Đề cương môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 3: Sự xác định đường tròn. Đường kính và dây của đường tròn

CHỦ ĐỀ 3: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. 
 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
I/ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.
1. Định nghĩa đường tròn.
	* Đường tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.
	* Kí hiệu: (O ; R) hoặc (O).
2. Điểm thuộc và không thuộc đường tròn.
	* Điểm M ∈ (O ; R) hay M nằm trên đường tròn hay (O) đi qua M ó OM = R.
	* Điểm N nằm ngoài đường tròn ó ON > R
	* Điểm P nằm trong đường tròn ó OP < R
3. Đường kính của đường tròn.
	Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm O gọi là đường kính của đường tròn tâm O.
	Tâm O của đường tròn là trung điểm của đường kính.
4. Cách xác định đường tròn.
	Một đường tròn xác định khi biết tâm và bán kính hoặc biết đường kính.
5. Chú ý.
	* Qua ba điểm không thẳng hàng A , B , C ta vẽ được một đường tròn duy nhất có tâm là giao điểm ba đường trung trực của ∆ABC.
	* Qua hai điểm A , B cho trước ta vẽ được vô số đường tròn có tâm nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
	* Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng.
6. Tâm đối xứng và trục đối xứng của đường tròn.
	* Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
	* Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó
	=> Một đường tròn chỉ có duy nhất một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng.
II/ ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
1. Dây của đường tròn.
	Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trên đường tròn gọi là dây của đường tròn đó.
	Ví dụ: Dây MN của (O)
	 Đường kính AB cũng được gọi là dây của (O).
2. So sánh độ dài đường kính và dây.
	Định lý 1: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
3. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
	Định lý 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
	Định lý 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ 3
I/ PHƯƠNG PHÁP.
	* Trong một đường tròn đường kính là dây lớn nhất.
	* Trong một đường tròn:
	+ Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó.
	+ Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.
	* Để chứng minh các điểm thuộc một đường tròn: cần nhớ:
+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp
+ Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.
+ Trong tam giác thường: 
- Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó
- Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó
- Các đỉnh của hình chữa nhật cùng thuộc đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo.
- Các đỉnh của hình vuông cùng thuộc đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo.
=> PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm cách đều điểm cho trước.
II/ BÀI TẬP MẪU.
Ví dụ 1. Cho tam giác đều có cạnh bằng . là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó
Giải
Vì tam giác đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao . 
 lần lượt vuông góc với . 
 các tam giác là tam giác vuông với là cạnh huyền
 Các điểm cùng thuộc đường tròn Đường kính , tâm đường tròn là Trung điểm của 
Ví dụ 2. Cho tứ giác có Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó
Giải
Kéo dài cắt nhau tại điểm thì tam giác vuông tại .
+ Có là đường trung bình của tam giác => 
+ là đường trung bình của tam giác => . 
Mặt khác . 
Chứng minh tương tự ta cũng có: . 
Suy ra là hình chữ nhật. 
Hay các điểm thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường chéo 
Ví dụ 3. Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của ; là trọng tâm của tam giác . Gọi là giao điểm của và . Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Giải
Vì tam giác cân tại nên tâm của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của .Gọi là giao điểm của và 
Dựng các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại trọng tâm .Do . Gọi là giao điểm của và thì là trọng tâm của tam giác suy ra .
Mặt khác ta có suy ra hay là trực tâm của tam giác . 
Như vậy tam giác vuông tại . 
Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của .
Ví dụ 4. Cho hình thang vuông có . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên ; là trung điểm của . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 
Giải
Gọi là trung điểm của thì là đường trung bình của tam giác suy ra , mặt khác 
=> là trực tâm của tam giác => . 
Do nên là hình bình hành 
Suy ra . 
Từ đó ta có: hay tam giác vuông tại nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của .
Ta có .
Ví dụ 5. Cho lục giác đều tâm . Gọi là trung điểm của . cắt tại . Chứng minh rằng các điểm nằm trên một đường tròn
Giải
 là lục giác đều => nằm trên đường tròn đường kính .
Vì tam giác nên điểm cách đều => là phân giác trong của góc 
Kẻ (Do là đường trung bình của tam giác 
Kẻ (Do với )
Do 
=> cách đều hay là phân giác ngoài của . 
Vậy 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính .
Ví dụ 6. Cho hình vuông . Gọi là trung điểm là điểm thuộc đường chéo sao cho . Chứng minh 4 điểm nằm trên cùng một đường tròn
Giải
Ta thấy tứ giác có nên để chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh 
Cách 1: Kẻ đường thẳng qua song song với cắt tại . 
Xét ∆vuông và ∆vuông có 
=> => => ∆ vuông tại . 
Suy ra 4 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính 
Cách 2: Gọi là trung điểm của với là giao điểm của hai đường chéo. 
Dễ thấy là hình bình hành nên suy ra . 
Mặt khác do là trực tâm của tam giác .
Ví dụ 7. Cho tam giác có trực tâm . Lấy điểm thuộc tia sao cho và nằm giữa . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh cácđiểm cùng thuộc một đường tròn 
Giải
Giả sử cắt tại . Ta có do cùng vuông góc với suy ra ( góc đồng vị) . 
Tương tự ta cũng có kết hợp với giả thiết . 
Mặt khác ta có nên hay thuộc đường tròn đường tròn đường kính . 
Dễ thấy nên cácđiểm cùng thuộc một đường tròn.
II/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Cho tam giác ABC có các đường cao BH và CK.
	a) Chứng minh: B, K, H và C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
	b) So sánh KH và BC.
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Vẽ (O) đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.
 a) Chứng minh: CD AB; BE AC.
 b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: AK BC.
Bài 3: Cho hình thoi ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. M, N, R và S lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD và DA. Chứng minh 4 điểm M, N, R và S cùng thuộc một đường tròn.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5: Hình thoi ABCD có . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh 6 điểm E, B, F, G, D, H thuộc cùng một đường tròn.
Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C thuộc đường (O). Đường tròn (I) đường kính OA cắt OC tại D. Vẽ CH ^ AB. 
	a) Chứng minh A, C, D, H cùng thuộc một đường tròn.
	b) Chứng minh OD = OH. Từ đó chỉ ra HD // AC.
Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có , CD = 2AD. Chứng minh các điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Bài 8: Cho (O) đường kính MN, I thuôc OM, K thuộc ON. Qua I, K vẽ các dây AB và CD vuông góc với MN
a) C/m MN là đường trung trực của AB và CD
b) C/m ABCD là hình thang cân
Bài 9: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm trên AB (điểm M khác O). Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.
	a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
	b) Giả sử R = 6cm ; MA = 4cm. Tính CD.
c)* Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh: . 
Bài 10: Cho đường tròn (O; R). Vẽ hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho OM = ON. Vẽ dây CD đi qua M, N (M ở giữa C và N).
	a) Chứng minh CM = DN.
	b) Giả sử . Tính OM theo R sao cho .
Bài 11: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Qua M, N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB).
	a) Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật.
b) Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn . Tính diện tích hình chữ nhật CDFE.
Bài 12: Cho hình chữ nhật , kẻ vuông góc với . Trên ta lấy các điểm sao cho . Chứng minh điểm nằm trên một đường tròn.
Gợi ý: , hãy chứng minh