Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan (Có lời giải)

B. RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
DẠNG 1: RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHI BIẾT GIÁ TRỊ CỦA BIẾN
Cách giải: Cần lưu ý một số kiến thức sau
- Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu bài toán chưa cho) trước khi rút gọn
- Kiểm tra xem giá trị của biến có phù hợp với ĐKXĐ hay không trước khi thay giá trị của biến vào biểu thức thu gọn
- Đôi khi có thể tính hoặc x trước khi thay vào biểu thức rút gọn
- Kết quả cuối cùng của biểu thức rút gọn phải có mẫu dương và đã được khử mẫu hoặc trục căn thức ở mẫu.
Bài 1:
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của khi 
Lời giải
a) Ta có 
Điều kiện xác định: 
b) Lại có 
Vậy khi 
Bài 2:
Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện của a, b để M xác định và rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi và 
Lời giải
a) Điều kiện xác định 
b) Ta có 
c) Ta có 
Vậy khi và 
Bài 3: Chuyên Quảng Ninh, năm 2017
 Cho biểu thức 
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) Ta có 
Vậy khi 
Bài 4: Chuyên Thừa Thiên Huế, năm 2017
 Cho biểu thức . Tính giá trị của A khi 
Lời giải
Cách 1: Chia tử cho mẫu
Cách 2: Ta có 
Bài 5: Học sinh giỏi huyện Hằng Hóa, năm 2019 - 2020
 Cho biểu thức 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) Ta có 
(vì 
Thay vào biểu thức thu gọn ta được 
Bài 6: Học sinh giỏi huyện Quan Sơn và Thanh Xuân, năm 2019 - 2020
 Cho biểu thức 
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi 
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có 
Vậy 
Bài 7: Học sinh giỏi Ba Đình, năm 2019 - 2020
 Cho biểu thức 
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) 
Thay vào biểu thức A ta được 
Bài 8: Học sinh giỏi Bắc Từ Liêm, năm 2017 - 2018
 Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) Với ta có do đó 
mà 
Vậy 
Bài 9: Chuyên Bắc Ninh, năm học 2017 – 2018 (Học sinh chuyên Toán – Tin)
 Cho biểu thức và với 
a) Rút gọn biểu thức P và Q
b) Tính tất cả các giá trị của x để 
Lời giải
a) Với ta được và 
b) Khi đó 
Kết hợp với điều kiện xác định ta được thỏa mãn điều kiện.
Bài 10:
Chuyên Bắc Ninh, năm học 2014 – 2015 (Học sinh chuyên Toán – Tin)
 Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính số chính phương x sao cho là số nguyên
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có là ước của 2 gồm 
.
Bài 11:
Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước, năm học 2018 - 2019
 Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi 
Lời giải
a) Điều kiện xác định: 
Đặt 
Khi đó 
b) Ta có 
Vậy 
Bài 12:
Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình, năm học 2018 - 2019
 Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi và 
Lời giải
a) Ta có
Với thì 
b) Ta có 
 (thỏa mãn điều kiện)
Thay vào P ta được vậy 
Bài 13: Chuyên Ninh Bình, năm học 2017
 Cho biểu thức , với 
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi 
Lời giải
a) Ta có 
b) Tính được 
Bài 14: Chuyên Trà Vinh, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn Q
b) Xác định giá trị của Q khi 
Lời giải
a) Ta có 
Vậy với 
b) Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức Q ta được: 
Bài 15: Chuyên Toán Bến Tre, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức với là hai số thực dương
a) Rút gọn biểu thức 
b) Xác định giá trị của biểu thức P khi và 
Lời giải
a) Ta có 
b) .
Bài 16: Học sinh giỏi cấp Tỉnh Lạng Sơn, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của biểu thức với 
Lời giải
a) Điều kiện 
Vậy với 
b) Với 
 (thỏa mãn)
Thay vào biểu thức ta được 
Vậy khi .
Bài 17: Học sinh giỏi cấp Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021
1) Rút gọn biểu thức với 
2) Tính giá trị của biểu thức với 
Lời giải
1) Với 
.
2) Áp dụng công thức: 
Bài 18: HSG Huyện Gia Lâm vòng 1, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của khi 
Lời giải
a) 
Đặt 
Như thế 
b) Ta có 
Vậy 
b) Ta có các bđt phụ sau (rất quen thuộc nên ta không chứng minh lại)
Với ba số thực dương 
(dấu bằng khi )
Và (dấu bằng khi )
Áp dụng ta có 
Vậy 
Bài 19: HSG Hà Đông, năm học 2018 - 2019
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Chứng minh rằng nếu biểu thức sau khi rút gọn của là số nguyên tố và là số nguyên thì cũng là số nguyên tố
b) Tính giá trị của biểu thức biết 
Lời giải
ĐKXĐ: hoặc 
Nếu thì
Nếu thì
Nếu thì không là số nguyên tố
Nếu nguyên tố khi là số nguyên
Vì nên nguyên khi thuộc ước của 2
Mà nên 
Với thì là số nguyên tố
Vậy P là số nguyên tố khi cũng là số nguyên tố
Đặt (do )
. Thay vào 
Bài 20: HSG Huyện Nga Sơn, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức với 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của , biết 
Lời giải
a) Với ta có:
Vậy với 
b) Ta có: 
Thay ( thỏa mãn ) vào biểu thức ta được:
Vậy khi 
Bài 21: HSG Yên Định, năm học 2020 - 2021
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tính giá trị của , biết 
Lời giải
a) Với , , ta có:
.
Vậy khi , , .
b) Khi 
 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Ta có .
Vậy .
DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cần nhớ
1. Xét bài toán: 
a) Rút gọn 
b) Tìm để (m là hằng số) hoặc 
2. Giải bài toán
a) Rút gọn
- Đặt điều kiện để có nghĩa
- Thực hiện rút gọn 
b) Tìm : Giải phương trình
B. Bài tập
Bài 1: Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định, năm 2015
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị của để 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
b) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy 
Bài 2: Chuyên Lào Cai, năm 2017
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm để 
Lời giải
a) Điều kiện và 
Ta có 
b) (loại)
Vậy không có giá trị nào để .
Bài 3:
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm tất cả các giá trị x nguyên dương để p nhận giá trị nguyên
Lời giải
a) Ta có 
b) 
Vì và 
Để (thỏa mãn)
Vậy 
Bài 4: Chuyên Sư Phạm Hà Nội, năm 2017
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức 
b) Tìm các giá trị của để 
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có (điều kiện )
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 5: Học sinh giỏi huyện Chương Mỹ vòng 2, năm học 2020
Cho 
Tìm nguyên để 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
; 
Khi đó 
Ta có :
TH1: 
TH2: 
TH1: loại
TH1: loại
Vậy với hoặc thì 
Bài 6: Học sinh giỏi huyện Đức Cơ, năm học 2019
Cho Tìm sao cho 
Lời giải
Ta có xác định khi 
Lại có xác định khi 
Ta có 
Kết hợp với điều kiện ta được 
Vậy khi 
Bài 7: Học sinh giỏi huyện Như Thanh, năm học 2019
Cho biểu thức 
a) Tìm điều kiện của để có nghĩa và rút gọn 
b) Tìm x để biểu thức nhận giá trị bằng 2
c) Tính giá trị của biểu thức tại 
Lời giải
a) Điều kiện 
Ta có 
Vậy với 
b) Ta có (thỏa mãn)
(vì với mọi x)
c) Ta có 
 (thỏa mãn)
Thay vào A ta được: 
Bài 8: Học sinh giỏi huyện Mỹ Đức và Tỉnh Lai Châu (2018-2019), năm học 2019 - 2020
Cho với 
a) Rút gọn 
b) Tìm các giá trị của để 
c) So sánh và 
Lời giải
a) Ta có 
b) Với 
Ta có 
Vì (thỏa mãn)
Vậy khi 
c) Vì 
Dấu “=” xả ra khi .
Vậy 
Bài 9: HSG Tỉnh Sóc Trăng, năm học 2020 - 2021
Cho 
a) Rút gọn 
b) Tìm các giá trị của để 
Lời giải
a) Điều kiện xác định: 
b) Ta có: 
 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với thì .