Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2, Bài 6: Một số dạng Toán phương trình bậc bốn đặc biệt (Có lời giải)

BÀI 6: MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT
A. Kiến thức cần nhớ
- Nguyên tắc: Biến đổi phương trình bậc 4 về phương trình bậc hai đơn giản hơn
- Một số dạng phương trình bậc 4 đặc biệt khác:
a) Dạng: 	(1)
Cách giải: Đặt 
b) Dạng: 
Cách giải: - Đối với phương trình (2), đặt thay vào phương trình đã cho, biến đổi về phương trình bậc hai
- Đối với phương tình (3), đặt thay vào phương trình đã cho, biến đổi về phương trình bậc hai
c) Dạng: với 
Cách giải: 
Đặt 
Hoặc đặt , sau đó biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn t và tìm t, sau đó tìm 
d) Dạng: 	(5)
Cách giải: Đặt tìm tìm 
Bài 1:
Giải các phương trình sau: 
a) 	(1)	b) 	(2)
Lời giải
a) 
Cách 1: Dùng công thức để khai triển và 
Cách 2: Đặt 
Phương trình (1) trở thành: 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
b) Đặt ta có phương trình 
Bài 2:
Giải các phương trình sau: 
a) 	b) 
Lời giải
a) 
Đặt ta có phương trình 
b) 
Đặt , ta có phương trình 
Bài 3: Chuyên Khánh Hòa, năm học 2011
Giải phương trình 
Lời giải
Ta có: 
Đặt phương trình (1) trở thành 
Từ đó ta tính được 
Bài 4: Sư Phạm Ngoại Ngữ, năm học 2004
Giải phương trình 
Lời giải
Ta có 
Đặt phương trình (1) trở thành: 
Bài 5:
Giải phương trình sau: 
a) 	b) 
Lời giải
a) Ta có 
Đặt ta có phương trình: 
b) 
Bài 6:
Giải phương trình sau: 	(1)
Lời giải
Phương trình 
Đặt 
 trở thành 
- Nếu 
- Nếu 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 7:
Giải các phương trình sau: 	(1)	 
Lời giải
Phương trình 
Đặt ta được phương trình: 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 8:
Cho phương trình (1). Biết rằng phương trình (1) có 4 nghiệm. Tính giá trị của biểu thức theo 
Lời giải
Ta có 
Đặt ta được phương trình 
Để phương trình (1) có 4 nghiệm thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Viét 
Giả sử là hai nghiệm của phương trình: 
 là hai nghiệm của phương trình: 
Khi đó (hệ thức Viét)
Ta có .
BÀI 7: MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN ĐẶC BIỆT (tiếp) 
A. Kiến thức cần nhớ
1) Dạng: 
Cách giải: 
Đặt 
2) Dạng: 
Cách giải:
- Xét chuyển thành phương trình dạng (2)
Dạng: 
Cách giải: 
- Nếu (vô lý)
- nếu chia cả 2 vế của phương trình (2) cho ta được: 
Đặt ta được: 
3) Dạng: 
- Nếu (vô lý)
- Nếu 
Đặt ta được: 
 biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn t
Bài 1:
Giải phương trình sau: 	
Lời giải
Cách 1: Nhẩm nghiệm (tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên có 1 nhân tử là )
Cách 2: 
Đặt 
Bài 2: Chuyên Lam Sơn, năm học 2012
Giải phương trình sau: 
Lời giải
Ta có: 
Dễ thấy không là nghiệm của phương trình (*)
Khi , chia cả hai vế của phương trình (*) cho ta được: 
Đặt 
Bài 3: 
Giải phương trình: 
Lời giải
Điều kiện: 
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình (1)
Khi 
Đặt (do và cùng dấu)
, điều kiện: 
- Với , ta có: 
Vậy .
Bài 4: 
Giải phương trình: 
Lời giải
Ta có , dấu “=” xảy ra 
, dấu “=” xảy ra 
Từ 
Vậy để , dấu “=” xảy ra tại (1) và (2) 
Vậy .
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1:
Giải phương trình sau: 
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương: 
Đặt 
- Nếu 
- Nếu 
Bài 2: Sư Phạm Ngoại Ngữ, năm học 2005
Giải phương trình sau: 	(1)
Lời giải
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành: 
- Nếu 
- Nếu (vô nghiệm)
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 3:
Giải phương trình sau: 	(1)	 
Lời giải
Rõ ràng: 
Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho ta được: 
Đặt , ta có phương trình: 
- Với 
- Với (vô nghiệm)
Bài 4: Trần Đại Nghĩa TPHCM, năm học 2003
Giải phương trình sau: 
Lời giải
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình
Với , chia cả hai vế của phương trình cho ta được: 
Đặt 
Bài 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. Kiến thức cần nhớ
1. Giá trị tuyệt đối
Với thì 
2. Các tính chất
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
3. Các dạng toán
Dạng 1: 
Dạng 2: 
Dạng 3: 
Dạng 4: 
Dạng toán này ta đi lập bảng xét dấu GTTĐ
Dạng 5: 
Do tìm được phá được dấu giá trị tuyệt đối
Nếu giả thiết không tìm được thì ta đi lập bảng xét dấu giá trị tuyệt đối. 
Dạng 6: (dạng đặc biệt của dạng 4).
Dạng 7: 
Dạng 8: 
II. Bài tập
Bài 1:
Giải các phương trình sau
a) 	b) 	
c) 	
Lời giải
a) Ta có 
b) 
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Ta có 
Bài 2:
Giải các phương trình sau
a) 	b) 	
c) 	
Lời giải
a) Ta có 
b) Điều kiện 
Phương trình (thỏa mãn)
c) Ta có 
Bài 3:
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Ta lập bảng xét dấu












+

-

-

+



-

-

+

+

+ TH1: Nếu , phương trình (loại)
+ TH2: Nếu , phương trình 
+ TH3: Nếu , phương trình 
+ TH2: Nếu , phương trình 
Vậy 
Bài 4:
Xác định 	để phương trình sau có nghiệm: 	 
Lời giải
Phương trình 
Đặt 
Phương trình 
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm 
+ TH1: Phương trình (2) có nghiệm 
+ TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu 
+ TH3: Tất cả các nghiệm của phương trình (2) đều dương 
 (vô nghiệm ) 
Vậy 
Bài 5:
Giải các phương trình sau:
a) 	 
b) 
c) 
Lời giải
a) Ta có 
Vậy 
b) Điều kiện: 
Xét với thì phương trình đã cho trở thành:
 (loại)
Xét với thì phương trình đã cho trở thành:
 (loại)
Xét thì phương trình đã cho trở thành:
 (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c) Nhận thấy 
Vậy phương trình đã cho viết thành 
Thử lại thấy thỏa mãn.
Bài 6:
Giải các phương trình sau:
a) 	 
b) 
Lời giải
a) Ta có 
Xét 2 trường hợp giải phương trình bậc hai, đối chiếu điều kiện và kết luận.
b) Ta có 
Bài 7:
Giải và biện luận cácc phương trình sau
a) 	 
b) 
Lời giải
a) Ta có: 
+) Giải phương trình (1)
Nếu thì phương trình (1) có nghiệm với mọi 
Nếu thì phương trình (1) có nghiệm 
+) Giải phương trình (2)
Ta có 
- Nếu thì (2) có nghiệm 
- Nếu thì (2) có nghiệm kép tương ứng.
- Nếu thì (2) vô nghiệm.
Khi phương trình (2) có nghiệm thì . Khi đó, nghiệm còn lại là 
Kết luận:
- Với thì phương trình đã cho có hai nghiệm và 
- Với phương trình đã cho có 3 nghiệm 
- Với phương trình đã cho có hai nghiệm. 
- Với phương trình đã cho có 1 nghiệm 
- Với phương trình đã cho có 2 nghiệm 
- Với phương trình đã cho có nghiệm với mọi .
b) Chú ý rằng nên:
Làm tương tự câu a).
Bài 8:
Định để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 	 
Lời giải
Ta có: nên: 
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) và (2) đều phải có 2 nghiệm phân biệt, đồng thời 2 phương trình này không có nghiệm chung.
Xét phương trình (1): 
Xét phương trình (2): 
Giả sử phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung khi đó:
Vậy để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì 
Bài 9: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
I. Kiến thức cần nhớ
*) Phương trình nghiệm nguyên là phương trình có nghiệm là các số nguyên
*) Phương pháp giải
+ Đưa phương trình về dạng tổng hoặc tích
Ví dụ: 
+ Dùng các tính chất chia hết, số dư, chữ số tận cùng
+ Dùng bất đẳng thức
+ Sử dụng tính chất cơ bản của trong 1 phương trình bậc hai
(chẳng hạn: là 1 nghiệm, thì là số chính phương và )
+ Sử dụng các tính chất của số chính phương, số nguyên tố
+ Phương pháp đánh giá
+ Phương pháp hạ bậc.
II. Bài tập
Bài 1:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 	
Lời giải
Từ giả thiết là số lẻ là số lẻ
Đặt 
 chẵn là số chẵn
Đặt 
Ta có của (*) là số chẵn, VP của (*) là số lẻ, nên (*) vô nghiệm.
Bài 2:
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên thỏa mãn 	
Lời giải
Ta có phương trình 
Nhận thấy 
Tương tự ta có và 
 và 
Bài 3: Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, năm học 2010
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 	(đưa về dạng tích)	
Lời giải
Ta có 
Nhận thấy 
Vậy HPT có nghiệm 
Bài 4: Chuyên Đắc Lắc, năm 2010
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 	(Dùng )	
Lời giải
Phương trình 
Đặt 
Để phương trình (*) có nghiệm nguyên thì (**) cũng phải có nghiệm nguyên ẩn 
Khi đó và là số chính phương 
Ta có 
+ (loại)
+ (thỏa mãn)
Thay vào (*) ta được 
Vậy HPT có nghiệm 
Bài 5: Chuyên Phan Bội Châu, năm học 2011
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 	
(Dạng )	
Lời giải
Ta có 
+ 
+ 
Hoặc ta có nhận xét sau: Rõ ràng là số lẻ nên ta có 
+) 
+) 
+) 
+) 
Bài 6: Chuyên Phan Bội Châu, năm học 2011
Tìm nguyên dương thỏa mãn 	(Dạng tích)	
Lời giải
Phương trình (*)
Ta có 
Do nguyên dương 
Phân tích 84 thành tích của 2 thừa số nguyên tố, mỗi thừa số lớn hơn hoặc bằng 3, ta được
Nhận thấy chẵn, chẵn, nên ta có đều là các số chẵn
Bài 7: Phú Thọ, năm học 2017
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 	(Dạng tích)	
Lời giải
Ta có 
Ta có 
+) TH1: 
+) TH2: 
+) TH3: 
Bài 8: Chuyên Bắc Giang, năm học 2018
Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để 	là số chính phương 
(Phản chứng)	
Lời giải
Giả sử tồn tại sao cho là số chính phương
Khi đó ta có: 
Nhận thấy là số chẵn
Từ (*) là số chẵn 
Nhưng 
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 9: 
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 	(đánh giá)	
Lời giải
Ta có 
+ TH1: (không thỏa mãn)
+ TH2: (thỏa mãn)
+ TH3: , ta có 
 Vậy không thỏa mãn
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình. 
 Bài 10: Chuyên Tuyên Quang, năm học 2018
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 	
Lời giải
Cách 1:
Phương trình (*) 
Do nên ta có các trường hợp
+ 
+ 
	+ Với 
	+ Với 
Cách 2: 
+ 
+ 
 Bài 11: 
Tìm các số nguyên tố sao cho 	
Lời giải
Do có vai trò như nhau, giả sử 
- Nếu lẻ chẵn và nên không tồn tại số nguyên tố 
Vậy 
+ Nếu chẵn, loại
+ Nếu chẵn, loại
+ Nếu là số lẻ và 
Đặt chia cho 3 dư 2
Do p không chia hết cho 3 nên chia cho 3 dư 1
Từ đó chia hết cho 3 và loại
Vậy hoặc 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Bài 1: 
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 	
Lời giải
Viết phương trình đã cho thành phương trình bậc nhất bậc hai đối với 
Điều kiện cần để (1) có nghiệm là 
Do hoặc 
Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình:
 Bài 2: 
Tìm các số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Đặt phương trình đã cho trở thành 
Phân tích thành tích của hai số nguyên, và chú ý rằng ta có duy nhất một trường hợp: 
 Bài 3: Chuyên Lam Sơn, năm học 2011
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương 
Phân tích 1 thành tích của các số nguyên ta được 2 trường hợp:
 Bài 4: Chuyên Lam Sơn, năm học 2011
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Lời giải
Phương trình đã cho 
 Bài 5: Chuyên Bắc Giang, năm học 2012
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Lời giải
Phương trình đã cho 
 nên . Vậy (1) là phương trình bậc hai ẩn có 
Để (1) có nghiệm nguyên thì phải là số chính phương
Với từ thỏa mãn
Với , để là số chính phương thì tồn tại số tự nhiên sao cho:
Từ đó ta tính được 
 Bài 6: Chuyên Hà Nam, năm học 2012
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương 
Từ đó suy ra phải là ước nguyên dương của , vậy:
 hoặc 
Vậy phương trình đã cho không cso nghiệm nguyên.
 Bài 7: Chuyên Bắc Giang, năm học 2013
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Lời giải
Với mọi thì , từ phương trình đã cho 
Do 
Với (vô nghiệm)
Với (thỏa mãn)
Từ đo thử các giá trị của để tìm .
 Bài 8: Chuyên Hùng Vương, năm học 2013
Tìm các số tự nhiên thỏa mãn phương trình 
Lời giải
Biến đổi phương trình đã cho thành 
Do 
Mà là số tự nhiên nên hoặc hoặc 
Với 
Với (loại)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất