Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức chứa căn thức (Có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC
Hệ thống bài tập sử dụng trong chuyên đề
Tỉnh, huyện, thành phố
Năm học
Tỉnh, huyện, thành phố
Năm học
Chuyên An Giang
2018 
Chuyên An Giang
2018
Chuyên Bắc Ninh
2014; 2017
Chuyên Bắc Ninh
2014; 2017
Chuyên Bắc Giang
2018
Chuyên Bắc Giang
2018
Chuyên Bạc Liêu
2019
Chuyên Bạc Liêu
2019
Chuyên Bến Tre vòng 2
2019 
Chuyên Bến Tre vòng 2
2019
Chuyên Bình Dương
2018 
Chuyên Bình Dương
2018
Chuyên Cao Bằng vòng 2
2019
Chuyên Cao Bằng vòng 2
2019
Chuyên Gia Lai vòng 2
2019
Chuyên Gia Lai vòng 2
2019
Chuyên KonTum vòng 2
2019
Chuyên KonTum vòng 2
2019
Chuyên Cần Thơ
2019 
Chuyên Cần Thơ
2019
Chuyên Quảng Ninh
2017; 2019
Chuyên Quảng Ninh
2017; 2019
Chuyên Hưng Yên 
2017, 2018
Chuyên Hưng Yên 
2017, 2018
chuyên Toán Ninh Bình
2017; 2019
Chuyên Ninh Bình, chuyên Toán Ninh Bình
2017; 2019
Chuyên Thừa Thiên Huế
2017
Chuyên Thừa Thiên Huế
2017
Chuyên Toán Hà Nam
2019
Chuyên Toán Hà Nam
2019
Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định
2015, 2017, 2018
Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định
2015, 2017, 2018
Chuyên Toán Nam Định
2019
Chuyên Toán Nam Định
2019
Chuyên Thái Bình
2017; 2018; 2019
Chuyên Thái Bình
2017; 2018; 2019
Chuyên Tin Thái Nguyên
2019
Chuyên Tin Thái Nguyên
2019
Chuyên Tiền Giang vòng 2, chuyên Tin Tiền Giang vòng 2
2018, 2019 
Chuyên Tiền Giang vòng 2, chuyên Tin Tiền Giang vòng 2
2018, 2019
Chuyên Lào Cai
2017
Chuyên Lào Cai
2017
Chuyên Lâm Đồng vòng 2
2019 –
Chuyên Lâm Đồng vòng 2
2019
Chuyên Lâm Đồng vòng 2
2019
Chuyên Lâm Đồng vòng 2
201
Chuyên Sư Phạm Hà Nội 
2015, 2016, 2017, 2018
Chuyên Sư Phạm Hà Nội 
2015, 2016, 2017, 2018
Chuyên Trà Vinh
2018 
Chuyên Trà Vinh
2018
Chuyên Toán Bến Tre
2018
Chuyên Toán Bến Tre
201
Chuyên Toán Bình Định và chuyên vòng 2
2018, 2019
Chuyên Toán Bình Định và chuyên vòng 2
201, 2019
Chuyên Hưng Yên
2018; 2019
Chuyên Hưng Yên
2018; 2019
Chuyên Nam Định
2018 – 2019
Chuyên Nam Định
2018
Chuyên An Giang
2018 – 2019
Chuyên An Giang
2018
Chuyên Phú Yên vòng 2
2019 – 2020
Chuyên Phú Yên vòng 2
2019
Chuyên Quảng Ngãi
2019 – 2020
Chuyên Quảng Ngãi
2019
Chuyên Quảng Trị
2018 - 2019
Chuyên Quảng Trị
2018
Chuyên Sơn La vòng 2
2019 - 2020
Chuyên Sơn La vòng 2
2019
Đại Học Ngoại Ngữ Hà Nội
2010, 2014, 2017
Đại Học Ngoại Ngữ Hà Nội
2010, 2014, 2017
Học sinh giỏi TP Bắc Giang
2016
Học sinh giỏi TP Bắc Giang
2016
Học sinh giỏi Hòa Bình
2010
Học sinh giỏi Hòa Bình
2010
Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn
2019; 
Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn
2019; 
Học sinh giỏi Long An
2012
Học sinh giỏi Long An
2012
Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Lai Châu
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Lai Châu
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình
2018
Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa
2013; 2016; 2017
Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa
2013
2016 
2017
Học sinh giỏi Phú Thọ
2012 - 2013
Học sinh giỏi Phú Thọ
2012
Học sinh giỏi Hải Dương

Học sinh giỏi Hải Dương

Học sinh giỏi Nam Định

Học sinh giỏi Nam Định



Học sinh giỏi Tỉnh Sóc Trăng
2020
Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng
2018
Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng
2018
Học sinh giỏi Huyện Hoằng Hóa
2019
Học sinh giỏi Huyện Hoằng Hóa
2019
Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn
2019
Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn
2019
Học sinh giỏi Huyện Chương Mỹ vòng 1 và vòng 2
2019; 2020
Học sinh giỏi Huyện Chương Mỹ vòng 1 và vòng 2
2019
Học sinh giỏi Huyện Ba Đình
2017
Học sinh giỏi Huyện Ba Đình
2017
Học sinh giỏi Huyện Bắc Từ Liêm
2018
Học sinh giỏi Huyện Bắc Từ Liêm
2018
Học sinh giỏi Huyện Đức Cơ
2019
Học sinh giỏi Huyện Đức Cơ
2019
Học sinh giỏi Huyện Như Thanh
2019
Học sinh giỏi Huyện Như Thanh
2019
Học sinh giỏi Huyện Triệu Phong
2019
Học sinh giỏi Huyện Triệu Phong
2019
Học sinh giỏi Huyện Thường Tín
2019
Học sinh giỏi Huyện Thường Tín
2019 - 2020
Học sinh giỏi Huyện Ba Vì
2019
Học sinh giỏi Huyện Ba Vì
2019
Học sinh giỏi Huyện Ba Thước
2019
Học sinh giỏi Huyện Ba Thước
202019
Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng
2019
Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng
2019
Học sinh giỏi Huyện Thanh Xuân
2019
Học sinh giỏi Huyện Thanh Xuân
2019
Học sinh giỏi Huyện Mỹ Đức
2019
Học sinh giỏi Huyện Mỹ Đức
2019
Học sinh giỏi Huyện Cầu Giấy
2019
Học sinh giỏi Huyện Cầu Giấy
2019
Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn
2019
Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn
2019
Học sinh giỏi Huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa
2019
Học sinh giỏi Huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa
2020
Học sinh giỏi Huyện Đông Hà Quảng Trị
2020
Học sinh giỏi Huyện Đông Hà Quảng Trị
2020
Học sinh giỏi TP Thanh Hóa
2020
Học sinh giỏi TP Thanh Hóa
2020

A. BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC
Bài 1: Chuyên Bình Định vòng 2, năm học 2019 – 2020
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
+) 
+) 
Do đó 
Vậy .
Cách khác:
Ta có: 
+) 
Do đó 
Vậy .
Bài 2: Chuyên Tỉnh Bạc Liêu, năm học 2019 – 2020
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Bài 3: Chuyên Tỉnh Bến Tre vòng 2, năm học 2019 – 2020
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có 
Vậy 
Bài 4: Chuyên Tỉnh Gia Lai vòng 2, năm học 2019 – 2020
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có 
Vậy 
Bài 5: Chuyên KonTum vòng 2, năm học 2019 – 2020
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có 
Vậy 
Bài 6: Chuyên Tỉnh Lâm Đồng vòng 2, năm học 2019 – 2020
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta tính được và 
Do đó 
Vậy 
Bài 7: Chuyên Tỉnh Nam Định chuyên Toán, năm học 2019 – 2020
Cho . Tính 
Lời giải
Ta có 
Do hay 
Vậy .
Bài 8: Chuyên Tỉnh Ninh Bình chuyên Toán, năm học 2019 – 2020
Rút gọn 
Lời giải
Ta có:
Vậy .
Bài 9: Chuyên Tỉnh Sơn La vòng 2, năm học 2019 – 2020
Cho Tính 
Lời giải
Ta có: 
Vậy 
Bài 10: Chuyên Tỉnh Thái Nguyên, chuyên Tin, năm học 2019 – 2020
Cho . Không sử dụng máy tính bỏ túi chứng minh là số nguyên tố
Lời giải
Ta có 
Vậy là số nguyên tố.
Bài 11: Chuyên Tin Tiền Giang, năm học 2019 – 2020
Rút gọn 
Lời giải
Ta có 
Vậy 
Bài 12: Chuyên Tiền Giang vòng 2, năm học 2019 – 2020
Cho . Tính 
Lời giải
Ta có 
Vậy .
Bài 13: Tuyển Sinh chuyên Quảng Trị, năm học 2018 – 2019
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có 
Vậy 
Bài 14: Tuyển Sinh chuyên Tiền Giang, năm học 2018 – 2019
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Vậy 
Bài 15: Tuyển Sinh chuyên Bình Dương, năm học 2018 – 2019
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Với , ta có 
Áp dụng kết quả, ta được:
Bài 16: Tuyển Sinh chuyên An Giang, năm học 2018 – 2019
Rút gọn 
Lời giải
Ta có: 
+) 
Vậy 
Vậy 
Bài 17: Học sinh giỏi Tỉnh Hòa Bình, năm học 2011 – 2011
Rút gọn 
Lời giải
Đặt , ta có 
Xét 
Vậy .
Bài 18: Học sinh giỏi Phú Thọ, năm học 2012 – 2013
Rút gọn 
Lời giải
Ta có 
Vậy .
Bài 19: Học sinh giỏi TP Bắc Giang, năm học 2016 – 2017
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có:
Vậy 
Bài 20: Học sinh giỏi Long An, năm học 2012
Tính 
Lời giải
Ta có 
.
Bài 21: HSG huyện Nga Sơn Thanh Hóa, năm học 2016 - 2017
Rút gọn 
Lời giải
Ta có: 
Vậy .
Bài 22: HSG Tỉnh Quảng Nam, năm học 2020 - 2021
Rút gọn biểu thức 
Và 
Lời giải
a) Ta có 
.
b) Đặt 
suy ra 
Vậy .
Bài 23: HSG Tỉnh Bình Dương, năm học 2020 - 2021
Tính giá trị của biểu thức với 
Lời giải
Ta có: 
Thay vào ta được: 
Vậy với 
Bài 24: HSG Tỉnh Đồng Tháp, năm học 2020 - 2021
Tính giá trị của biểu 
Lời giải
1. Ta có 
Bài 25: HSG Tỉnh Quảng Nam, năm học 2020 - 2021
Rút gọn các biểu thức sau 
a) 
b) 
Lời giải
a) 
Đặt , 
Suy ra 
 (Vì ). Vậy 
Bài 26: HSG Quận Tây Hồ, năm học 2020 - 2021
Tính giá trị biểu thức , biết 
Lời giải
Ta có 
Xét 
Hay 
Vậy .
Bài 27: HSG Huyện Ba Vì, năm học 2020 - 2021
Cho hàm số Tính giá trị của tại 
Lời giải
a) Hàm số Tính giá trị của tại .
Ta có 
Khi đó .
Do đó .
Vậy .
Bài 28: HSG Huyện Thiệu Hóa, năm học 2020 - 2021
Tính giá trị biểu thức với 
Lời giải
Vì 
Do đó:
.
Bài 29: HSG Thị Xã Hoài Nhơn, năm học 2020 - 2021
Rút gọn các biểu thức:
a) 
b) 
c) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Đặt và 
Ta có: 
( Vì )
Vậy .
c) Ta có: .
Áp dụng đẳng thức trên lần lượt với ta được: 
.
Bài 30: HSG Huyện Tiên Du, năm học 2020 - 2021
Tính giá trị biểu thức , biết rằng và 
Lời giải
Ta có: 
Tương tự 
Vậy ta có kết quả .
C: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
a) 
b) 
Lời giải
a) Với ta có 
.
Cộng vế với vế ta được 
Với 
b) Với ta có 
Hoặc 
Ta có 
..
Với 
Bài 2: Chuyên Vinh Nghệ An
Cho . Tính 
Lời giải
Đặt và 
Tương tự: 
Và 
*) Nhận xét: Ta có bài toán tương tự sau
Cho 2 số m, n sao cho 
Đề bài 
Tính , kết quả ta được 
Bài 3: 
Cho . Tính 
Lời giải
Phân tích: 
Chọn 1 cặp số 
Nhận thấy 
Vậy 
Bài 4: 
Chứng minh rằng là một số nguyên
Lời giải
Đặt và 
Ta có 
Vậy là một số nguyên.
Bài 5: 
Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Đặt 
Thay vào biểu thức ta có: 
Khai triển biểu thức trên ta được 
Bài 6: Chuyên An Giang, năm học 2018 - 2019
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có 
+ 
+ 
.
Bài 7: Học sinh giỏi huyện Thiệu Phong, năm học 2019- 2020
Cho biểu thức . Chứng minh D là nghiệm của phương trình 
Lời giải
Ta có 
Ta có 
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 8: Chuyên Bình Định, năm học 2019 - 2020
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có 
- 
- 
Do đó 
Bài 9: Chuyên Bạc Liêu, năm học 2019 - 2020
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có 
Bài 10: Chuyên Bến Tre vòng 2, năm học 2019 - 2020
Tính gía trị của biểu thức 
Lời giải
Có 
Bài 11: Chuyên Lâm Đồng vòng 2, năm học 2019 - 2020
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có 
Vậy 
Bài 12: Chuyên Toán Nam Định, năm học 2019 - 2020
Cho Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có 
- Do nên hay , do đó .
Bài 13: Chuyên Toán Ninh Bình, năm học 2019 - 2020
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có 
.
Bài 14: 
Biết . Tính giá trị biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Lại có 
Vậy 
Bài 15: Học sinh giỏi Hải Dương
Tính giá trị biểu thức , với 
Lời giải
Ta có 
Đặt 
Từ đó 
Từ đó 
Bài 16: 
Cho hai số thực , thỏa mãn . Tính 
Lời giải
Ta có 
Nhân liên hợp 2 vế của với 
Nhân liên hợp 2 vế của với 
Cộng tương ứng (1)(2) ta có: 
Bài 17: Học sinh giỏi Hà Tĩnh
Tính tổng , biết 
Lời giải
Ta có 
 (hiệu sai phân)
Vậy 
Bài 18: Chuyên SPHN
Gọi là nghiệm dương của phương trình . Không giải phương trình hãy tính 
Lời giải
Vì là nghiệm của phương trình 
Xét (loại)
Nhân liên hợp C với ta được:
Bài 19: HSG Tỉnh Tuyên Quang, năm học 2020 - 2021
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
a) Ta có: 
Bài 20: HSG Tỉnh Bình Dương, năm học 2020 - 2021
Rút gọn biểu thức 
Lời giải
Ta có :
D: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1: HSG Nam Định
Cho thỏa mãn và . Chứng minh rằng 
Lời giải
Từ giả thiết ta có 
 (đpcm).
Bài 2: 
Cho và . Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta có đpcm 
 (luôn đúng do giả thiết).
Bài 3: 
1) Cho là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng biểu thức sau là số hữu tỉ: 
2) Chứng minh rằng 
Lời giải
a) Áp dụng bài 2 ta có:
Xét và 
b) Ta có 
 (đpcm).
Bài 4: HSG Phú Thọ
Cho ba số dương thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức sau:
Lời giải
Đặt 
+) 
+) 
+) 
Vậy 
Bài 5: 
Cho ba số dương và . Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt 
Từ giả thiết ta 
Chú ý: 
+) 
Tương tự ta có: 
 (đpcm).
Bài 6: 
Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt 
Ta có 
Bài 7: HSG Tỉnh Thái Bình, năm học 2020 - 2021
Cho 
a) Chứng minh rằng 
b) Tính giá trị biểu thức 
Lời giải
a) Ta có: 
 (điều phải chứng minh)
b) Ta có: (chứng minh trên)
Vậy 
E: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: HSG Nam Định
1) Chứng minh rằng (2017 chữ số 2)
2) Chứng minh rằng: 
Lời giải
1) Ta có (2016 chữ số 2)
 (2015 chữ số 2) (đpcm)
2) Nhân cả tử và mẫu với ta được:
Ta có 
Bài 2: 
1) Chứng minh rằng thì 
2) Áp dụng, chứng minh rằng: 
Lời giải
1) Phân tích: Ta có 
Áp dụng ta có: 
2) Ta có: 
.....
Cộng từng vế tương ứng ta có:
 (đpcm).
Bài 3: 
Chứng minh rằng thì 
Lời giải
Ta đưa về dạng tổng sai phân: 
Ta có 
Áp dụng ta có: 
 (đpcm).
Bài 4: 
Cho là các số dương. Chứng minh rằng tồn tại một số dương trong hai số và 
Lời giải
Xét tổng hai số: 
 đpcm. 
Bài 5: 
Tính tổng .
Lời giải
Ta có với 
Bài 6: 
Tính giá trị biểu thức biết 
Lời giải
Ta có bất đẳng thức Cauchy Schwars: 
Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng ta có: 
Điều kiện: 
Dấu “=” xảy ra 
Bài 7: HSG Huyện Thanh Oai
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có: 
Lời giải
Chứng minh được công thức tổng quát:
.
Áp dụng bất đẳng thức trên suy ra:
.
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:
 suy ra đpcm.
Bài 8: HSG Huyện Tiên Du, năm học 2020 - 2021
Cho . Chứng minh 
Lời giải
Ta có 
Vậy .
F: SỐ HỮU TỈ. SỐ VÔ TỈ
Bài 1: 
Cho 
a) Tìm các số nguyên để nguyên
b) Tìm các số hữu tỉ để nguyên
Lời giải
a) Ta có 
Để . Từ đó tìm được các giá trị của 
b) Đặt 
Điều kiện của là 
Vậy , với thì nguyên.
Bài 2: 
a) Chứng minh rằng là số vô tỉ
b) Tổng quát, nếu là số nguyên dương không chính phương thì là số vô tỉ
c) Tính chất: Nếu là số nguyên dương không chính phương, hữu tỉ và thì 
Lời giải
*) Lưu ý: 
a) Gỉa sử là số hữu tỉ với 
Vậy vô lí là số vô tỉ
b) Ta phân tích 
Tổng quát: 
Ta đi chứng minh là số vô tỉ
Phản chứng: Giả sử là số hữu tỉ 
Từ (1)(2) vô lí (đpcm)
c) Từ giả thiết là số vô tỉ (chứng minh ý b)
Nếu (đúng)
 (vô lí) đpcm.
Bài 3: 
Cho ba số là số hữu tỉ. Chứng minh rằng đều là các số hữu tỉ
Lời giải
Đặt 
Mà (đpcm).
Bài 4: 
Cho là ba số hữu tỉ và là nghiệm của phương trình với là số nguyên dương không chính phương. Tìm các nghiệm còn lại
Lời giải
Theo chứng minh trên, , không là chính phương 
Giả thiết: là nghiệm của phương trình 
Nếu (vô lý)
Vậy thay vào phương trình ta có: 
Vậy các nghiệm còn lại là: và .
G: LUYỆN TẬP CĂN THỨC
Bài 1: 
Hãy lập phương trình với hệ số nguyên có một nghiệm là 
Lời giải
Ta có: 
Có 
Đặt 
Phương trình có là nghiệm.
Bài 2: 
Tìm GTNN của biểu thức 
Lời giải
Điều kiện: 
Nhắc lại: dấu “=” xảy ra 
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của 
Bài 3: SPHN, năm học 2016
Cho thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có giả thiết 
Từ đó ta có 
Vậy 
+) Nếu 
+) Nếu .
Bài 4:
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn A
b) Tìm x, y sao cho và 
Lời giải
a) Ta có 
b) Theo giải thiết ta có 2 trường hợp.
Bài 5:
Cho 
a) Chứng minh rằng: 
b) Tính 
Lời giải
a) Ta có 
b) Từ 
Thay vào S ta được 
Ta chứng minh (đúng)
Từ 
Vậy 
Bài 6: Chuyên Nam Định, năm học 2017
Tìm tất cả các số tự nhiên x thỏa mãn: 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
Ta có và 
Với 
Do 
Bài 7: Đại học Ngoại Ngữ - Hà Nội, năm học 2017
Cho 
a) Rút gọn P
b) Tìm x để 
Lời giải
a) Đặt 
Với điều kiện 
b) 
Bài 8: Đại học Sư Phạm - Hà Nội, năm học 2017
Giả sử là hai số thực phận biệt thỏa mãn điều kiện 
Tính 
Lời giải
Điều kiện 
Theo giả thiết ta có 
Bài 9: Chuyên Sư Phạm - Hà Nội Vòng 1, năm học 2018
Cho với 
a) Chứng minh 
b) Tìm a, b biết rằng và 
Lời giải
a) Ta có 
b) 
Ta có: 
Vì nên 
Vậy 
Bài 10: Chuyên Toán Bình Định, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Chứng tỏ 
Lời giải
a) Ta có
Vậy 
b) Ta có (vì ).
Bài 11: Chuyên Toán Hà Nam, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) So sánh và 
Lời giải
a) Ta có 
Do 
Xét Vậy 
Bài 12:
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) So sánh và 
c) Tìm thỏa mãn điều kiện: 
Lời giải
Điều kiện 
a) Ta có 
b) Ta có Dấu “=” xảy ra khi 
c) Ta có: 
Chi cả hai vế cho ta thu được Đặt , với ta có:
- Với (vô nghiệm)
- Với (thỏa mãn)
Bài 13:
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của khi 
c) Tìm các giá trị của để là số tự nhiên
Lời giải
a) Ta có: 
b) Với 
c) Ta có 
Do Vì P là số nguyên nên 
Đối chiếu với điều kiện ta thấy là các giá trị cần tìm.
Cách khác: Để P là số nguyên thì điều kiện cần và đủ là (m là số nguyên dương )
Ta có do điều kiện do đó 
 hay .
Bài 14: Chuyên Nam Định, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức 
a) Chứng minh 
b) Chứng minh rằng nếu thì 
Lời giải
a) Ta có 
 (đpcm)
b) 
Với , ta có 
Bài 15: Chuyên Nam Định, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Chứng minh rằng 
Lời giải
a) Ta có 
b) Chứng minh rằng 
Có (luôn đúng với mọi y)
Bài 16: Chuyên Thái Bình, năm học 2017 - 2018
Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Đặt Chứng minh rằng với 
Lời giải
a) Ta có 
Vậy với 
b) với , ta có 
Bài 17: Chuyên Bắc Ninh vòng 2, năm học 2019 - 2020
Tính giá trị của biểu thức khi 
Lời giải
Ta có 
Có ; 
Bài 18: Phát triển đề tuyển sinh vào 10 TPHN
Cho hai biểu thức và 
a) Tính giá trị của biểu thức khi 
b) Rút gọn biểu thức 
c) Tìm nguyên để nguyên
d) Tìm của 
e) Tìm để nguyên.
Lời giải
a) Tính được 
b) Rút gọn được 
c) Ta có 
Vì 
Mà 
Với 
d) Vì , dấu “=” xảy ra 
e) Dễ thấy 
+) Với 
+) Với 
Vậy thì nguyên.
Bài 19: Chuyên Ngữ, năm 2014
Cho 
a) Rút gọn 
b) Tìm để 
c) Tìm để 
Lời giải
Điều kiện xác định: 
Ta có 
+) 
+) 
Ta có 
*) Chú ý: Muốn biết kết quả đúng hay sai ta sẽ thay một vài giá trị bất kỳ của vào biểu thức ban đầu và biểu thức rút gọn, nếu hai kết quả bằng nhau thì kết quả rút gọn đúng 99,99%.
b) 
Vậy 
c) 
+) TH1: 
+) TH2: vô nghiệm.
Vậy và thì .