Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1, Dạng 3: Rút gọn biểu thức và giải bất phương trình (Có lời giải)

DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Xét bài toán: Cho biểu thức 
a) Rút gọn 
b) Tìm giá trị của sao cho (m là hằng số) hoặc 
2. Giải bài toán
a) Rút gọn
- Đặt điều kiện để có nghĩa
- Thực hiện rút gọn 
b) Tìm : Giải bất phương phương trình
- Kiểm tra điều kiện và kết luận
B. Bài tập
Bài 1:
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm sao cho 
Lời giải
a) Điều kiện và 
Đặt 
b) 
. Vậy 
Bài 2:
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm để có thỏa mãn 
Lời giải
a) Ta có 
Điều kiện: 
b) 
Theo đầu bài 
Nhận thấy 
Ngược lại với thì 
Vậy là các giá trị cần tìm
Bài 3: Học sinh giỏi huyện Triệu Phong, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) So sánh và 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) Vì và 
nên với mọi thỏa mãn điều kiện đã cho
Lại có: 
Dấu “=” không xảy ra vì 
Vậy 
Bài 4: Học sinh giỏi huyện Thường Tín, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Chứng minh 
Lời giải
a) Điều kiện có nghĩa 
Ta có 
b) (bất đẳng thức Côsi)
Vì đẳng thức xảy ra (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy 
Bài 5: Học sinh giỏi huyện Ba Vì, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị của để 
c) Tìm các giá trị của để 
Lời giải
a) Điều kiện: 
 Rút gọn được 
b) (thỏa mãn)
 (không thỏa mãn điều kiện)
c) và 
Bài 6: Học sinh giỏi huyện Ba Thước, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị của để 
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có 
Vậy không có giá trị nào của thỏa mãn bài toán.
Bài 7: Chuyên Cao Bằng vòng 2, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm tất cả các giá trị của để 
Lời giải
a) Ta có 
- 
Vậy 
b) 
- TH1: 
- TH2: (vô lý)
Vậy các giá trị cần tìm là 
Bài 8: Chuyên Toán Ninh Bình, năm học 2019 - 2020
Với xét hai biểu thức và . Tìm tất cả các giá trị của để .
Lời giải
Ta có 
Với , ta có (vì )
.
Bài 9: HSG Tỉnh Yên Bái, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức Với . Chứng minh rằng 
Lời giải
2) Với , ta có:
* Chứng minh rằng (Với )
Ta có: 
Với ta có: 
Vậy: Với thì 
Bài 10: HSG Huyện Hoài Đức, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức , với . 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của với 
c) Với giá trị nào của thì 
Lời giải
a) Với ta có
Vậy với thì 
b) Ta có 
Thay (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức ta được 
Vậy với thì 
c) Ta có
Với và 
mà 
Dấu “=” xảy ra (tmđk). Vậy để thì 
Bài 11: HSG Tân Kỳ, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện xác định của 
b) Tính giá trị của khi 
c) Cho . Tìm để 
Lời giải
a) ĐKXĐ ; ; 
.	
b) Ta thấy
(Thỏa mãn ĐKXĐ)
Thay vào biểu thức , ta tính được .
c) ĐKXĐ ; ; 
Ta có: .
Khi đó, ( vì ) 
Kết hợp với ĐKXĐ ta được ;; thì 
BÀI 4: RÚT GỌN VÀ TÌM GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA BIỂU THỨC
Phương pháp:
+ Đối với các biểu thức với là số nguyên, nhận giá trị nguyên hoặc vô tỷ thì nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi là số nguyên và là ước của số B.
+ Đối với các biểu thức với là số hữu tỷ, nhận giá trị thực. Ta thường tìm cách đanh giá , tức là chặn theo kiểu từ đó suy ra các giá trị có thể của . Hoặc tìm ra điều kiện của để tồn tại biến thỏa mãn yêu cầu bài toán từ đó suy ra các giá trị nguyên có thể của 
- Đối với các bài toán tổng hợp học sinh cần chú ý điều kiện ban đầu để loại các giá trị không thỏa mãn
Bài 1: Học sinh giỏi huyện Đan Phượng, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức và với 
a) Tính giá trị của biểu thức khi 
b) Rút gọn biểu thức 
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên
Lời giải
a) Điều kiện 
Khi (thỏa mãn điều kiện) thì 
b) 
c) Ta có 
Để nguyên thì và 
Bài 2: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2017 - 2018
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của là một số nguyên
Lời giải
a) Ta có 
Ta có điều kiện 
Do nguyên nên (loại)
Vậy không có giá trị nào của để nguyên.
Bài 3: Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị của để nhận giá trị nguyên
Lời giải
a) Điều kiện 
b) Để thì là ước của 1 
Vậy thì .
Bài 4: Chuyên Điện Biên, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức . Tìm các số thực để 
b) Tìm các số tự nhiên là số chính phương sao cho là số nguyên.
Lời giải
a) Ta có 
- Với 
- Với 
b) Ta có là số chính phương nên và 
Khi đó 
Bài 5: Chuyên Bắc Giang, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của để 
Lời giải
a) Ta có 
+) 
b) 
Vì và nguyên nên 
Vậy có giá trị ngyên của thỏa mãn bài toán.
Bài 6: Chuyên Toán Cần Thơ, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức , trong đó 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị nguyên của để giá trị biểu thức là số nguyên
Lời giải
a) Ta có 
- Nếu 
- Nếu 
b) 
- Nếu thì không có giá trị nguyên.
- Nếu thì 
+ (loại)
+ (thỏa mãn)
Bài 7: Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa, năm học 2016 - 2017
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên thỏa mãn 
Lời giải
a) Ta có 
b) , với 
Ta có 
Thay vào P ta có các cặp giá trị thỏa mãn.
Bài 8: Học sinh giỏi huyện Chương Mỹ, năm học 2019 - 2020
Cho biểu thức 
a) Tìm để 
b) Biết hãy tính giá trị của 
c) Tìm giá trị nguyên để nhận giá trị nguyên, khi 
d) Tìm để 
Lời giải
a) Điều kiện 
Rút gọn được , do 
Kết hợp với điều kiện ta được: 
b) Tính được (thỏa mãn điều kiện)
Thay vào biểu thức 
c) Ta có 
Để nhận giá trị nguyên thì , kết hợp với điều kiện ta được
d) 
Ta có với mọi thuộc điều kiện xác định
 dấu “=” xảy ra 
Bài 9: HSG Tỉnh Lào Cai, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức ()
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm sao cho nhận giá trị là một số nguyên
Lời giải
a) Ta có 
b) 
 nhận giá trị là một số nguyên 
(tmđk)
 (tmđk)
Vậy thì nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 10: HSG Tỉnh Bắc Giang, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức ()
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
1. 
a) Với , ta có: 
. 
Vậy với thì .
b) Ta có .
Với , để thì là ước của .
Suy ra .
Lập bảng






 (loại)








Kết hợp với điều kiện thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 11: HSG Tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức ()
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm giá trị của để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Ta có:
 với và .
Vậy 
b) Với và 
Ta có 
Để nhận giá trị nguyên và 
Ta có 
Mà , 
Với (thỏa mãn)
Với (thỏa mãn)
Với (thỏa mãn)
Vậy thì nhận giá trị nguyên.
Bài 12: HSG Tỉnh Đồng Tháp, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức ()
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm để có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Với ta có
 do và 
b) Với ta có
 nguyên khi và chỉ khi là ước của 8
Suy ra:
Kết hợp với điều kiện ta có:
Bài 13: HSG Tỉnh Sơn La, năm học 2020 - 2021
Cho hai biểu thức và với 
a) Tính giá trị của tại 
b) Rút gọn 
c) TÌm tất cả các số nguyên để nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Ta có:
Thay vào biểu thức ta được:
b) 
với 
c) 
là số nguyên là số nguyên
mà với 
Bài 14: HSG Quận Tây Hồ, năm học 2020 - 2021
Cho hai biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
c) Tìm tất cả các số thực để biểu thức đạt giá trị nguyên.
Lời giải
1) Rút gọn biểu thức . 
Điều kiện xác định: 
Đặt , 
Thay vào ta được: 
b) Tìm các số thực để biểu thức đạt giá trị nguyên. 
 nguyên nên . 
Từ đó 
Do nên . Suy ra 
Do nguyên nên 
Với thì 
Với thì 
Bài 15: HSG Huyện Ba Vì, năm học 2020 - 2021
Cho hai biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Chứng minh rằng 
c) Với những giá trị nào của thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) Rút gọn biểu thức .
Điều kiện ; .
Ta có 
Thay vào ta được: .
b) Chứng minh rằng .
Ta có với thì .
Suy ra .
Do đó, .
Suy ra .
c) Với những giá trị nào của thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Ta có 
Do đó nhận giá trị nguyên bằng .
Khi đó .
Vậy với thì nhận giá trị nguyên.
Bài 16: HSG Huyện Mỹ Đức, năm học 2020 - 2021
Cho hai biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của biểu thức khi 
c) Cho biểu thức . Tìm để có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Ta có 	Với 
b) Ta có: 
c) 	
Với ta có 
Mà dễ thấy 
Nên với 
+ Với 
+ Với 
Vậy 
Bài 17: HSG Huyện Hưng Hà, năm học 2019 - 2020
Cho hai biểu thức (với )
a) Rút gọn biểu thức và chứng minh rằng 
b) Với những giá trị nào của thì biểu thức nhận giá trị nguyên
Lời giải
a) Với ta có: 
Vậy với , ta có 
Ta có: 
Vì . Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi: 
Vì do đó 
b) Ta có: xác định khi 
Chỉ ra P > 0 suy ra 
Vì 
Mà 
(thỏa mãn)
Vậy .