Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 4: Phương trình vô tỉ (Có lời giải)

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ (PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC)
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
Tỉnh, thành phố
Năm học
Tỉnh, thành phố
Năm học
HSG Đống Đa
2020-2021
HSG Sơn Dương
2020-2021
HSG Gia Lâm
2020-2021
HSG Tân Kỳ
2018-2019
HSG Long Biên
2020-2021
HSG Ba Đình vòng 2
2020-2021
HSG Nam Từ Liêm
2020-2021
HSG Vĩnh Lộc
2020-2021
HSG Ba Đình
2020-2021
HSG Anh Sơn
2020-2021
HSG Tây Hồ
2020-2021
HSG Hưng Hà
2019-2020
HSG Thanh Oai
2020-2021
HSG Thăng Bình
2020-2021
HSG Chương Mỹ
2020-2021
HSG Nghĩa Đàn Tỉnh vòng 2
2018-2019; 2020-2021
HSG Mỹ Đức
2020-2021
HSG Tân Yên
2020-2021
HSG Ứng Hòa
2020-2021
HSG Tiên Lữ
2020-2021
HSG Cầy Giấy
2020-2021
HSG Yên Thành 
2020-2021
HSG Thanh Oai vòng 2
2020-2021
HSG Yên Định
2020-2021
HSG Quỳnh Phụ
2020-2021
HSG Sin Hồ
2020-2021
HSG Nam Sách
2020-2021
HSG Tân kì
2020-2021
HSG Nga Sơn
2020-2021


HSG Tỉnh Quảng Nam
2020-2021


HSG Tỉnh Nghệ An
2020-2021


HSG Tỉnh Hà Nam
2020-2021


HSG Tỉnh Bắc Ninh
2019-2020


HSG Tỉnh Hưng Yên
2020-2021


HSG Tỉnh Nam Định
2020-2021


HSG Tỉnh Đồng Tháp
2020-2021


HSG Tỉnh Đà Nẵng
2020-2021


HSG Tỉnh Bình Phước
2020-2021


HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu
2020-2021


HSG Tỉnh Gia Lai
2020-2021


HSG Tỉnh Bắc Giang
2020-2021



















I. Phương pháp nâng lên lũy thừa giải phương trình vô tỉ
Dạng 1: 
Bài 1: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài 2: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
(phương trình vô nghiệm)
Bài 3: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
(phương trình vô nghiệm)
Bài 4: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
(phương trình vô nghiệm)
Bài 5: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Bài 6: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
*) Nhận xét: Không nên đặt điều kiện (điều kiện này phức tạp khó giải quyết).
Dạng 2: 
Bài 1: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 2: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Dạng 3: 
Bài 1: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 2: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 3: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 4: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 5: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 6: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 7: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 8: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 9: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 10: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có phương trình 
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 11: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện: 
Nhân liên hợp với ta có:
 (thỏa mãn).
Bài 11: 
Giải các phương trình sau
a) 	b) 
Lời giải
a. Phương trình tương đương với:
Kết luận là nghiệm của phương trình.
b. Điều kiện: . Bình phương 2 vế ta được:
.
Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có là nghiệm của phương trình.
Bài 12: 
Giải các phương trình sau
a) 	b) 
Lời giải
a. Điều kiện thỏa mãn với mọi x. Ta viết phương trình lại thành
 và bình phương 2 vế rồi ta có
Kết luận .
b. Điều kiện: . Bình phương 2 vế phương trình ta thu được:
. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Dạng 4: 
Bài 1: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 2: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 3: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Dạng 5: 
Cách giải:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định 
Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng 
Bước 3: Giải phương trình và kết luận.
Bài 1: HSG Tân kì, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 2: HSG Tam Dương, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
Đối chiếu với điều kiện xác định ta được nghiệm của phương trình là .
Bài 3: HSG Mỹ Đức, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
Vậy phương trình có nghiệm .
Bài 4: HSG Sơn Dương, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm.
Bài 5: HSG Tỉnh Quảng Nam, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
Do vô nghiệm nên phương trình (*) tương đương với phương trình
+ (thỏa mãn điều kiện)
+ 
 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm 
Bài 6: HSG Tỉnh Nghệ An, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình đã cho tương đương với 
, do 
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Bài 7: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 8: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 9: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 10: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 11: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
*) Cách khác: 
Bài 12: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
*) Sai lầm: 
Vì chưa xác định được dấu của .
Bài 13: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 14: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
(do hay )
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 15: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
Bài 16: 
Giải phương trình sau 
Lời giải
Điều kiện: 
Bình phương hai vế của phương trình ta được: 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Bài 17: 
Giải các phương trình sau
a) 
b) 
Lời giải
a) Điều kiện: 
Ta có 
Với bình phương hai vế của phương trình (*) ta được:
 (không thỏa mãn)
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) 
Điều kiện 
Bình phương hai vế ta được: 
 vì 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Dạng 6: 
Cách giải:
Bước 1: Lũy thừa bậc ba hai vế của phương trình ta được 
Bước 2: Biến đổi phương trình ta được 
Bước 3: Tiếp tục lũy thừa bậc ba hai vế ta được 
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Điều kiện 
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
b) Điều kiện 
Phương trình 
Ta có (*) vô nghiệm
Thay vào thấy thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có tập nghiệm là 
c) Điều kiện 
Phương trình 
Vậy phương trình có tập nghiệm 
d) Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 2: 
Giải phương trình 	
Lời giải
Ta có 
Phương trình 
*) Nhận xét: Với phương trình , trong đó 
Thì ta được về dạng 
Bài 3: 
Giải phương trình 	
Lời giải
Ta có 
 (thỏa mãn điều kiện).
Dạng 7: Phương trình xuất hiện nhân tử chung dạng 
Cách giải: Ta có 
Bài 1: 
Giải phương trình 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có phương trình 
+) TH1: (thỏa mãn)
+) TH2: 
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 2: 
Giải phương trình 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có phương trình 
Ta có 
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 3: 
Giải phương trình 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có phương trình 
+) Với ta thấy thỏa mãn
+) Với , ta có phương trình 
Vì phương trình vô nghiệm
+) Với , ta có phương trình 
Vậy phương trình có nghiệm .
Bài 4: 
Giải các phương trình sau:
a) 	
b) 
Lời giải
a) Điều kiện: 
Ta có 
Vậy phương trình có nghiệm 
b) Ta có 
Điều kiện: 
Ta thấy là một nghiệm của phương trình 
+) Nếu phương trình (*) trở thành 
 (thỏa mãn).
+) Nếu phương trình trở thành 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Bài 5: 
Giải các phương trình sau:
a) 	
b) 
Lời giải
a) Điều kiện: 
Phương trình biến đổi về dạng 
Giải (*) ta được (loại)
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
b) 
Điều kiện: 
Ta có: 
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình
+) Nếu phương trình (*) trở thành 
 (vô nghiệm) vì 
+) Nếu phương trình (*) trở thành: 
 (vô nghiệm) vì 
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 6: 
Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
Lời giải
a) Điều kiện: 
Phương trình biến đổi về dạng: 
b) Điều kiện: 
Phương trình biến đổi về
dạng 
Bài 7: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
 (thỏa mãn).
Bài 8: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Ta có 
Tập xác định 
+ Với là một nghiệm của phương trình (1)
Vậy là một nghiệm của (1)
+ Với 
 (thỏa mãn)
+ VỚi (không thỏa mãn)
Vậy phương trình có hai nghiệm là .
Bài 9: Hà Nội, năm học 2011
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Ta có 
Vậy phương trình có hai ngiệm 
Dạng 8: Phương pháp biến đổi xuất hiện bình phương
Cách giải: Đối với dạng toán này, ta có 2 dạng cơ bản
Dạng 1: 
Dạng 2: Biến đổi về các tổng không âm
+) 
+) 
Bài 1: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Nhân cả hai vế với , ta được: 
Đặt 
Bài 2: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có phương trình 
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 3: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có phương trình 
 (thỏa mãn)
Bài 4: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có phương trình 
 (vô lí)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 5: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 6: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có 
 (thỏa mãn)
Bài 7: HSG Gia Lâm, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có 
 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Bài 8: HSG Tây Hồ, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Phương trình 
+) TH1: 
+) TH2: 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Bài 9: HSG Ứng Hòa, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Có 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 10: HSG Anh Sơn, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
Vì 
Do đó 
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 11: HSG Tân Kỳ, năm học 2018 - 2019
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
 (thỏa mãn)
Bài 12: HSG Tân Uyên, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 13: HSG Quỳnh Phụ, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có tập nghiệm 
Bài 14: HSG Nga Sơn, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình đã cho tương đương 
 (*)
+ Nếu thì phương trình 
 (thỏa mãn điều kiện)
+ Nếu phương trình (*) 
 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là .
Bài 15: HSG Sin Hồ, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
Vì với 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm .
Dạng 9: Phân tích thành dạng 
Cách giải: Phương trình dạng 
Đặc biệt , ta có dạng 
Bài 1: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
+) thay vào thấy thỏa mãn.
+) 
Vậy hoặc 
Bài 2: Chuyên Thái Bình, năm học 2013 - 2014
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Ta có phương trình 
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 3: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Bài 4: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Bài 5: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
Phương trình (*) vô nghiệm. Vì với thì 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài 6: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 7: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có 
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 8: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có 
 (thỏa mãn)
Bài 9: 
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện: 
Ta có 
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 10: HSG Nam Từ Liêm, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Vì 
Giải phương trình 
Bình phương hai vế ta được: 
 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Bài 11: HSG Ba Đình, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
+ TH1: 
Đặt 
Phương trình đã cho có dạng 
Với 
+ TH2: (thỏa mãn)
Vậy là nghiệm của phương trình.
Bài 12: HSG Ba Đình, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình đã cho tương đương với 
Với thì 
Từ đó suy ra là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 13: HSG Thiệu Hóa, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện xác định 
Phương trình 
 (thoả mãn).
Bài 14: HSG Vĩnh Lộc, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	
Lời giải
Điều kiện xác định 
Phương trình 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm .
Bài 15: HSG Tỉnh, Nghĩa Đàn, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình sau 	 (*)
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình 
Nhận thấy 
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 16: HSG Tỉnh Bắc Ninh, năm học 2019 - 2020
Giải phương trình sau 	 (*)
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
Mặt khác trong điều kiện thì 
Do đó (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm .
Bài 17: HSG Tỉnh Đà Nẵng, năm học 2020 - 2021
Tìm , biết 
Lời giải
Điều kiện 
Phương trình (do với mọi )
Xét phương trình 
Ta có (2)
, do đó (2) không xảy ra
Vậy giá trị của cần tìm là .
Bài 17: HSG Tỉnh Đà Nẵng, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện 
Suy ra phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài 18: HSG Tỉnh Gia Lai, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 19: HSG Tỉnh Kon Tum, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình 
Lời giải
Điều kiện 
 vì 
Bài 20: HSG Tỉnh Bắc Giang, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình 
Lời giải
Phương trình 
+ 
+ 
Vậy tập nghiệm của phương trinh là .