Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 3, Dạng 4: Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp (Có lời giải)

Dạng 4: Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp
A. Kiến thức
Bài toán: Giải hệ phương trình 
Hệ phương trình đẳng cấp là hệ phương trình thỏa mãn điều kiện 
Ví dụ: (tổng số mũ của x và y ở mỗi số hạng bằng nhau)
*) Đẳng cấp ở đây có thể hiểu là cùng cấp độ hoặc số mũ bằng nhau.
Chứng minh: 
Bài toán cụ thể: 
Lời giải
+ Đặt điều kiện
+ Xét với xem thỏa mãn không
+ Đặt , thay vào cả 2 phương trình trong HPT
+ Với , chia cả 2 vế của phương trình cho ta được phương trình ẩn 
+ Giải phương trình ẩn 
+ Tính và so sánh với điều kiện.
+ Kết luận
 Bài 1: 
Tìm mối liên hệ giữa thỏa mãn:
a) 
b) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
Ta có: 
Vậy 
 Bài 2: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Cách 1:
- Với HPT vô nghiệm 
- Với , đặt 
+) 
+) 
Vậy PHT có nghiệm 
Cách 2: Ta có , ta có: 
+) TH1: , thay vào (1) ta được: 
 (thỏa mãn)
+) TH2: Tương tự
 Bài 3: 
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có HPT
*) Hướng dẫn phân tích thành nhân tử: 
Đặt 
Vậy 
+) 
+) TH2: Tương tự
 Bài 4: Vòng 2, Chuyên SPHN
Giải hệ phương trình nghiệm hữu tỉ sau: 
Lời giải
Từ HPT ta có: 
+) Xét , thay vào (2) không thỏa mãn.
+) Xét , chia cả hai vế của (*) cho và đặt 
+) TH1: , thay vào (2) ta được: 
+) TH2: , 
Vậy các nghiệm phương trình không có nghiệm.
Vậy nghiệm của HPT là 
 Bài 5: 
Giải hệ phương trình nghiệm hữu tỉ sau: 
Lời giải
Điều kiện: 
Nhận xét: 
HPT 
Lấy (1).(2) 
Thay vào (1) và (2) ta tìm được nghiệm của HPT.
Bài 6: ĐH Ngoại Ngữ, năm 2014
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
+) TH1: 
+) TH2: , đặt 
- 
- 
Cách khác: Nhân hao vế của (1) với (4) và trừ (2) ta được:
Bài 7: ĐH Ngoại Ngữ, năm 2007
Giải hệ phương trình sau 
Lời giải
- Với HPT vô nghiệm 
- Với 
Với 
Cách khác: Ta có 
Bài 8: 
Với giá trị nào của m thì HPT sau có nghiệm 
Lời giải
+) 
+) 
Rõ ràng 
Lấy (3) chia cho (4) ta được thay vào 
Để HPT có nghiệm thì phương trình (5) có nghiệm 
Phương trình (5) có nghiệm thì 
Vậy là các giá trị cần tìm. 
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
Lời giải:
a)	Ta biến đổi hệ: 
	Để ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta có: 
	 đây là phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ đó ta có lời giải như sau:
	Vì không là nghiệm của hệ nên ta đặt . Khi đó hệ thành:
	.
* 	.
* 	.
	Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: 
	b). Phương trình (2) của hệ có dạng:
	TH1: và .
	TH2: 
	Nếu ta thay vào phương trình (*) thì thu được phương trình đẳng cấp bậc 3: 
	Từ đó ta có lời giải như sau:
	Ta thấy không là nghiệm của hệ.
	Xét đặt thay vào hệ ta có: 
	Chia hai phương trình của hệ ta được: 
	.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
Lời giải:
a)	Điều kiện: .
	Phương trình (2) tương đương:
	Đây là phương trình đẳng cấp giữa và . 
+ 	Xét hệ vô nghiệm
+ 	Xét . Đặt ta thu được phương trình: 
	Suy ra 
	Thay vào phương trình (1) ta được: .
	Vậy hệ có một cặp nghiệm: .
b)	Dễ thấy phương trình (1) của hệ là phương trình đẳng cấp của và 
	Điều kiện: .
	Đặt thay vào (1) ta được: 
	Rút gọn biến ta đưa về phương trình ẩn :
	.
	Thay vào (2) ta được:
	.
	Giải ra ta được .
	Vậy nghiệm của hệ .
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:
Lời giải:
a)	Ta có thể viết lại hệ thành: 	(1)
	Ta thấy vế trái của phương trình (1) là bậc 4. Để tạo ra phương trình đẳng cấp ta sẽ thay vế phải thành .
	Như vậy ta có: 
+ 	Nếu không thỏa mãn.
+ 	Nếu ta có 
+ 	Nếu 
	Tóm lại hệ phương trình có các cặp nghiệm: 
b)	Điều kiện . Ta viết lại hệ thành: 
	Ta thấy các phương trình của hệ đều là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với 
	Dễ thấy không phải là nghiệm của hệ phương trình.
	Xét . Đặt thay vào hệ ta có: 
+ 	Nếu thì . Không thỏa mãn hệ
+ 	Nếu 
	Vậy hệ có 1 cặp nghiệm duy nhất 
Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau
Lời giải:
a)	Điều kiện: . Phương trình (2) của hệ có dạng: 
	Trường hợp không thỏa mãn điều kiện
	Trường hợp ta có hệ: . 
	Vế trái của các phương trình trong hệ là phương trình đẳng cấp bậc đối với . Dễ thấy . Ta đặt thì thu được hệ: 
+ 	Nếu thì 
+ 	Nếu thì 
	Tóm lại hệ có các nghiệm: 
b)	Điều kiện: . 
	Từ phương trình thứ nhất ta có: thay vào phương trình thứ hai ta thu được: 
	Đây là phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với và 
	Đặt ta thu được: 
	Khi ta có: thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta thu được: 
	Tóm lại hệ phương trình có một cặp nghiệm 
Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình sau
Lời giải:
a)	Điều kiện: .
	Phương trình (2) tương đương:
	.
	Đây là phương trình đẳng cấp đối với và 
	Ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi và cùng dấu hay . 
	Đặt suy ra 
	.
	TH1: thay vào (1) ta có: 
	.
	TH2: thay vào (1) ta có:
	.
	Vậy hệ có nghiệm .
b)	Điều kiện: 
	Để ý rằng phương trình thứ hai của hệ là phương trình đẳng cấp đối với . Ta thấy nếu thì từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra , cặp nghiệm này không thỏa mãn hệ.
	Xét . Ta chia phương trình thứ hai của hệ cho ta thu được: . Đặt ta thu được phương trình 
	Khi . 
	Phương trình thứ nhất của hệ trở thành: . 
	Điều kiện: . Ta thấy không thỏa mãn phương trình. 
	Ta xét . Chia bất phương trình cho ta thu được phương trình: . Đặt phương trình trở thành: 
	Xét Dễ thấy suy ra phương trình có nghiệm duy nhất 
	Tóm lại hệ phương trình có nghiệm 
	Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ dựa vào phương trình thứ hai của hệ theo cách:
	Phương trình có dạng: 
	. Vì nên ta suy ra 
Dạng 5: Hệ các đại lượng chung
A. Kiến thức
Dạng tổng quát: 
Phương pháp: Ta sẽ tạo ra một thành phần chung của các phương trình trong hệ phương trình, sau đó kết hợp thành phần chung đó và mỗi phương trình trong hệ phương trình ta sẽ thu được nghiệm của hệ phương trình. 
Ta có 
Bài 1: 
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
Nhận xét 
Nhân vế tương ứng của 3 phương trình ta được: 
+) TH1: 
+) TH2: 
Vậy nghiệm của HPT 
Bài 2: 
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
Ta có HPT 
+) TH1: 
+) TH2: 
Vậy HPT có nghiệm 
Bài 3: 
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có HPT 
Từ (1)(2)(3) 
Lấy (4)-(1) ta được: 
Lấy (4)-(2) ta được: 
Lấy (4)-(3) ta được: 
Vậy HPT có nghiệm 
Dạng 6: Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài 1: 
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
Cách 1: Ta xét các trường hợp
- TH1: 
- TH2: 
- TH3: 
- TH4: 
Cách 2: Ta có HPT 
Từ 
Từ 
Vậy HPT 
Vậy HPT có nghiệm 
Bài 2: 
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
Ta có 
+ TH1: Với , thay vào phương trình (2) ta có 
+ TH2: Với , thay vào phương trình (2) ta có 
Vậy HPT có nghiệm .
Bài 3: 
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
Ta có 
+ Nếu , thay vào HPT ta được 
+ Nếu . Nhân hai vế của phương trình (1) với ta được:
Lấy (3) + (4) ta được: 
Có 
Vậy thay vào PHT ta được 
Vậy HPT có nghiệm 
Bài 4: Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng, năm học 2012
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
- TH1: 
HPT 
- TH2: 
HPT (loại)
- TH3: 
HPT 
Từ 
 (do (1)) (loại)
- TH4: (tương tự TH3) (vô nghiệm)
Vậy HPT có nghiệm 
Bài 5: 
Giải hệ phương trình: 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
- TH1: Với 
- TH2: Với 
Ta có , dấu “=” xảy ra 
Vậy HPT có nghiệm 
Dạng 7: Hệ phương trình chứa ba ẩn
Bài 1: Chuyên Khánh Hòa, năm học 2011
Với là các số dương, giải HPT: 
Lời giải
Ta có 
Bài 2: PTNK, HCM, năm học 2013
Giải hệ phương trình 
Lời giải
Lấy (1) + (2) + (3) ta được: 
Thử lại vào HPT đã cho, ta thấy thỏa mãn
Vậy HPT có nghiệm 
Bài 3: 
Giải hệ phương trình 
Lời giải
Nhận xét: Dạng của HPT là là dạng đối xứng, để giải dạng này có thể giả sử và chứng minh 
Từ 
Từ 
Không mất tính tổng quát, giả sử 
Từ (4)(5)(6) ta có 
Thay vào (1) ta được: 
Bài 4: 
Giải hệ phương trình 
Lời giải
Từ (1) ta có 
Từ (2) ta có 
Từ (3) ta có 
+ TH1: 
+ TH2: 
Vậy HPTcó 6 nghiệm.
Bài 5: 
Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Từ (1) , thay vào phương trình (2) ta được:
+ TH1: 
+ TH2: 
+ TH3: 
+ TH4: 
+ TH5: 
+ TH6: 
+ TH7: 
+ TH8: 
Vậy HPT có 8 nghiệm.