìm một phương trình bậc hai có nghiệm số là: 
X1 = x1 + 1; X2 = x2 + 1
12. Cho phương trình: x2 - 3x -5 = 0	(1)
a. Chứng minh rằng (1) có hai nghiệm x1, x2.
b. Không giải (1), hãy tìm một phương trình bậc hai có nghiệm số là: 
13. Cho phương trình: x2 - 2mx - 1 = 0	(1)
a. Chứng minh rằng (1) có hai nghiệm x1, x2.
b. Không giải (1), hãy tìm một phương trình bậc hai có nghiệm là: 
14. Cho phương trình: x2 + 2(m - 1)x - 2m- 10 = 0
c/m pt có nghiệm với moi m.
Định m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thoả:
 x1x2 - 2(x1 + x2 )Ê 5
15. Cho phương trình: x2 + 2(m - 1)x - 2m - 5 = 0
a. c/m pt có nghiệm với moi m.
b. Định m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thoả:
 x1 + x2 + 2x1x2 Ê6 
16. Cho phương trình: x2 -4x + m + 1 = 0
Định m để phương trình trên có nghiệm.
Định m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thoả:
2.1) x2 - x1 = 4 ; 2.2) x1x2 - (x1 + x2 ) = 2
2.3) x21 + x22 = 10; 2.4) 
17. Cho pt: x2 – 2x + m2 =0
 a) Tìm m để pt có nghiệm 
 b) Tìm m để x1, x2 thỏa mãn:
18. Cho phương trình: x2 - 2x - m2 - 4 = 0	(1)
Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm số phân biệt.
Định m để (1) có một nghiệm là - 2. Tính nghiệm còn lại.
Định m để (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả:
3.1) x21 + x22 = 20	3.2) x1 = - 2x2
3.3) x1 - x2 = 10	3.4) 2x1 - 5x2 = 3
Tìm một phương trình bậc hai có nghiệm u1, u2 thoả:
4.1) u1 = 1 và u2 = - 4	4.2) u1 = x1 + 1; u2 = x2 + 1
4.3) 	4.4) 
19. Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x - 3 – m = 0
- CM pt có nghiệm với mọi m.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: (4x1+1)(4x2+1)=18
20. Cho phương trình: x2 – 2mx +2m – 1 = 0
- CM pt có nghiệm với mọi m.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: 2(x12 + x22 ) – 5x1x2 = 27
21. Cho phương trình: x2 – (2m - 3)x + m2 – 3m = 0
- CM pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: 1 < x1 < x2 < 6.
22. Cho phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0
- Tìm m để pt có nghiệm.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: x12 + x22 = 10
23. Cho phương trình: x2 – 4x - m2 – 3m = 0
- CM pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: x12 + x22 = 4(x1 + x2) 
- Lập pt bậc 2 ẩn y có 2 nghiệm: 
24. Cho phương trình: 2x2 + 6x + m = 0
- Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: 
25. Cho phương trình: x2 – (m - 1)x - m2 + m – 2 = 0
- CM pt có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.
- Tìm m để biểu thức E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
26. Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + 1 = 0
- Tìm m để pt có nghiệm.
- Tìm m để biểu thức E = 3x12 + 5x1x2 + 3x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
27. Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - 2m-1 = 0
- CM pt có nghiệm với mọi m.
- Tìm m để biểu thức: P= x12 + x22 + 2x1.x2(x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất.
29. Cho phương trình: x2 – 2mx - m2 - 1 = 0
- CM pt 2 có nghiệm x1, x2 với mọi m.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk:
30. Cho pt: x2-mx-m2-1=0
a) c/m pt có nghiệm với mọi m
b) Tìm m thoả mãn: x14+x24= 17
c) Tìm m thoả mãn: 
31. Cho phương trình: x2 + mx - 1 = 0
a) c/m pt có nghiệm với mọi m
b) Tìm m thoả mãn: x14 + x24 ³ 7
c) Tìm m thoả mãn:
32. Cho phương trình: x2 + mx - 2 = 0
a) c/m pt có nghiệm với mọi m
b) Tìm m thoả mãn:
33. Cho phương trình: mx2 + (m+2)x + 1-m = 0
a) Chứng minh pt có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m 
b) Tìm m thỏa mãn đk: x12 +x22 –(2-x1)(2-x2)= 1
c) Tìm m thỏa mãn đk: ệx1 + ệx2 > 1
34. Cho phương trình: x2 – 6x + 4 =0. Tính 
 35. Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + 5-m = 0
a) Tìm m để pt có 1 nghiệm =1. Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt
c) Viết 1 hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ ẻ vào m.
36. Cho phương trình: x2 -2(m - 1)x + m-3 = 0
a) Giải pt khi m=2
b) Chứng minh pt luôn có nghiệm với mọi m.
c) Viết 1 hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ ẻ vào m.
37. Cho phương trình ẩn x: (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (m 0)
a) c/m phương trình trên luôn có hai nghiệm số phân biệt x1, x2.
b)Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m.
38. Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + m2 - 4 = 0
a) c/m phương trình luôn có hai nghiệm số phân biệt x1, x2.
b) Viết 1 hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ ẻ vào m.
39. x2 - 2(m - 2)x + m2 + 2m - 1 = 0
a) Tìm m để pt có nghiệm .
b) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m.
 ***********
40. Cho pt: (m-1)x -2(m+1)x +m+4 =0 (m#1)
a) c/m pt có nghiệm với mọi m
b) c/m đẳng thức: 5(x1+x2)-4x1x2=6
41. Cho pt: x2-2(m-1)x + m2+m+2=0
a) c/m pt có nghiệm với mọi m
b) c/m đẳng thức: x13+x23 – x12x2-x1x22 + 12x1+12x2+16=0 
42. Cho pt: x2-2(m-1)x +m2-3m+4=0
a) Tìm m để pt có nghiệm 
b) c/m đẳng thức: x12+x22-2(x1+x2) -2x1x2= -8
43. Cho pt: x2-(2m-1)x –m =0
a) c/m pt có nghiệm với mọi m.
b) c/m biểu thức: A= x12+x22 – 6x1x2 ³ 0 với mọi m.
44. Cho pt: x2-2(m+1)x+2m+10=0
a) Tìm m để pt có nghiệm 
b) c/m biểu thức: B= 10x1x2+x12+x22 ³48 với mọi m.
45. Cho phương trình: x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0
- Tìm m để pt có nghiệm = 2, tìm nghiệm còn lại.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: x13 + x23 ≥ 0.
46. Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x - 4 = 0
- c/m pt có nghiệm với moi m.
- Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: ẵx1ẵ + ẵx2ẵ = 5.
47. Cho pt: x2 - 2(m -1)x + 2m -4 = 0
a) CM pt có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt. Tìm giá trị nhỏ nhất của y= x12 + x22
48. Cho pt: x2 – 2mx – 6m-9 = 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
b) ) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt. Tìm m để x12 + x22 =13
49. Cho pt: x2 + mx + n-3 = 0
a) với n=0 Chứng minh pt luôn luôn có nghiệm.
b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt. Tìm m, n thoả mãn: 
50. Cho phương trình: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0
a) CM pt có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để x1, x2 thoả mãn đk: x1 = x22
51. Cho phương trình: x2 –2x - (m2 - 4m +3) = 0
- CM pt có nghiệm với mọi m.
- Tìm m để pt có 2 nghiệm không âm.
52. Cho phương trình: x2 + 6x - (m2 + 4m - 5) = 0
- CM pt có nghiệm với mọi m.
- Tìm m để pt có 2 nghiệm âm.
*****************
1. Cho 2 pt: x2-mx-2=0 và x2-x+6m=0
Tìm m nguyên để 2 pt có ít nhất 1 nghiệm chung.
[ *C1: gọi x0 là 1 nghiệm chung -> triệt tiêu x02 -> ptb1 x0 -> xét 2 th -> x0 -> thay pt -> m -> thử lại.
 *C2: rút m từ 2 pt -> ptb3 x -> x -> thử lại
* C3: Lập hệ -> 2pt co no chung khi hệ có no duy nhất -> đặt x2=y -> giải hệ tìm x, y theo m -> từ đk: x2=y -> m ]
4. c/m với mọi m pt sau luôn có nghiệm .
 m(m-1)x2-(2m-1)x+1=0
5. Cho2 pt: x2+x+m=0; x2+mx+1=0
a. Tìm m để 2 pt có nghiệm chung
b. Tìm m để 2 pt tđ.
6. Cho pt: x2+2mx+4=0
7. Cho phương trình ẩn x: mx2 - 2(m - 1)x + m = 0 (m 0). Gọi x1, x2 là nghiệm số của phương trình trên. CMR: nếu x21 + x22 = 2 thì phương trình trên có nghiệm số kép.
4. Cho 2 phương trình: x2 + x + m = 0 (1)
 x2 + mx + 1 = 0 (2)
Tìm m để 2 phương trình:
Có ít nhất 1 nghiệm chung.
Tương đương với nhau.