Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 12: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn theo tham số m

CHUYÊN ĐỀ 12: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 THEO THAM SỐ m
HPT bậc nhất hai ẩn phụ thuộc tham số: 
	Trong đó: am ; bm ; cm ; a’m ; b’m ; c’m là những hệ số phụ thuộc tham số m.
A. BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
1. Giải và biện luận hệ phương trình : (I) 
	Bước 1: Rút ẩn mà hệ số của nó không chứa m ở một trong hai phương trình (VD rút y)
	Bước 2: Thay ẩn y vừa rút vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn.
	Lập luận: Nhận thấy (1’) có nghiệm y khi (2’) có nghiệm x. 
=> Hệ có (I) nghiệm, vô số nghiệm hay vô nghiệm PHỤ THUỘC vào (2’) có 1 nghiệm x, vô số nghiệm x hay vô nghiệm.
* Xét phương trình (2):
+ Khi H(m) = 0 ó m = mo ta có:
- Nếu K(mo) = 0 thì (2’) có vô số nghiệm x 
=> (1’) có vô số nghiệm y tương ứng.
=> Hệ có vô số nghiệm (x, y) = (x, )
- Nếu K(mo) ≠ 0 thì (2’) vô nghiệm => (1’) vô nghiệm.
=> Hệ vô nghiệm.
+ Khi H(m) ≠ 0 ó m ≠ mo ta có (2’) luôn có nghiệm duy nhất x = 
=> (1’) có nghiệm duy nhất y = 
=> Hệ có nghiệm duy nhất khi m ≠ mo
2. Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm.
	* Thường trong bài toán tìm m để hệ có nghiệm, vô nghiệm còn liên quan đến các ý b), ý c) của bài toán nên ta thường làm theo các bước như bài toán Giải và biện luận hệ:	
* Sau đó lập luận để tìm m theo yêu cầu bài toán.
* Từ đó cũng tìm được luôn nghiệm x, y theo m để làm các ý tiếp theo.
3. Điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện đã cho.
	Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất rồi suy ra nghiệm x ; y của hệ theo m
Bước 2: Giải điều kiện bài toán: 
* Hệ có nghiệm nguyên: 
 	Viết Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên
 	Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
* Hệ có nghiệm x, y dương (âm):
Giải bất phương trình ẩn m => Tập giá trị của m 
* Hệ có nghiệm x, y thỏa mãn một hệ thức đã cho: 
	Thay biểu thức nghiệm x , y vào hệ thức rồi giải phương trình ẩn m
	=> Giá trị của m
	Bước 4: Giải điều kiện trên kết hợp với giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất
=> Kết luận giá trị m (tập giá trị m) thỏa mãn điều kiện.
4. Tìm m đề ba đường thẳng đã cho đồng quy.
	- Xác định giao điểm của 2 trong 3 đường thẳng (giao điểm của 2 đường thẳng không chứa m)
	- Thay giao điểm tìm được vào đường thẳng còn lại chứa m, giải phương trình tìm ẩn m.
5. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm thỏa mãn điều kiện đã cho:
	Bước 1: Xét hệ hai đường thẳng
=> Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M chính là điều kiện hệ có nghiệm duy nhất.
	Bước 2: Giải hệ hai đường thẳng, tìm nghiệm x, y theo m	
Bước 3: Giải điều kiện của M
	Bước 4: Kết luận tập giá trị m thỏa mãn bài toán.
6. Tìm m để hai hệ phương trình tương đương.
Bước 1: Tìm điều kiện của m để mỗi hệ đã cho có nghiệm.
Bước 2: Tìm nghiệm x ; y theo m của mỗi hệ
	+ Cho nghiệm x của hệ này bằng nghiệm x của hệ kia (1)
	+ Cho nghiệm y của hệ này bằng nghiệm y của hệ kia (2)
Giá trị m cần tìm cùng thỏa mãn (1) , (2) và điều kiện của m
7. Chứng tỏ nghiệm (x ; y) của hệ luôn nằm trên đường thẳng cố định.
Từ hệ, bằng phương pháp thế, cộng trừ đại số tạo ra một phương trình mới f(x,y) = 0 không phụ thuộc vào m 
=> Phương trình biểu thị mối liên hệ (x ; y) là đường thẳng cố định cần tìm.
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
	g) 
Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau: Vô nghiệm ; Vô số nghiệm: 
Bài 3: Cho hệ phương trình: . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.
Bài 4: Giải và biện luận hệ phương trình sau: 
Bài 5: Cho hệ phương trình ( m là tham số ) :
 a) Giải hệ phương trình khi m = 1.
 b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 6. Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình với .
b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất trong đó trái dấu.
c) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn .
Bài 7: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước: 2x + y + = 3
Hướng dẫn
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Hệ 
- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:
2. + + = 3 
ó 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 
	 3m2 – 26m + 23 = 0 	m1 = 1 ; m2 = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m = 
Bài 8: Cho hệ phương trình: ( m là tham số)
	a) Giải hệ phương trình với m = 1
	b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 - 2y2 = 1.
Bài 9: Cho hệ phương trình 
 	Tìm giá trị của để hệ có nghiệm sao cho .
Bài 10. Cho hệ phương trình : ( m là tham số ).
	a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ;y) trong đó x = 2.
	b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ;y) thoả mãn 2x + y = 9.
Bài 11: Cho hệ phương trình: 
a) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = - 3
Bài 12: Cho hệ phương trình:. Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức .
Bài 13: Cho hệ phương trình 
a) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
c) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
Bài 14: Cho hệ phương trình
	a) Giải hệ với 
	b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn điều kiện x > y
Bài 15: Cho hệ phương trình 
Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
Bài 16: Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ phương trình với m = 2
	b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho 
Bài 17: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: 
Hướng dẫn
Hệ ó 
Hệ có nghiệm duy nhất ó Phương trình (1) có nghiệm y duy nhất 
ó m2 – 4 ≠ 0 
Vậy với thì hệ có nghiệm duy nhất (x,y) là:
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài 18: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: 
Bài 19: Cho hệ phương trình
	Trong đó m ∈ Z ; m ≠ - 1. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
Bài 20: Cho hệ phương trình 
	a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
	b) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.
	c) Chứng tỏ rằng điểm M(x ; y) (với (x ; y) là nghiệm của hệ đã cho) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 21: Cho hệ phương trình 
	a) Chứng tỏ rằng nếu hệ có nghiệm (x y) thì điểm điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
	b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất.
	Gợi ý: Điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất ó x > 0 và y > 0
	c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .
	Gợi ý: Điểm thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .
	ó x2 + y2 = ()2 . Giải phương trình tìm được m.
Bài 22: Cho hệ phương trình 
	a) Chứng tỏ rằng nếu hệ có nghiệm (x y) thì điểm điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
	b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là các số nguyên. 
	c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .
Bài 23: Cho hệ phương trình (m là tham số)
a) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x > 0, y > 0
b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 24: Cho hệ phương trình : 
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 25: Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ phương trình (1) khi m =1.
	b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 26: Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ phương trình (1) khi m =1.
	b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình (1) có nghiệm (x ; y) sao cho biểu thức P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 27: Cho hệ phương trình: 
	Tìm giá trị của a để hệ phương trình thỏa mãn tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 28: Tìm m để hai hệ phương trình sau tương đương
	a) Hệ (I) 	Hệ (II) 
	a) Hệ (I) 	Hệ (II)