Đề cương ôn tập môn Đại số Lớp 9 - Bài 5+6

 Toán 9 Tài liệu dạy học 
 Bài 5. CƠNG THỨC NGHIỆM THU GỌN 
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 
 . Xét phương trình bậc hai ẩn x : ax2 bx c 0,( a 0). Khi bb 2 , gọi biệt thức 
 b2 ac , ta cĩ 
a) Trường hợp 1: Nếu 0 thì phương trình vơ nghiệm. 
 b 
b) Trường hợp 2 : Nếu 0 thì phương trình cĩ nghiệm kép xx . 
 12a
 b 
c) Trường hợp 3 : Nếu 0 thì phuơng trình cĩ hai nghiệm phân biệt x . 
 1,2 a
 Chú ý: Ta thường sử dụng biệt thức khi phương trình bậc hai đã cho với hệ số b chẵn và cĩ 
dạng bb 2 , khi đĩ các phép tính tốn trong bài tốn đơn giản hơn. 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Dạng 1: Sử dụng cơng thức nghiệm thu gọn, giải phương trình bậc hai 
 . Bước 1: Xác định các hệ số a, b ', c . 
 . Bước 2: Sử dụng cơng thức nghiệm thu gọn để giải phương trình. 
Ví dụ 1. Xác định các hệ số a , b , c , tính biệt thức , từ đĩ áp dụng cơng thức nghiệm thu gọn để 
giải các phương trình sau 
 2 1
a) 3xx 4 1 0 . ĐS: 1; . 
 3
 2 1 2 1 2
b) 4xx 4 1 0. ĐS: ; . 
  22
c) 3xx2 2 2 4 0. ĐS: Vơ nghiệm. 
d) xx2 8 2 0 . ĐS: 2. 
Ví dụ 2. Xác định các hệ số a , b , c , tính biệt thức , từ đĩ áp dụng cơng thức nghiệm thu gọn 
để giải các phương trình sau 
a) xx2 6 5 0 . ĐS: 1;5 . 
 2  4 10 4 10
b) 3xx 4 2 0 . ĐS: ; . 
  33
c) xx2 2 3 4 0 . ĐS: 3 7; 3 7 . 
d) xx2 20 5 0. ĐS: 5 . Toán 9 Tài liệu dạy học 
Ví dụ 3. Đưa về dạng ax2 20 b x c , từ đĩ giải các phương trình sau bằng cơng thức nghiệm 
thu gọn 
a) xx2 24. ĐS: 2 6;2 6 .. 
b) 3 x22 2 3 x 2 x . ĐS: 3. . 
 2 3 3 3 3
c) 2(xx 2) 2 5. ĐS: ; . 
  22
d) 8(xx 8) ( 2)2 . ĐS: Vơ nghiệm. 
Ví dụ 4. Đưa về dạng ax2 20 b x c , từ đĩ giải các phương trình sau bằng cơng thức nghiệm 
thu gọn 
a) 45xx 2 . ĐS: 1;5 . 
b) xx2 83. ĐS: Vơ nghiệm.. 
c) x22 2 3 x 2 x 1. ĐS: 3 2; 3 2. 
d) ( 5 xx )2 2 5 15 . ĐS: 25 . 
Dạng 2: Sử dụng cơng thức nghiệm thu gọn, xác định số nghiệm của phương trình bậc hai 
 . Xét phương trình dạng bậc hai: ax2 bx c 0. 
 a 0
 . Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi . 
 0
 a 0
 . Phương trình cĩ nghiệm kép khi và chỉ khi . 
 0
 a 0
 . Phương trình cĩ đúng một nghiệm khi và chỉ khi . 
 b 0
 a0, b 0, c 0
 . Phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi . 
 a 0, 0
Ví dụ 5. Cho phương trình mx2 6 x 1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình 
a) Cĩ hai nghiệm phân biệt. ĐS: 90 m . 
b) Cĩ nghiệm kép. ĐS: m 9. 
c) Vơ nghiệm. ĐS: m 9 . 
d) Cĩ đúng một nghiệm. ĐS: m 0. Toán 9 Tài liệu dạy học 
Ví dụ 6. Cho phương trình mx2 4 x 1 0, ( m là tham số) Tìm m để phương trình 
a) Cĩ hai nghiệm phân biệt. ĐS: 40 m . 
b) Cĩ nghiệm kép. ĐS: m 4. 
c) Vơ nghiệm. ĐS: m 9 . 
d) Cĩ đúng một nghiệm. ĐS: m 0. 
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai 
 . Xét phương trình dạng bậc hai: ax2 bx c 0 với biệt thức b2 ac . 
 . Nếu a 0 , ta đưa về biện luận phương trình bậc nhất. 
 . Nếu a 0 , ta biện luận phương trình bậc hai theo ' . 
Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau ( m là tham số) 
a) mx2 2 x 4 0. b) x22 4( m 1) x 4 m 0 . 
Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau ( m là tham số) 
a) mx2 6 x 2 0. b) x22 2( m 2) x m 0. 
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG 
Bài 1. Sử dụng cơng thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau 
a) xx2 10 16 0 . ĐS: 2;8 . 
b) 3xx2 4 2 0 . ĐS: 2;8 . 
 2 10 2 10
c) xx2 6 2 2 0 . ĐS: ; . 
 33
d) xx2 40 10 0. ĐS: 10 . 
Bài 2. Giải các phương trình sau 
a) xx2 83. ĐS: 4 19;4 19. 
b) x2 3 x 7 x 1. ĐS: 5 6; 5 6. 
c) (xx 2)2 2(1 ) . ĐS: vơ nghiệm. 
d) xx2 6( 2 3) . ĐS: 32 . 
Bài 3. Cho phuơng trình x22 2( m 1) x m 1 0, ( m là tham số) Tìm m để phương trình 
a) Cĩ hai nghiệm phân biệt. ĐS: m 0. Toán 9 Tài liệu dạy học 
b) Cĩ nghiệm kép. ĐS: m 0. 
c) Vơ nghiệm. ĐS: m 0. 
d) Cĩ đúng một nghiệm. ĐS: khơng tồn tại. 
Bài 4. Giải và biện luận phương trình mx2 2( m 1) x m 1 0 , ( m là tham số) 
 Toán 9 Tài liệu dạy học 
 HƯỚNG DẪN GIẢI 
Ví dụ 1. [9D4B5] 
Xác định các hệ số a , b , c , tính biệt thức , từ đĩ áp dụng cơng thức nghiệm thu gọn để giải các 
phương trình sau 
 2 1
a) 3xx 4 1 0 . Đáp số 1; 
 3
 2 1 2 1 2
b) 4xx 4 1 0. Đáp số ; 
  22
c) 3xx2 2 2 4 0. Đáp sốVơ nghiệm 
d) xx2 8 2 0 . Đáp số 2r 
Lời giải. 
a) 3xx2 4 1 0 . a 3,b 2 , c 1. ( 2)2 3  1 1.
 ( 2) 1 ( 2) 1 1 1
 xx12 1. .Vậy S 1; . 
 3 3 3 3
b) 4xx2 4 1 0. a 4 ,b 2, c 1. (2)2 ( 4)  1 8 .
 2 8 1 2 2 8 1 2 1 2 1 2
 xx12 .. Vậy S ;. 
 4 2 4 2  22
c) 3xx2 2 2 4 0. a 3,b 2 , c 4. ( 2)2 3  4 10 0.Vậy phương trình vơ 
nghiệm. 
d) x22 8 x 2 0 x 2 2 2 0 . a 1,b 2 , c 2 . ( 2)2 1  2 0.
 2
 xx 2.Vậy S 2.r 
 121 
Ví dụ 2. [9D4B5] 
Xác định các hệ số a , b , c , tính biệt thức , từ đĩ áp dụng cơng thức nghiệm thu gọn để giải các 
phương trình sau 
a) xx2 6 5 0 . Đáp số 1;5 
 2  4 10 4 10
b) 3xx 4 2 0 . Đáp số ; 
  33
c) xx2 2 3 4 0 . Đáp số 3 7; 3 7 Toán 9 Tài liệu dạy học 
d) xx2 20 5 0. Đáp số 5 
Lời giải. 
 ( 3) 4
a) xx2 6 5 0 . a 1,b 3, c 5 . ( 3)2 1  5 4 . x 1.
 1 1
 ( 3) 4
 x 5 .Vậy S 1;5 . 
 2 1
 ( 4) 10 4 10
b) 3xx2 4 2 0 . a 3,b 2 , c 2. ( 2)2 ( 3)  2 10. x .
 1 33
 ( 4) 10 4 10  4 10 4 10
 x2 .Vậy S ;. 
 33  33
c) xx2 2 3 4 0 . a 1,b 3 , c 4 . ( 3)2 1  ( 4) 7 .
 ( 3) 7 ( 3) 7
 x 37 . x 3 75.Vậy S 3 7; 3 7 . 
 1 1 2 1 
d) x22 20 x 5 0 x 2 5 x 5 0. a 1,b 5 , c 5 . ( 5)2 1  5 0.
 ( 5)
 xx 5 .Vậy S 5.r 
 121 
Ví dụ 3. [9D4B5] 
Đưa về dạng ax2 20 b x c , từ đĩ giải các phương trình sau bằng cơng thức nghiệm thu gọn 
a) xx2 24. Đáp số 2 6;2 6 . 
b) 3 x22 2 3 x 2 x . Đáp số 3. 
 2 3 3 3 3
c) 2(xx 2) 2 5. Đáp số ; 
  22
d) 8(xx 8) ( 2)2 . Đáp sốVơ nghiệmr 
Lời giải. 
a) x22 2 4 x x 2  2 x 2 0. a 1,b 2 , c 2 . ( 2)2 1  ( 2) 6 .
 ( 2) 6 ( 2) 6
 x 26 . x 26 .Vậy S 2 6;2 6 . 
 1 1 2 1 
b) 3 x2 2 3 x 2 x 2 x 2 2 3 x 3 0 . a 1,b 3 , c 3. ( 3)2 1  3 0 .
 ( 3)
 xx 3 .Vậy S 3. 
 12 1  Toán 9 Tài liệu dạy học 
c) 2(x 2)22 2 x 5 2 x 2330  x . a 2,b 3, c 3. ( 3)2 2  3 3.
 ( 3) 3 3 3 ( 3) 3 3 3 3 3 3 3
 x1 . x2 .Vậy S ;. 
 22 22  22
d) 8(x 8)( x 2)22 x 222100  . a 1,b 22, c 10 .
 ( 2 2)2 1  10 2 0.Vậy phương trình vơ nghiệm.r 
Ví dụ 4. [9D4B5] 
Đưa về dạng ax2 20 b x c , từ đĩ giải các phương trình sau bằng cơng thức nghiệm thu gọn 
a) 45xx 2 . Đáp số 1;5 
b) xx2 83. Đáp sốVơ nghiệm. 
c) x22 2 3 x 2 x 1. Đáp số 3 2; 3 2 
d) ( 5 xx )2 2 5 15 . Đáp số 25 r 
Lời giải. 
a) 4x x22 5 x 2  2 x 5 0. a 1,b 2 , c 5 . ( 2)2 1  ( 5) 9.
 ( 2) 9 ( 2) 9
 x 1. x 5 .Vậy S 1;5 . 
 1 1 2 1
b) x22 8 x 3 x 2 2 x 3 0. a 1,b 2 , c 3. ( 2)2 1  3 1 0 .Vậy 
phương trình vơ nghiệm. 
c) x2 2 3 x 2 x 2 1 x 2 2 3 x 1 0 . a 1,b 3 , c 1. ( 3)2 1  ( 1) 4 .
 ( 3) 4 ( 3) 4
 x 32 . x 32 .Vậy S 3 2; 3 2 . 
 1 1 2 1 
d) (5 x )22 2515 x x 225  x 200 . a 1,b 25, c 20 .
 (2 5)
 ( 2 5)2 1  20 0 . xx 25.Vậy S 2 5 .r 
 12 1 
Ví dụ 5. [9D4K5] 
Cho phương trình mx2 6 x 1 0 , ( m là tham số) Tìm m để phương trình 
a) Cĩ hai nghiệm phân biệt. Đáp số 90 m 
b) Cĩ nghiệm kép. Đáp số m 9 
c) Vơ nghiệm. Đáp số m 9 Toán 9 Tài liệu dạy học 
d) Cĩ đúng một nghiệm. Đáp số m 0 
Lời giải. 
a) ( 3)2 mm  ( 1) 9 .Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt 
 a 0 m 0 m 0
 0 9 mm 0 9.
 a 0 m 0 m 0
b) Phương trình cĩ nghiệm kép m 9. 
 0 9 mm 0 9
 a 0 m 0 m 0
c) Phương trình vơ nghiệm m 9. 
 0 9 mm 0 9
 a 0
d) Phương trình cĩ đúng một nghiệm m 0 . 
 b 0
Ví dụ 6. [9D4K5] 
Cho phương trình mx2 4 x 1 0, ( m là tham số) Tìm m để phương trình 
a) Cĩ hai nghiệm phân biệt. Đáp số 40 m 
b) Cĩ nghiệm kép. Đáp số m 4 
c) Vơ nghiệm. Đáp số m 9 
d) Cĩ đúng một nghiệm. Đáp số m 0 
Lời giải. 
 a 0 mm 00
a) Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt 2 
 ( 2) m  ( 1) 0 4 mm 0 4.
 am 00
b) Phương trình cĩ nghiệm kép m 4 . 
 04m 
 am 00
c) Phương trình vơ nghiệm m 9 . 
 0m 9 0
 a 0
d) Phương trình cĩ đúng một nghiệm m 0 . 
 b 0
Ví dụ 7. [9D4G5] 
Giải và biện luận các phương trình sau ( m là tham số) 
a) mx2 2 x 4 0. Toán 9 Tài liệu dạy học 
b) x22 4( m 1) x 4 m 0 .r 
Lời giải. 
a) mx2 2 x 4 0.TH1. am 00 , phương trình trở thành 2xx 4 0 2 .TH2. 
 am 00 . (1)2 mm  4 1 4 . 
 1
b) 1 4mm 0 , phương trình vơ nghiệm. 
 4
 1 1
c) 1 4mm 0 , phương trình cĩ nghiệm kép x 4. 
 4 0 m
 1
d) 1 4mm 0 , phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt [+]2 
 4
 1 1 4m
e) x 
 1 m
 1 1 4m
f) x r 
 2 m
Kết luận 
 1
g) m , phương trình vơ nghiệm. 
 4
h) m 0, phương trình cĩ nghiệm duy nhất x 2 . 
 1
i) m , phương trình cĩ nghiệm kép x 4 . 
 4 0
 1
j) m và m 0 , phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt [+]2 
 4
 1 1 4m
k) x 
 1 m
 1 1 4m
l) x r 
 2 m
m) x22 4( m 1) x 4 m 0 . ( 2(m 1))22 4 m 8 m 4 . 
 1
n) 8mm 4 0 , phương trình vơ nghiệm. 
 2
 1 ( 2(m 1))
o) 8mm 4 0 , phương trình cĩ nghiệm kép xm 2 2 1. 
 2 0 1 Toán 9 Tài liệu dạy học 
 1
p) 8mm 4 0 , phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt [+]1 
 2
 ( 2(mm 1)) 8 4
q) x 2( m 1) 8 m 4 
 1 1
 ( 2(mm 1)) 8 4
r) x 2( m 1) 8 m 4. r 
 2 1
Kết luận 
 1
s) m , phương trình vơ nghiệm. 
 2
 1
t) m , phương trình cĩ nghiệm kép x 1. 
 2 0
 1
u) m , phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt 
 2
. x1 2( m 1) 8 m 4 
. x2 2( m 1) 8 m 4. r 
Ví dụ 8. [9D4G5] 
Giải và biện luận các phương trình sau ( m là tham số) 
a) mx2 6 x 2 0. 
b) x22 2( m 2) x m 0.r 
Lời giải. 
 1
a) mx2 6 x 2 0.TH1. am 00 , phương trình trở thành 6xx 2 0 .TH2. 
 3
 am 00 . ( 3)2 mm  2 9 2 . 
 9
b) 9 2mm 0 , phương trình vơ nghiệm. 
 2
 9 32
c) 9 2mm 0 , phương trình cĩ nghiệm kép x . 
 2 0 m 3
 9
d) 9 2mm 0 , phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt [+]2 
 2
 3 2m 9
e) x 
 1 m