Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 2: Phương trình (Có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH
BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giải phương trình: 
- Nếu trở thành 
+ Nếu có vô số nghiệm
+ Nếu vô nghiệm
- Nếu trở thành 
2. Giải phương trình: 
- Nếu trở thành quay trở về dạng 1
- Nếu là phương trình bậc hai
Tính hoặc rồi tìm nghiệm của bài toán.
3. Định lí Vi-ét
Giả sử phương trình có nghiệm thì 
4. Vi-ét đảo
Nếu thỏa mãn: thì là nghiệm của phương trình: 
Bài 1:
Giải và biện luận phương trình: , với m là tham số
Lời giải
Phương trình 
- Nếu , phương trình (1) trở thành phương trình (1) có vô số nghiệm
- Nếu , phương trình (1) trở thành (vô lý) phương trình vô nghiệm
- Nếu phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
Bài 2:
Cho số thực dương a thỏa mãn: . Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm 
Lời giải
Ta có: 
Theo giả thiết: 
Giả sử 
 mẫu thuẫn với (2)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm
Bài 3:
Giả sử là hai nghiệm của phương trình và là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh 
Lời giải
Áp dụng định lí ta có: 
Ta có:
 (đpcm)
Bài 4: Chuyên Toán Vĩnh Phúc, năm học 2017
Cho phương trình (1)
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b) Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm . Chứng minh rằng 
Lời giải
a) Để phương trình (1) có nghiệm
Theo định lí Viét ta có: 
Ta chứng minh (luôn đúng)
.
Bài 5: 
Giả sử là nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng là một số nguyên
Lời giải
Đặt 
Theo định lí Viét ta có 
Vì là hai nghiệm khác 0 của phương trình nên: 
 (nhân với )
 (nhân với )
 (với )
Nếu là số nguyên, là số nguyên là số nguyên
 là số nguyên, là số nguyên là số nguyên.
Bài 6: Chuyên Lê Hồng Phong TP HCM, năm học 2003
Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm và 
Lời giải
Ta sử dụng phương pháp phản chứng
Giải sử cả hai phương trình đã cho đều vô nghiệm. Khi đó: và 
	(1)
Mặt khác dễ chứng minh được: và do 
Vậy 	(2)
Từ (1) và (2) ta thấy mâu thuẫn, nên điều giả sử là sai
Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 7: NK Trần Đại Nghĩa TP HCM, năm học 2001
Cho phương trình có hai nghiệm thỏa mãn . Chứng minh 
Lời giải
Theo hệ thức Viét ta có: và do nên là nghiệm của phương trình đã cho. Thay vào phương trình ta được: 
*) Lưu ý: với mọi 
Nếu 
Áp dụng cho ta có điều phải chứng minh.
Bài 8: NK Trần Đại Nghĩa TP HCM, năm học 2001
Giả sử các phương trình và () có các nghiệm tương ứng là và . Chứng minh rằng 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
Theo địn lí Viét ta có: và 
Vậy (đpcm)
Bài 9: 
Chứng minh rằng nếu thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
Lời giải
Ta có 
Giả sử mâu thuẫn với giả thiết 
Vậy nê phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 10: ĐHKHTN HN, năm học 2015
Giả sử là hai số thực phân biệt thỏa mãn 
a) Chứng minh rằng 
b) Chứng minh rằng 
Lời giải
a) Nhận thấy là hai nghiệm phân biệt của phương trình ẩn sau:
Theo định lí Viét ta có 
b) Theo Viét ta cũng có 
Có 
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
A. Kiến thức cần nhớ
1) Phương trình bậc ba: (*)
2) Cách giải
a) Phân tích đa thức thành nhân tử
- Nhẩm nghiệm: Đa thức có ngiệm thì 
- Sử dụng máy tính để xác định nghiệm
b) Biến đổi đa thức về dạng 
Trong đó: có thể là các biểu thức chứa hoặc là những hằng số
Khi đó phương trình 
3) Chú ý:
- Nếu là các số nguyên và là nghiệm hữu tỉ của phương trình (*) thì là ước của và là ước của Đặc biệt khi thì phương trình (*) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là nguyên và là ước của 
- Nếu thì phương trình (*) có một nghiệm là 
- Nếu thì phương trình (*) có một nghiệm là 
B. Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy là một nghiệm của phương trình nên có 1 nhân tử là 
Ta có: 
b) Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy là một nghiệm của phương trình nên có 1 nhân tử là 
Ta có: 
c) Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy là một nghiệm của phương trình nên có 1 nhân tử là 
Ta có: 
d) .
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) 	b) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) 	b) 
c) 
Lời giải
a) Ta có: nên ta nhẩm các nghiệm có dạng với là ước của , ta thấy là nghiệm của phương trình
Phương trình 
Vậy tập nghiệm của phương trình 
b) Ta có: nên ta nhẩm các nghiệm có dạng với là ước của 
Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình
Phương trình 
Vậy tập nghiệm của phương trình 
c) Vì các hệ số xuất hiện nên ta nhẩm nghiệm có dạng Thay vào phương trình ta có: 	(*)
Vì tổng các hệ số của (*) bằng 0 nên (*) có nghiệm hay phương trình đã cho có nghiệm 
Có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình 
Bài 4: Giải các phương trình sau
a) 	b) 
Lời giải
a) Nhẩm các nghiệm với là ước của ta thấy phương trình không có nghiệm nguyên
Ta thấy các hệ số xuất hiện nên ta nghĩ tới hằng đẳng thức như sau:
Vậy tập nghiệm của phương trình 
b) Bằng cách nhẩm nghiệm, ta thấy phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ. Ta biến đổi phương trình như sau:
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 5: Cho đa thức 
a) Phân tích đa thức thành nhân tử	
b) Tìm m để đa thức có 3 nghiệm phân biệt sao cho có một nghiệm là trung bình cộng của hai nghiệm còn lại
Lời giải
a) Ta có 
b) có ba nghiệm 
 có ba nghiệm phân biệt , ta xét các trường hợp sau:
- TH1: Nếu 
- TH2: Nếu 
- TH3: Nếu 
Vậy là các giá trị cần tìm.
Bài 6: 
Giải phương trình 	(1)	
Lời giải
Đặt 
*) Nhận xét: Nếu 
Nhận thấy: 
Nên 
Bài 7: Cho phương trình 	(1)
a) Tìm các số hữu tỷ a, b để phương trình (1) có nghiệm 	
b) Với giá trị a, b vuwà tìm được. Gọi là 3 nghiệm của phương trình (1) và đặt với . Tính và chứng minh 
Lời giải
a) Thay vào phương trình (1) ta được:
 (do a, b là số hữu tỷ)
b) Phương trình 
Đặt 
Ta có 
Theo Viét ta có: 
Đặt 
Có: 
Bài 8: 
Biết rằng là một nghiệm của phương trình với các hệ số hữu tỉ. hãy tìm các nghiệm còn lại
Lời giải
Thay vào phương trình, ta được: 
- Nếu (vô lý)
Từ đó thay vào phương trình
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là 
Lưu ý: nên 
Bài 9: 
Xác định các số nguyên , sao cho một trong các nghiệm của phương trình là 
Lời giải
Thay vào phương trình ta được hệ thức: 
Do nguyên nên: 
Vậy .
Bài 3: NHẢM NGHIỆM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
A. Kiến thức cần nhớ
1) Định lí Bơzu: Nếu phương trình có nghiệm thì 
*) Nhận xét 1: Cho với 
Nếu phương trình có nghiệm 
*) Nhận xét 2: Sử dụng lược đồ hoocne để chia đa thức
B. Bài tập
Bài 1: Giải phương trình sau
Lời giải
*) Phân tích: Sử dụng máy tính ta tìm được nghiệm phương trình có 1 nhân tử là 
Ta có phương trình 
Bài 2: Giải phương trình sau
Lời giải
Phân tích: 
- Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của 2, từ đó tìm được nghiệm 
 có một nhân tử là 
- Tổng các hệ số bằng 0 nên phương trình có nghiệm 
- Tổng các hệ số của mũ chẵn bằng tổng hệ số mũ lẻ thì phương trình có nghiệm 
Ta có: 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 3: Giải phương trình sau
Lời giải
Phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm , tức là có một nhân tử là 
, ta có: 
Vì 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
Bài 4: Giải phương trình sau
Lời giải
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, nên phương trình có nhân tử 
Ta có 
Vì 
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 5: Giải phương trình sau
Lời giải
Nhẩm nghiệm là nghiệm của phương trình nên có nhân tử là 
Ta có 
Vì .
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 6: Giải phương trình sau
Lời giải
Ta có 
+) TH1: 
+) TH2: 
Ta có: và 
 phương trình (1) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
Bài 7: Giải phương trình sau
Lời giải
Ta có 
Vì và nên phương trình (*) vô nghiệm.
Bài 8: Giải phương trình sau
Lời giải
Ta có 
Vì 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
C. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
Mẫu 1: Phương trình đẳng cấp bậc hai.
Ví dụ: Tìm mối liên hệ giữa và , biết 
Phân tích: Ta xét 
Với , chia cả hai vế cho ta được: 
Đặt 
Bài 1: Giải phương trình sau
Lời giải
Điều kiện: 
Đặt 
Phương trình 
+) TH1: 
+) TH2: 
Giải 2 trường hợp và đối chiếu điều kiện ta tìm được nghiệm của phương trình.
Bài 2: Giải phương trình sau
Lời giải
Đặt 
Ta có phương trình: 
+) TH1: (phương trình vô nghiệm)
+) TH2: 
Vậy phương trình có hai nghiệm .
Bài 3: Giải phương trình sau
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
+) Nếu (phương trình vô nghiệm)
+) Nếu 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Mẫu 2: Sử dụng hẳng đẳng thức 
Bài 1: Giải phương trình sau
Lời giải
Áp dụng hẳng đẳng thức 
Vậy phương trình có nghiệm .
Bài 2: Giải phương trình sau
Lời giải
Ta có 
Sử dụng hẳng đẳng thức 
Nhận xét: Nếu 
Áp dụng vào bài toán:
Ta có: 
Do đó 
Vậy phương trình có ba nghiệm 
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình bậc 4 trùng phương: 	(*)
2. Cách giải
- Với một phương trình cụ thể: 
+ Áp dụng cách giải tổng quát
+ Sử dụng máy tính
- Với phương trình chứa tham số ta áp dụng cách giải tổng quát
*) Phương pháp giải:
Đặt trở thành 	(**)
- Nếu phương trình (**) vô nghiệm phương trình (*) vô nghiệm
- Nếu phương trình (**) có nghiệm kép 
+ Nếu 
+ Nếu vô nghiệm vì 
- Nếu phương trình (**) có nghiệm 
Căn cứ vào dấu của để tìm 
Ví dụ: Giả sử ; 
Nếu loại
*) Chú ý: Nếu có 
- Nếu có 
B. Bài tập
Bài 1:
Tìm một phương trình bậc 4 trùng phương để 
Lời giải
Ta có 
 (đpcm)
Bài 2:
Cho phương trình . Chứng minh rằng 
Là một nghiệm của phương trình đã cho.
Lời giải
Ta có 
Với 
Thay vào vế trái của (1) ta được: 
Vậy là một nghiệm của phương trình đã cho (đpcm).
Bài 3:
Cho phương trình (1). Tìm giá trị của m để phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn 
Lời giải
Đặt , phương trình (1) trở thành: 
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt 
Vậy với thì phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm: 
Do là giá trị cần tìm.
Bài 4:
Cho phương trình 
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn 
Lời giải
a) Đặt phương trình đã cho trở thành 
Dễ thấy phương trình đã cho luôn có nghiệm 
b) Với thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt:
Vậy (thỏa mãn điều kiện)
Bài 5: Chuyên Hà Nam, năm học 2012
Cho phương trình (với m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 4 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để 
Lời giải
a) Đặt , phương trình đã cho trở thành 
Ta có với mọi m
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và 
Theo định lí Viét ta có: 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
b) Giả sử 
và 
Thay vào biểu thức Q ta được giá trị của m cần tìm.
Bài 6: Chuyên Vũng Tàu, năm học 2018
Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện: 
Đặt 
Phương trình (3) 
Do 
Ta có do (2)
Từ (thỏa mãn điều kiện (2))
Vậy 
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN DẠNG ĐỖI XỨNG VÀ HỒI QUY
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình bậc bốn dạng đối xứng
 (*)
Cách giải:
- Nếu trở thành: (vô lý do )
- Nếu chia cả hai vế của phương trình (*) cho , ta được:
Đặt tìm được t và so sánh với điều kiện 
2. Phương trình bậc bốn dạng hồi quy
 (**) và 
Cách giải:
- Nếu trở thành: 
+ Có 1 nghiệm 
+ Vô nghiệm
- Nếu chia cả hai vế của (**) cho ta được: 
Đặt 
Đặt 
Từ 
*) Chú ý: - Nếu là phương trình dạng đối xứng
- Nếu là phương trình dạng phản đối xứng
Bài 1:
Giải phương trình sau: 
Lời giải
Nhận xét:
Cách 1: Dùng máy tính tính được nghiệm của phương trình là sau đó phân tích đa thức thành nhân tử và tìm nghiệm của phương trình, ta được:
Cách 2: Nhận thấy tổng các hệ số của phương trình bằng 0, nên phương trình có 1 nghiệm có 1 nhận tử là 
Cách 3: Nhận thấy phương trình dạng hồi quy
- Nếu trở thành: (vô lý)
- Nếu chia cả hai vế của phương trình (1) cho ta được: 
Đặt , phương trình (2) trở thành: 
- Nếu 
- Nếu 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 2: SPĐN, năm học 2006
Giải phương trình sau: 
Lời giải
Cách 1: 
Cách 2: Nhận thấy phương trình (1) có dạng phản đối xứng
- Nếu trở thành (vô lý)
- Nếu chia cả 2 vế cho ta được: 
Đặt ta được: 
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
Bài 3:
Giải các phương trình sau: 
a) 	b) 
Lời giải
a) Nhận thấy không là nghiệm của phương trình (1)
Với , chia cả hai vế của phương trình cho ta được
Đặt phương trình đã cho trở thành: 
- Với 
- Với 
b) Dễ thấy không là nghiệm của phương trình (2)
Với , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Đặt phương trình đã cho trở thành: 
- Với 
- Với (vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 
Bài 4:
Giải các phương trình sau: 	 
Lời giải
Dễ thấy không là nghiệm của phương trình
Với , chia cả hai vế của phương trình cho ta được: 
, đặt , ta được phương trình:
- Với 
- Với 
Bài 5:
Giải phương trình sau: 
Lời giải
Điều kiện 
Đặt 
Phương trình (1) trở thành: 
- Với 
- Với 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 6:
Giải phương trình sau: 
Lời giải
Nhận xét: Phương trình trên không phải dạng đối xứng hay hồi quy
Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ta được:
Bài 7: Chuyên Vũng Tàu, năm học 2018
Giải phương trình sau: 	(1)
Lời giải
Điều kiện: 
Đặt 
(tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ)
Do và (do 2)
Từ (thỏa mãn điều kiện 2) 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1:
Giải các phương trình sau: 
a) 	b) 	
Lời giải
a) 
Dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình
Với chia cả hai vế của phương trình đã cho cho ta được:
Đặt phương trình đã cho trở thành: 
- Với 
- Với 
b) 
Dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình
Với chia cả hai vế của phương trình đã cho cho ta được:
Đặt phương trình đã cho trở thành: 
- Với 
- Với (phương trình vô nghiệm)
Vậy phương trình có hai nghiệm là: 
Bài 2:
Giải các phương trình sau: 	
Lời giải
Dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình
Với chia cả hai vế của phương trình đã cho cho ta được:
Đặt phương trình đã cho trở thành: 
Bài 3:
Giải các phương trình sau: 	
Lời giải
Dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình
Với chia cả hai vế của phương trình đã cho cho ta được:
Đặt phương trình đã cho trở thành: 
Bài 4:
Giải các phương trình sau: 	
Lời giải
Dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình
Với chia cả hai vế của phương trình đã cho cho ta được:
Đặt phương trình đã cho trở thành: 
Bài 5:
Giải các phương trình sau: 	
Lời giải
Ta có 
Vậy phương trình có nghiệm .