Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

 Bài 4. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 ▪ Xét phương trình bậc hai ẩn x : ax2 bx c 0 (a 0) . Với biệt thức b2 4ac, ta có
a) Trường hợp 1. Nếu 0 thì phương trình vô nghiệm.
 b
b) Trường hợp 2 . Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép: x x .
 1 2 2a
 b 
c) Trường hợp 3 . Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x .
 1,2 2a
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước
 ▪ Bước 1: xác định các hệ số a,b,c .
 ▪ Bước 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình.
Ví dụ 1. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các 
phương trình sau:
 2
a) x 3x 2 0 . ĐS: x1 1; x2 2 .
 1
b) 2x2 x 1 0 . ĐS: x 1; x .
 1 2 2
 2
c) x 4x 4 0. ĐS: x1 x2 2 .
d) x2 x 4 0 . ĐS: PT vô nghiệm.
Ví dụ 2. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các 
phương trình sau:
 2
a) x x 2 0 . ĐS: x1 1; x2 2 .
 2
b) x 5x 6 0 . ĐS: x1 1; x2 6 .
 1
c) 4x2 4x 1 0 . ĐS: x x .
 1 2 2
d) x2 3x 4 0 . ĐS: PT vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau :
 1
a) 2x2 2x 0,5 0 . ĐS: x x .
 1 2 2
 2
b) x 2 2x 2 0 . ĐS: x1 x2 2 . c) x2 3x 1. ĐS: PT vô nghiệm.
 2
d) 2(x 2) 4x . ĐS: x1,2 2 2 .
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau :
a) x2 x 1 0 . ĐS: PT vô nghiệm.
 2
b) x 2 3x 3 0 . ĐS: x1 x2 3 .
 2
c) x2 8x 2 . ĐS: x 2; x .
 1 2 3
 5 1 5 1
d) x2 5x 1. ĐS: x ; x .
 1 2 2 2
Dạng 2: Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai
Xét phương trình dạng bậc hai: ax 2 + bx + c = 0. (*)
 ì
 ï a ¹ 0
 ▪ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi í .
 ï D > 0
 îï
 ì
 ï a ¹ 0
 ▪ Phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi í .
 ï D = 0
 îï
 ì
 ï a = 0
 ▪ Phương trình (*) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi í .
 ï b ¹ 0
 îï
 éa = 0,b = 0,c ¹ 0
 ▪ Phương trình (*) có vô nghiệm khi và chỉ khi ê .
 êa ¹ 0,D < 0
 ëê
Ví dụ 5. Cho phương trình mx2 3x 1 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình:
 9
a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: m , m 0 .
 4
 9
b) Có nghiệm kép. ĐS: m .
 4
 9
c) Vô nghiệm. ĐS: m .
 4
d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m 0 .
Ví dụ 6. Cho phương trình mx2 2x 1 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: m 1, m 0 .
b) Có nghiệm kép. ĐS: m 1. c) Vô nghiệm. ĐS: m 1.
d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m 0 .
Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai
 ▪ Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương 
 trình tùy theo sự thay đổi của m.
 ▪ Xét phương trình dạng bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 với D = b2 - 4ac .
 ✓ Nếu a = 0 , ta biện luận phương trình bậc nhất.
 ✓ Nếu a ¹ 0 , ta biện luận phương trình bậc hai theo D .
Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số)
a) x2 x m 0 . b) mx2 (2m 1)x m 0 . 
Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số)
a) x2 2x m 0 . b) mx2 x 1 0 . 
Dạng 4: Một số bài toán về tính số nghiệm của phương trình bậc hai
 ▪ Dựa vào điều kiện của D để phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) có nghiệm.
Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng khi một phương trình ax2 bx c 0 có các hệ số a và c trái dấu thì 
phương trình đó luôn có nghiệm.
Ví dụ 10. Không tính , hãy giải thích vì sao các phương trình sau đây có nghiệm
a) 3x2 2x 5 0 . b) x2 3x 2 1 0 . 
c) 5x2 2x m2 1 2x 2 . d) 2mx2 x m 0 (m 0) . 
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các 
phương trình sau:
 2
a) x 5x 6 0 . ĐS: x1 2; x2 3 .
 1
b) 3x2 2x 1 0 . ĐS: x 1; x .
 1 2 3
 2
c) x 2 2x 2 0 . ĐS: x1 1; x2 2 .
d) x2 2x 4 0. ĐS: PT vô nghiệm .
Bài 2. Giải các phương trình sau
 1 13
a) x2 x 3 . ĐS: x .
 1,2 2 2
b) x 3x x 1. ĐS: x1,2 2 5 .
 2
c) x 2(x 1) . ĐS: x1,2 1 3 .
d) x2 3(x 1) 0 . ĐS: PT vô nghiệm.
Bài 3. Cho phương trình mx2 x 2 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình:
 1
a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: m , m 0.
 8
 1
b) Có nghiệm kép. ĐS: m .
 8
 1
c) Vô nghiệm. ĐS: m .
 8
d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m 0 .
Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số)
a) x2 x m 0 . b) mx2 x 3 0 . 
Câu 15. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm.
a) x2 (m 2)x 2m 0 . b) x2 2mx (m 1) 0 . HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các 
phương trình sau:
a) x2 3x 2 0 . b) 2x2 x 1 0 . 
c) x2 4x 4 0. d) x2 x 4 0 . 
Lời giải.
 2
a) Ta có a 1, b 3, c 2; b 4ac 1, từ đó tìm được x1 1; x2 2 .
 1
b) Ta có a 2, b 1, c 1; b2 4ac 9, từ đó tìm được x 1; x .
 1 2 2
 2
c) Ta có a 1, b 4, c 4; b 4ac 0, từ đó tìm được x1 x2 2 .
d) Ta có a 1, b 1, c 4; b2 4ac 15 0, PT vô nghiệm.
Ví dụ 2. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các 
phương trình sau:
a) x2 x 2 0 . b) x2 5x 6 0 . 
c) 4x2 4x 1 0 . d) x2 3x 4 0 .
Lời giải.
 2
a) Ta có a 1, b 1, c 2; b 4ac 9, từ đó tìm được x1 1; x2 2 .
 2
b) Ta có a 1, b 5, c 6; b 4ac 49, từ đó tìm được x1 1; x2 6 .
 1
c) Ta có a 4, b 4, c 1; b2 4ac 0, từ đó tìm được x x .
 1 2 2
d) Ta có a 1, b 3, c 4; b2 4ac 7 0, PT vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau :
a) 2x2 2x 0,5 0 . b) x2 2 2x 2 0 .
c) x2 3x 1. d) 2(x2 2) 4x .
Lời giải.
 1
a) Ta có 0 x x .
 1 2 2
b) Ta có 0 x1 x2 2 . c) Biến đổi thành x2 3x 1 0, 1 0 PT vô nghiệm.
 2
d) Biến đổi thành x 2 2x 2 0, 16 . Từ đó tìm được x1,2 2 2 .
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau :
a) x2 x 1 0 . b) x2 2 3x 3 0 .
c) x2 8x 2 . d) x2 5x 1. 
Lời giải.
a) 3 0 PT vô nghiệm.
b) Ta có 0 x1 x2 3 .
 2
c) Biến đổi PT thành 3x2 8x 2 0, 4 2 x 2; x .
 1 2 3
 5 1 5 1
d) Biến đổi PT thành x2 5x 1 0, 1 x ; x .
 1 2 2 2
Ví dụ 5. Cho phương trình mx2 3x 1 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. 
c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm.
Lời giải.
Xét 9 4m .
 a 0 9
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt . Tìm được m , m 0 .
 0 4
 a 0 9
b) Phương trình có nghiệm kép . Tìm được m .
 0 4
 1
c) Xét m 0 3x 1 0 x .Suyra m 0 loại
 3
 9
Xét m 0 phương trình vô nghiệm khi 0 m . 
 4
 a 0 m 0
d) Có đúng một nghiệm khi m 0 .
 b 0 3 0
Ví dụ 6. Cho phương trình mx2 2x 1 0 ( m là tham số) Tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép. 
c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm. 
Lời giải.
Xét 4 4m .
 a 0
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm được m 1, m 0 . 
 0
 a 0
b) Phương trình có nghiệm kép Tìm được m 1.
 0
 1
c) Xét m 0 2x 1 0 x .Suyra m 0 loại
 2
Xét m 0 phương trình vô nghiệm khi 0 m 1. 
 a 0 m 0
d) Có đúng một nghiệm khi m 0 .
 b 0 2 0
Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số)
a) x2 x m 0 . b) mx2 (2m 1)x m 0 . 
Lời giải.
a) x2 x m 0 . 
Xét 1 4m .
 1
 0 m : Phương trình vô nghiệm.
 4
 1 1
 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x .
 4 1 2 2
 1 1 1 4m
 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x .
 4 1,2 2
b) mx2 (2m 1)x m 0 . 
Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x 0 .
Với m 0 4m 1.
 1
 0 m : Phương trình vô nghiệm.
 4 1 2m 1
 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x .
 4 1 2 2m
 1 2m 1 1 4m
 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x .
 4 1,2 2m
Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số)
a) x2 2x m 0 . b) mx2 x 1 0 . 
Lời giải.
a) x2 2x m 0 . 
Xét 4 4m .
 0 m 1: Phương trình vô nghiệm.
 0 m 1: Phương trình có nghiệm kép x1 x2 1.
 2 4 4m
 0 m 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x .
 1,2 2
b) mx2 x 1 0 . 
Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x 1.
Với m 0 4m 1.
 1
 0 m : Phương trình vô nghiệm.
 4
 1 1
 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x .
 4 1 2 2m
 1 1 1 4m
 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x .
 4 1,2 2m
Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng khi một phương trình ax2 bx c 0 có các hệ số a và c trái dấu thì ph
ương trình đó luôn có nghiệm.
Lời giải.
Do a c 0 a c 0. Ta có b2 4ac b2 4( ac) 0 Phương trình luôn có hai nghiệm 
phân biệt.
Ví dụ 10. Không tính , hãy giải thích vì sao các phương trình sau đây có nghiệm
a) 3x2 2x 5 0 . b) x2 3x 2 1 0 . c) 5x2 2x m2 1 2x 2 . d) 2mx2 x m 0 (m 0) . 
Lời giải.
a) Do a.c 3( 5) 15 0 .
b) Do a.c 1( 2 1) 1 2 0 .
c) Do a.c 5( m2 3) 0 .
d) Do a.c 2 m2 0 .
Bài 1. Xác định các hệ số a,b,c; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các 
phương trình sau:
a) x2 5x 6 0 . b) 3x2 2x 1 0 .
c) x2 2 2x 2 0 . d) x2 2x 4 0.
Lời giải.
a) Ta có a 1, b 5, c 6; 1, từ đó tìm được x1 2; x2 3 .
 1
b) Ta có a 3, b 2, c 1; 16, từ đó tìm được x 1; x .
 1 2 3
c) Ta có a 1, b 2 2, c 2; 0, từ đó tìm được x1 1; x2 2 .
d) Ta có a 1, b 2, c 4; 12 PT vô nghiệm .
Bài 2. Giải các phương trình sau
a) x2 x 3 . b) x2 3x x 1.
c) x2 2(x 1) . d) x2 3(x 1) 0 .
Lời giải.
 1 13
a) 13, từ đó tìm được x .
 1,2 2
b) 20, từ đó tìm được x1,2 2 5 .
c) 12, từ đó tìm được x1,2 1 3 .
d) Biến đổi thành x2 3x 3 0, 3 4 3 0 PT vô nghiệm.
Bài 3. Cho phương trình mx2 x 2 0 ( m là tham s?) . Tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép.
c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm.
Lời giải.
Xét 1 8m .
 a 0 1
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm được m , m 0. 
 0 8
 a 0 1
b) Phương trình có nghiệm kép Tìm được m .
 0 8
c) Xét m 0 x 2 0 x 2 .Suyra m 0 loại
 1
Xét m 0 phương trình vô nghiệm khi 0 m . 
 8
 a 0 m 0
d) Có đúng một nghiệm khi m 0 .
 b 0 1 0
Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:( m là tham số)
a) x2 x m 0 . b) mx2 x 3 0 . 
Lời giải.
a) x2 x m 0 .Xét 1 4m .
 1
 0 m : Phương trình vô nghiệm.
 4
 1 1
 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x .
 4 1 2 2
 1 1 1 4m
 0 m : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x .
 4 1,2 2
b) mx2 x 3 0 . 
Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x 3.
Với m 0 12m 1.
 1
 0 m : Phương trình vô nghiệm.
 12
 1 1
 0 m : Phương trình có nghiệm kép x x .
 12 1 2 2m