Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

 Toán 9 Tài liệu dạy học
 Bài 7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
 ▪ Phương trình trùng phương là phương trình cĩ dạng ax4 bx2 c 0(a 0).
 ▪ Cách giải: Đưa phương trình trùng phương về dạng phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn 
 phụ.
 ✓Bước 1. Đặt t x2 (t 0) ;
 ✓Bước 2. Giải phương trình bậc hai at 2 bt c 0 và tìm nghiệm của phương trình trùng ph
 ương.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
 f (x) f (x) f (x)
 ▪ Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình cĩ dạng 1 2  n 0.
 g1(x) g2 (x) gn (x)
 ▪ Cách giải:
 ✓Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;
 ✓Bước 2. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức;
 ✓Bước 3. Giải phương trình bậc hai vừa nhận được;
 ✓Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
 ▪ Phương trình tích là phương trình cĩ dạng f1(x) f2 (x) fn (x) 0.
 f1(x) 0
 f (x) 0
 ▪ Cách giải: f (x) f (x) f (x) 0 2
 1 2 n 
 fn (x) 0.
Để giải một số phương trình trước hết cần đặt ẩn phụ, thu gọn về dạng phương trình bậc hai hoặc đ
ưa về dạng phương trình tích.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương
 ▪ Bước 1: Đặt t = x 2(t ³ 0) .
 ▪ Bước 2: Giải phương trình bậc hai at 2 + bt + c = 0.
 ▪ Bước 3: Với mỗi t ³ 0, giải phương trình x 2 = t .
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a) x4 2x2 1 0 ; ĐS: S 1.
 4 2 1 
b) 4x 3x 1 0 ; ĐS: S  .
 2 Toán 9 Tài liệu dạy học
c) 3x4 10x2 3 0 ; ĐS: S  .
d) (x 1)4 4(x 1)2 3 0 . ĐS: S 0;2;1 3 .
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 
a) x4 2x2 1 0; ĐS: S  .
b) 2x4 6x2 8 0 ; ĐS: S 2.
 4 2 7 
c) 3x 10x 7 0 ; ĐS: S 1;  .
 3  
d) (x 1)4 4(x 1)2 3 0 . ĐS: S 0; 2; 1 3.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: 
a) x4 1 2x2 ; ĐS: S 1.
b) x4 2x2 3; ĐS: S 3 .
 4 2 2 5 
c) 2x 3x 4x 5 ; ĐS: S 1;  .
 2  
d) (x 1)4 4(x 1)2 3. ĐS: S 0;2;1 3 .
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 
a) x4 3x2 x2 1; ĐS: S  .
b) x4 3x2 4 ; ĐS: S 2.
 4 2 2 7 
c) 3x 5x 5x 7 ; ĐS: S 1;  .
 3  
d) (x 1)4 4(x 1)2 3 . ĐS: S 2;0; 1 3.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: 
a) 0,1x4 0,2x2 0,1 0 ; ĐS: S  .
b) x4 6,3x2 7,3 0 ; ĐS: S 7,3.
 4 2 11 
c) 3x 4,1x 1,1 0 ; ĐS: S 1; .
 30  Toán 9 Tài liệu dạy học
 7
d) x2 8. ĐS: S 1; 7 .
 x2 
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: 
a) 0,1x4 0,2x2 0,1 0 ; ĐS: S 0,1 .
b) x4 6,9x2 7,9 0 ; ĐS: S 1.
c) 3,3x4 4,4x2 1,1 0 ; ĐS: S  .
 6
d) x2 5. ĐS: S 1; 6 .
 x2 
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
 ▪ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 ▪ Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
 ▪ Bước 3: Giải phương trình bậc hai vừa nhận được.
 ▪ Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
 x2 2x 2x
a) ; ĐS: S 0;4 .
 x 1 x 1
 x 3 14 9 
b) 1 ; ĐS: S 3;  .
 x 2 x 1 2
 x x2 3x 1
c) . ĐS: S  .
 x 1 (x 1)(x 3)
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
 x2 4x 3x
a) ; ĐS: S 1;0.
 x 1 x 1
 x 4 16
b) 1 ; ĐS: S 3;5 .
 x 2 x 1
 3x x2 9x 14 7 
c) . ĐS: S  .
 x 1 (x 1)(x 2) 2
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
 1 2
a) 1; ĐS: S 0;3 .
 x 1 x 1
 2x 7
b) 4 ; ĐS: S  .
 x 1 2 x Toán 9 Tài liệu dạy học
 x2 2x 8 1
c) ; ĐS: S  .
 (x 2)(x 3) x 3
 2x 1 2x 3
d) . ĐS: S 3;1 .
 x 1 x 3 (x 1)(x 3)
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau:
 1 4
a) 1; ĐS: S 1;5.
 x 2 x 1
 x 1 11 21 
b) 3 ; ĐS: S  .
 2x 1 2 x 10  
 x2 x 1 1
c) ; ĐS: S 1.
 (x 2)(x 3) x 3
 x 1 x 4
d) . ĐS: S 3;1 .
 x 1 x 2 (x 1)(x 2)
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:
 x3 3x2 4x 2 2x2 3x
a) ; ĐS: S 1;2.
 x3 1 x2 x 1
 x2 3x 4 1
b) . ĐS: S 3 .
 x4 1 x3 x2 x 1
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:
 x3 x2 x 1 x2 x 1
a) ; ĐS: S  .
 x3 1 x2 x 1 3
 x2 x 2 x2
b) . ĐS: S 2 .
 x4 1 x3 x2 x 1
Dạng 3: Giải phương trình tích
 ▪ Bước 1: Chuyển phương trình đã cho về dạng f1(x) ×f1(x)L fn (x) = 0.
 éf (x) = 0
 ê1
 êf (x) = 0
 ê2
 ▪ Bước 2: Giải phương trình f1(x) ×f2(x)L fn (x) = 0 Û ê .
 êM
 êf (x) = 0
 ëên
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a) (x 1)(x 2)(x 3) 0 ; ĐS: S 1;2;3. Toán 9 Tài liệu dạy học
b) x3 6x2 11x 6 0 ; ĐS: S 1;2;3.
c) x3 3x2 3x 1 0 ; ĐS: S 1.
d) x3 3x2 2x 6 0 . ĐS: S 3; 2.
Ví dụ 14. Giải các phương trình sau:
a) x(x 1)(x 4) 0 ; ĐS: S 0;1;4 .
b) x3 x2 x 1 0 ; ĐS: S 1.
c) x3 5x2 4x 0 ; ĐS: S 0;1;4 .
d) x3 3x2 2x 6 0 . ĐS: S 3 .
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau:
a) (x2 x 4)(x2 3x) 0 ; ĐS: S 0;3 .
b) (x2 x 2)2 (2x 2)2 0 ; ĐS: S 0;3 .
c) (x2 4x)2 4(x2 4x) ; ĐS: S 0;4;2 2 2 .
 2 2 3 5 37 
d) (x 3) 5x 15x 0 ; ĐS: S 3; .
 2  
e) (x 2)3 x 1 (x 1)(x 1) . ĐS: S 2.
Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:
a) (x2 2x 1)(x2 4x) 0 ; ĐS: S 0;1;4 .
b) (x2 1)2 4x2 0 ; ĐS: S 1.
c) (x2 5x)2 6(x2 5x) ; ĐS: S 6; 5;0;1.
 2 2 3 3
d) (2x 3) 10x 15x 0 ; ĐS: S 1;  .
 2
e) (x 1)3 x 1 (x 1)(x 2) . ĐS: S 0.
Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
 ▪ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu cần).
 ▪ Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn phụ thu được. Toán 9 Tài liệu dạy học
 ▪ Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu, đối chiếu với điều kiện (nếu cĩ) và kết luận.
Lưu ý: Nếu điều kiện của ẩn phụ phức tạp thì cĩ thể khơng cần tìm điều kiện cụ thể nhưng sau 
khi tìm được ẩn chính thì cần thử lại.
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau:
a) (x 1)2 3(x 1) 2 0 ; ĐS: S 2;3.
b) (x2 2x 3)2 5(x2 2x 3) 6 0 ; ĐS: S 0;1;2 .
 2 2 2 3 
c) (2x x 2) 10x 5x 16 0 ; ĐS: S ;1 .
 2 
d) (x 1)4 4(x 1)2 3 0 ; ĐS: S 0;2;1 3 .
e) (x2 2x 1)(x2 2x 2) 2 ; ĐS: S 3; 2;0;1 .
 x2 3x
f) 2 0 ; ĐS: S 2.
 (x 1)2 x 1
 3x x 1 1 3
g) 3 10 0 . ĐS: S ;  .
 x 1 x 4 4
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:
a) (x 2)2 3(x 2) 2 0 ; ĐS: S 1;0.
b) (x2 2x)2 5(x2 2x) 6 0 ; ĐS: S 1 2;1 7 .
c) (x2 x 2)2 2x2 2x 4 0 ; ĐS: S 2; 1;0;1.
 4 2 1 3 
d) (2x 1) 4(2x 1) 3 0 ; ĐS: S 1;0; .
 2  
e) (x2 x 1)(x2 x 1) 3 ; ĐS: S 2;1.
 x2 x 2
f) 2 0 ; ĐS: S  .
 (x 1)2 x 1 3
 2x x 1 2 1
g) 2 5 0. ĐS: S ;  .
 x 1 x 3 3
Ví dụ 19. Giải các phương trình sau:
a) x 2 x x 2 ; ĐS: S 1;4 . Toán 9 Tài liệu dạy học
b) 2x x 3 7 0 . ĐS: S 4 .
Ví dụ 20. Giải các phương trình sau:
a) x 2 x x 6 ; ĐS: S 4 .
b) x x 1 7 0 . ĐS: S 10.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) x4 x2 2 0 ; ĐS: S 2 .
b) x4 3x2 2 0 ; ĐS: S 1; 2 .
 4 2 1 
c) 2x 5x 2 0 ; ĐS: S 2;  .
 2 
d) (x 2)4 6(x 2)2 5 0 . ĐS: S 1; 3; 2 5 .
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 3x4 x2 x2 1; ĐS: S 1.
b) x4 x2 2 ; ĐS: S 1.
c) x4 4x2 x2 6 ; ĐS: S 1; 6 .
d) (x 2)4 3(x 2)2 2 . ĐS: S 1; 2 .
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) 0,1x4 0,8x2 0,7 0 ; ĐS: S 1; 7 .
b) 3x4 4,4x2 1,4 0 ; ĐS: S  .
c) x4 3,3x2 4,3 0 ; ĐS: S 1.
 1
d) x2 2 . ĐS: S 1.
 x2
Bài 4. Giải các phương trình sau:
 x2 4x 2x
a) ; ĐS: S 2;0.
 2x 1 2x 1 Toán 9 Tài liệu dạy học
 x 1 3 5
b) 2 ; ĐS: S 1;  .
 x 2 x 1 4
 x 2x2 3x 4
c) . ĐS: S 2.
 x 1 (x 1)(x 3)
Bài 5. Giải các phương trình sau:
 1 3
a) 1; ĐS: S 7 .
 x 3 x 1 
 2x 1 5
b) 3 ; ĐS: S 1;  .
 2x 1 2 x 4
 x2 x 1 1
c) ; ĐS: S 1;3 .
 (x 2)(x 5) x 5
 x 1 1 3x 4 3 37 
d) . ĐS: S .
 x 1 x 2 (x 1)(x 2) 2  
Bài 6. Giải các phương trình sau:
 x3 x2 x 1 x2 x
a) ; ĐS: S 1.
 x3 1 x2 x 1
 x2 x 2 1
b) ; ĐS: S  .
 x4 1 x3 x2 x 1
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) x(x 3)(x 5) 0; ĐS: S 0;3;5 .
b) x3 8x2 15x 0 ; ĐS: S 0;3;5 .
c) x3 6x2 12x 8 0 ; ĐS: S 2 .
 3 2 5 17 
d) x 4x 3x 2 0 . ĐS: S 1;  .
 2  
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a) (x2 x)(x2 3x) 0; ĐS: S 0;1;3.
 2 2 2 3 17 
b) (x 2x) (x 2) 0 ; ĐS: S .
 2  
c) (x2 2x)2 3(x2 2x) ; ĐS: S 1;0;2;3. Toán 9 Tài liệu dạy học
 2 2 3 5 21 
d) (x 1) 5x 5x 0 ; ĐS: S  .
 2  
e) (x 1)3 x 1 (x 1)(2x 1) . ĐS: S 1.
Bài 9. Giải các phương trình sau:
 2 1
a) (3x 1) 3(3x 1) 2 0 ; ĐS: S 0;  .
 3
b) (x2 x)2 5(x2 x) 6 0 ; ĐS: S  .
 2 2 2 1 5 
c) (x x) 2x 2x 3 0 ; ĐS: S .
 2  
d) (x 4)4 7(x 4)2 6 0 ; ĐS: S 5; 3; 4 6 .
e) (x2 2x 1)(x2 2x 2) 2 ; ĐS: S 2;0.
 x2 3x
f) 2 0 ; ĐS: S 2.
 (x 1)2 x 1
 2x x 1
g) 2 0 ; ĐS: S 1.
 x 1 2x
Bài 10. Giải các phương trình sau:
a) x 2 x 2 x 3; ĐS: S 1;9.
b) x 2 x 2 2 0 . ĐS: S 2;6 . Toán 9 Tài liệu dạy học
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 
a). x4 2x2 1 0 ; Đáp số S 1
 4 2 1 
b). 4x 3x 1 0 ;Đáp số S 
 2
c). 3x4 10x2 3 0 ; Đáp số S 
d). (x 1)4 4(x 1)2 3 0 . Đáp số S 0;2;1 3
 Lời giải.
a). x4 2x2 1 0 .
Đặt t x2 (t 0) . Phương trình trở thành
 t 2 2t 1 0
 (t 1)2 0
 t 1(th?a di?u ki?n).
 • Với t 1 x2 1 x 1.
Vậy S 1.
b). 4x4 3x2 1 0 .
Đặt t x2 (t 0) . Phương trình trở thành
 t 1(khơng th?a dk)
 2
 4t 3t 1 0 1
 t (th?a dk).
 4
 1 1 1
 • Với t x2 x .
 4 4 2
 1 
Vậy S  .
 2
c). 3x4 10x2 3 0 .
Đặt t x2 (t 0) . Phương trình trở thành