Đề cương ôn tập môn Hình học Lớp 9 - Chương 4 - Bài 3: Hình cầu – diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

 Toán 9 Tài liệu dạy học
 Bài 3. HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU
 VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 ▪ Diện tích mặt cầu: S 4 R2 hay S d 2 .
 Với R là bán kính và d là đường kính của mặt cầu.
 4
 ▪ Thể tích hình cầu: V R3 .
 3
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và các đại lượng liên quan
 ▪ Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu để giải bài tốn.
Ví dụ 1. Hãy điền vào các ơ trống trong bảng sau:
 Bán kính mặt cầu 0,5mm 2cm 0,75dm 3m 50km
 Diện tích mặt cầu
 Thể tích hình cầu
Lời giải
 Bán kính mặt cầu 0,5mm 2cm 0,75dm 3m 50km
 9
 Diện tích mặt cầu mm2 16 cm2 dm2 36 m2 10000 km2
 4
 32 9 500000 
 Thể tích hình cầu mm3 cm3 dm3 36 m3 km3
 6 3 16 3
 4312
Ví dụ 2. Thể tích của một hình cầu là cm 3 . Thì bán kính của hình cầu là bao nhiêu? (Lấy 
 3
 22
 ).
 7
A. 7 cm. B. 8 cm. C. 9 cm. D. 10 cm.
Lời giải
Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu và biến đổi ta được 
 4 4312 43123 4312
 V R3 . R 3 R 7 cm.
 3 22
 3 3 34 4
 7
Ví dụ 3. Một hình cầu đặt vừa khít vào bên trong một hình trụ như hình vẽ (chiều cao của hình trụ 
 2
bằng độ dài đường kính của hình cầu) thì thể tích của nĩ bằng thể tích hình trụ. Nếu đường kính 
 3
của hình cầu là d thì thể tích của hình trụ là Toán 9 Tài liệu dạy học
 1 1
A. d 3 . B. d 3 .
 4 3
 2 3
C. d 3 . D. d 3 .
 3 4
Lời giải
 4 1 2 1
Ta cĩ V R3 d 3 . Mà V V V d 3 .
 hình cầu 3 6 hình cầu 3 hình trụ hình trụ 4
Dạng 2: Dạng tốn tổng hợp
 ▪ Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã được học kết hợp với các cơng thức và lý thuyết về 
 hình cầu để giải bài tập.
Ví dụ 4. Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ. Tính thể tích của bồn chứa 
theo các kích thước như hình vẽ.
Lời giải
 4
Áp dụng cơng thức tính thể tích cho hình trụ V r 2h và thể tích hình cầu V R3 và kết hợp 
 3
lại ta cĩ: 
 4 16 
 V 13 12 4 m 3 .
 3 3
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Một hình nĩn cĩ bán kính đáy bằng 3 cm và cĩ diện tích xung quanh bằng diện tích của mặt 
cầu cĩ bán kính 3 cm. Tính chiều cao của hình nĩn.
Lời giải
Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nĩn Sxq rl 3 l .
 2
Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu Sc 4 R 36 . 
 2 2
Từ giả thuyết Sxq Sc ta được 3 l 36 l 12 h 12 3 3 15 cm. Toán 9 Tài liệu dạy học
Bài 2. Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bĩng hình cầu 
đặt vừa khít vào hộp đĩ như hình vẽ. Tỉ số thể tích của hình cầu và hình 
trụ là
 3 4
A. . B. .
 4 3
 3 2
C. .D. .
 2 3
Lời giải
 4
Nhận thấy R R r và h 2r . Nên V r3 và 
 c t c 3
 2 3 Vc 2
Vt r h 2 r .
 Vt 3
Bài 3. Chiều cao của một hình trụ gấp 3 lần bán kính đáy của nĩ. Tỉ số của thể tích hình trụ này và 
thể tích của hình cầu cĩ bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ là
 4 9 3 4
A. .B. . C. . D. .
 3 4 1 9
Lời giải
 4
Áp dụng cơng thức tính thể tích cho hình trụ V r 2h và thể tích hình cầu V R3 . 
 3
 V r 2h r 2 3r 9
 t .
 V 4 3 4 3 4
 c r r
 3 3
Bài 4. Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán 
kính r 12 cm như hình vẽ. Tính:
a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ 
bằng đường kính đáy của nĩ.
b) Thể tích của hình cầu.
c) Diện tích mặt cầu.
Lời giải
 r
a) Nhận thấy: r 6 2 cm, với h 2r 12 2 cm S 2 rh 288 cm 2 .
 t 2 t xq
 4 4
b) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu V R3 V 123 2304 cm 3 .
 3 3 Toán 9 Tài liệu dạy học
c) Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu S 4 R2 S 4 122 576 cm 2 .
Bài 5. Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh AB 8 cm, đường cao AH . Khi đĩ diện tích mặt cầu được 
tạo thành khi quay nửa đường trịn nội tiếp VABC một vịng quanh AH .
Lời giải
 2
 1 1 8 3 4 3 4 3 
Nhận thấy: r AH  S 4  67,02 cm 2
 nt 
 3 3 2 3 3 
D. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Các loại bĩng cho trong bảng đều cĩ dạng hình cầu. Hãy điền vào các ơ trống ở bảng sau 
(làm trịn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, đơn vị: mm):
 Loại bĩng Gơn Khúc cơn cầu Ten-nít Bĩng bàn Bi-a
 Đường kính 42,7 65 40 61
 Độ dài đường trịn 230
 Diện tích
 Thể tích
Lời giải
 Loại bĩng Gơn Khúc cơn cầu Ten-nít Bĩng bàn Bi-a
 Đường kính 42,7 73,2 65 40 61
 Độ dài đường trịn 134,15 230 204,2 125,66 191,64
 Diện tích 1432 4210 3318 1256,64 2922,47
 Thể tích 40764,51 205460 143790 33510,32 118846,77
Bài 7. Diện tích của một mặt cầu là 2464 m 2 thì đường kính của mặt cầu là bao nhiêu? (Lấy 
 22
 ).
 7
A. 28 cm.B. 28 mét. C. 38 mét. D. 30 mét.
Lời giải
Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu và biến đổi ta được 
 2464 2464
 S d 2 2464 d d 28 mét.
 22
 7
(Đơn vị của diện tích mặt cầu là m 2 ).
Bài 8. Một khối gỗ dạng hình trụ đứng, bán kính đường trịn đáy là a 
(cm), chiều cao là 2a (cm). Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu 
như hình vẽ. Diện tích tồn bộ của khối gỗ là
A. 4 a2 cm 2 . B. 6 a2 cm 2 . Toán 9 Tài liệu dạy học
C. 8 a2 cm 2 . D. 10 a2 cm 2 .
Lời giải
 2 2 2
Nhận thấy: Stb Sxqt Sc . Với Sxqt 2 R h 2 a 2a 4 a và Sc 4 R 4 a .
Câu 8. Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB 2R , Ax và By là hai tiếp tuyến với nửa mặt 
đường trịn tại A và B . Lấy trên Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N .
a) Chứng minh VMON ∽ VAPB .
b) Chứng minh AM  BN R2 .
 S R
c) Tính tỉ số MON khi AM .
 SAPB 2
d) Tính thể tích của hình do nửa hình trịn APB quay quanh AB sinh ra.
Lời giải
a) Ta cĩ: 
- Gĩc ·APB 90 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn).
- Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta cĩ: 
 OM là tia phân giác của ·AOP và ON là tia phân giác 
của gĩc B· OP .
Mà ·AOP và B· OP là 2 gĩc kề bù OM  ON
 M· ON 90 .
- Xét tứ giác AMPO cĩ M· PO M· AO 90 .
 O· MP và P· AO cùng chắn cung OP O· MP P· AO .
 M· ON ·APB 90
 . 
 · ·
 BAP OMN
 VMON ∽ VAPB (g.g).
b) AM  BN MP  NP OP2 R2 .
c) AM  BN R2 BN 2R .
 2
 5R SMON MN 25
 MN .
 2 SAPB AB 16 Toán 9 Tài liệu dạy học
 4
d) Nửa hình trịn APB quay quanh AB là hình cầu đường kính AB AO R V R3 .
 3
 --- HẾT ---