Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 6, Dạng 3: Phân tích thành các tổng không âm (Có lời giải)

Dạng 3: Phân tích thành các tổng không âm
- Cơ sở của phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn viết được dưới dạng tổng các bình phương
- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng bình phương của các biểu thức chứa ẩn, vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế là bằng nhau)
Chẳng hạn: , giải các phương trình tương ứng và kết luận nghiệm của phương trình.
Bài 1:
Giải phương trình nghiệm nguyên 
Lời giải
Ta có 
 (phương trình vô nghiệm)
Bài 2:
Giải phương trình nghiệm nguyên 
Lời giải
Ta có 
 (có 4 trường hợp)
+ TH1: (thỏa mãn)
Các trường hợp còn lại tương tự.
Bài 3:
Giải phương trình nghiệm nguyên 
Lời giải
Phân tích: không ổn
Dùng 
Ta có phương trình 
Ta xét 6 trường hợp:
+ TH1: (thỏa mãn)
Các trường hợp còn lại làm tương tự.
Bài 4:
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng số đó bằng tổng bình phương của số tạo bởi hai chữ số đầu và hai chữ số cuối. Biết rằng hai chữ số cuối giống nhau.
Lời giải
Gọi số có bốn chữ số là ( là các chữ số)
Từ giả thiết 
Vì 
+ (loại)
+ (loại)
Bài 5:
Giải phương trình nghiệm nguyên không âm của 
Lời giải
Phân tích: 
Phương trình 
Vì 
Vì 
+ Với 
Thay vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn
+ Với 
Nếu (vô nghiệm)
Nếu (không thỏa mãn)
+ (thỏa mãn)
Vậy .
Bài 6:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình (1)
Lời giải
Ta có 
Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương . Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:
 hoặc 
Giả các hệ trên suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là 
Bài 7:
Giải phương trình nghiệm nguyên
a) 	b) 
Lời giải
a) Ta đưa được về dạng 
b) Đưa được về dạng 
Bài 8:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
Lời giải
Ta có 
Bài 9:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
Lời giải
Phương trình 
Bài 10:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
Lời giải
Nhân 2 vào cả hai vế của phương trình ta được:
Bài 11:
Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình 
Lời giải
Ta có 
Xét trường hợp hoặc không thỏa mãn, 
Với thì ta có 2 tổng không âm.
Bài 12: Chuyên Sư phạm HN năm học 2007 - 2008
Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn 
Lời giải
Cách 1: Ta có 
Cách 2: Nhận xét được 
Cách 3: 
Bài 13: 
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
Lời giải
Phương trình 
 (*)
Từ phương trình (*) ta suy ra (**)
Do là các số nguyên dương nên (**) ta suy ra 
Vì nếu và do nên , mẫu thuẫn với (**)
Thay vào (*) ta có 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là với .
Bài 14:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: .
Bài 15: HSG Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2016 - 2017
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Để ý rằng có dạng lẻ nên ta có các trường hợp và kết luận được các nghiệm nguyên thỏa mãn bài toán là: 
Bài 16: Chuyên Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2017 - 2018
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Ta tiến hành xét từng trường hợp rồi kết luận. Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: 
Bài 17: Chuyên Tỉnh Quảng Nam, năm học 2016 - 2017
Tìm cặp số tự nhiên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Do đó và là hai số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 6 có tổng bình phương là 34. Có 3 số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 6 là: 1, 3, 5
Ta có: , do đó: hoặc 
Suy ra hoặc 
Bài 18: HSG Nam Định, năm học 2015 - 2016
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Từ đó tìm được các số cần tìm là: 
Bài 19: Chuyên Long An, năm học 2017 - 2018
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Chú ý rằng có dạng lẻ nên ta có các trường hợp và kết luận nghiệm của phương trình là: 
Bài 20: Chuyên Hải Dương, năm học 2017 - 2018
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Bài 21: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Giải ra và kết luận được nghiệm của phương trình là: 
Bài 22: HSG Bến Tre, năm học 2016 - 2017
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Để ý rằng có dạng số lẻ
Giải ra và kết luận nghiệm của phương trình là: 
Bài 23: HSG Bạc Liêu, năm học 2016 - 2017
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Do đều chia hết cho 8 và là số chính phương và chia hết cho 8 
Từ đó tìm được nghiệm của phương trình: 
Bài 24: Chuyên Thái Bình, năm học 2016 - 2017
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có: 
 là số chính phương nhỏ hơn hoặc bằng 38 và chẵn từ đó ta có các trường hợp và tìm được nghiệm của phương trình là: 
Cách 2: Ta có: 
Vì 
Mà là số chính phương với nguyên nên phải là số chính phương
Từ 
- Với (loại)
- Với (thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Bài 25: Chuyên Cà Mau, năm học 2015 - 2016
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
+) Lập luận để 
Từ 
hay vì nguyên dương
- Nếu (do *)
Khi đó (vì nguyên dương) thì (1) có dạng: 
 (vì nguyên dương)
Suy ra (vì nguyên dương)
Vậy 
Bài 26: Chuyên Cà Mau, năm học 2016 - 2017
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Suy ra và , vì nguyên nên hoặc 
a) 
Với không có số nguyên thỏa mãn
Với 
b) không có số nguyên thỏa mãn
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên: 
Bài 27: HSG Tỉnh Cà Mau, năm học 2016 - 2017
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Giải sử có nguyên thỏa mãn, 
Do 
- TH1: (vô nghiệm trên )
- TH2: (vô nghiệm trên )
Vậy là các giá trị cần tìm.
Bài 28: HSG Hoài Nhơn, năm học 2016 - 2017
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Hướng dẫn giải
Ta có 
Bài 29: HSG Việt Yên, năm học 2018 - 2019
Tìm số nguyên biết 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
 (1)
Vì ; 
Nên (1) 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Bài 30: HSG Lục Nam, năm học 2018 - 2019
Tìm tất cả các số nguyên thoả mãn: .
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Phương trình 
Vậy .
Bài 31: HSG Quế Võ, năm học 2020 - 2021
Tìm hai số thỏa mãn: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Do ; 
Từ và suy ra và 
Bài 32: HSG Thanh Oai, năm học 2020 - 2021
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải
Vì Mà , nên ta có các trường hợp:




































Vậy các cặp số nguyên thoả mãn là: 
Dạng 4: Phương pháp xét số dư
Phương pháp:
+ Nhắc lại định nghĩa đồng dư: Cho là các số tự nhiên, khác thì 
+ Tính chất: 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Nội dung: Cho phương trình 
Xét số dư của và cho cùng một số
+) Nếu hai số dư khác nhau thì phương trình vô nghiệm
+) Nếu hai số dư bằng nhau thì làm tiếp
*) Nhận xét: Dạng toán này đa số dùng chứng minh phương trình vô nghiệm bằng cách xét số dư vế
*) Nhận xét: 
Số chính phương khi chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Số chính phương khi chia cho 4 dư 0 hoặc 1
Số chính phương khi chia cho 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Số chính phương khi chia cho 8 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Số chính phương khi chia cho 9 dư 0 hoặc 1 hoặc 4 hoặc 7
*) Nhận xét: Số lập phương khi chia cho 9 dư 0, 1 hoặc -1
Bài 1: 
Giả phương trình nghiệm nguyên 
Lời giải
Phân tích: Xét mod3
Ta có 
Nếu 
Vậy khi xét mâu thuẫn nên không sử dụng được
+ Xét 
Ta có 
 phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
Nhận xét: Một số chính phương chia 8 chỉ có số dư là 0, 1, 4
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 2: 
Giải phương trình nghiệm nguyên 
Lời giải
Nhận xét: Ta có 
Mà 
Mà 3 là số nguyên tố nên 
Đặt , thay vào ta có 
Tương tự ta có hay 
Đặt , thay vào ta được: 
Ta có hay 
Mà 
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 3: Chuyên KHTN 2011 vòng 1
Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên thỏa mãn đẳng thức 
Lời giải
Phân tích: Xét 
Ta có: 
Ta có 
Như vậy vẫn còn số 2 nên không xet được 
Lời giải: Xét có số dư 0, 1, 4 chia cho 8 có số dư là 0, 1
Từ đó (1)
Mà (2)
Từ (1)(2) suy ra phương trình vô nghiệm.
Bài 4: 
Giải phương trình với nghiệm tự nhiên 
Lời giải
Nhận xét: Nếu 
+ TH1: Nếu 


















 chia 9 dư 0 hoặc 
 vô lý
+ TH2: Nếu , mà 
Với (thảo mãn)
Với (không thỏa mãn)
Vậy .
Bài 5: 
Giải phương trình với nghiệm tự nhiên 
Lời giải
Nhận xét: Vì vào trò của như nhau nên ta giả sử 
Chi cả 2 vế của phương trình cho ta được: (1)
+ TH1: Nếu 
 vô lý
Vậy 
Bài 6: 
Phương trình có nghiệm nguyên không, nếu
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Với , ta có phương trình 
Nhận xét: Một số chính phương chia 8 có số dư là 0, 1, 4
 (2)
Từ (1)(2) suy ra phương trình vô nghiệm.
c) Với 
Ta chọn sao cho 
Chọn 
Chọn 
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm .
Bài 7: 
Giải phương trình với nghiệm nguyên 
Lời giải
Vì lẻ 
Từ chẵn chẵn
Vì chẵn và chẵn nên từ (2) suy ra lẻ
Nếu chẵn (vô lý)
, thay vào ta có vì 
Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
Lời giải
Ta có: 
Có: và 
+) Nếu 
Vậy phương trình có nghiệm: 
Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau: 
a) 	b) 
Lời giải
a) 
Nhận xét: chia 4 dư 0 hoặc 1 
Mặt khác: 
b) 
Nhận xét: 
Chia cho 5 có cùng số dư nên số dư phải bằng 0 
Bài 3:
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau: 	
Lời giải
Ta có: và chia 4 dư 1
Phương trình 
Bài 4:
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 	
b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 	
c) Giải phương trình nghiệm nguyên: 	
Lời giải
a) Ta có: 
Tương tự: 
Đặt 
Từ đó ta tìm được nghiệm: 
b) Ta có: 
Từ 
Đặt 
Đặt 
Từ đó ta tìm được: 
c) Từ 
+) loại
+) 
+) 
Vậy 
Bài 5:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
Lời giải
Xét số dư của cho 16
+) chẵn 
+) lẻ chia 16 dư 1
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 6:
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau
a) 	b) 
Lời giải
a) +) Nếu vô lý
+) Nếu 
Ta có: các trường hợp
+) 
b. Do có vai trò như nhau, giả sử 
Có: 
+) (loại)
+) 
- lẻ 
-
Bài 7:
Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho: là số chính phương
Lời giải
Theo giả thiết: 
+) Nếu thì vô lý
+) Nếu thì 
Ta thấy các trường hợp
+) TH1: (loại)
+) TH2: 
+) TH3: 
Vậy 
b) là số chính phương (Xét modul 4) 
Bài 8:
Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: 
Lời giải
Vì , nên: ( có thể chẵn )
Mặt khác: 
Từ (1) và (2) phương trình vô nghiệm.
Bài 9:
Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Lời giải
a) Nhận xét: 
Thật vậy, nếu 
Nếu 
Áp dụng: 
Có: 
Từ (1) và (2) suy ra phương trình vô nghiệm
b) Ta có: 
phương trình vô nghiệm
c) Ta có: , a lẻ
Thật vậy: 
vì: ( và là hai số chẵn liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 4 và 1 số chia hết cho 2 nên tích của chúng chia hết cho 8)
Áp dụng: 
Ta có: phương trình vô nghiệm
d) Có phương trình vô nghiệm
e) Ta có: 
Lại có: phương trình vô nghiệm
f) Ta có: 
mà: lẻ
Đặt 
 phương trình vô nghiệm.
Bài 10: HSG Tỉnh Tuyên Quang, năm học 2015 - 2016
Xác định tất cả các cặp nguyên dương thỏa mãn phương trình sau: 
Lời giải
Từ 
Nếu không chia hết cho 3 thì khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2, 4 hoặc 7, trong khi đó khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0, 1 hoặc 6 nên không thể có đồng dư thức . Vậy với là số nguyên dương
Thay vào phương trình đã cho ta được: 
Từ là ước của 3367.
Hơn nữa nên 
Xét , thay vào (1) suy ra (vô nghiệm)
Xét , thay vào (1) suy ra (vô nghiệm)
Xét , thay vào (1) suy ra (vô nghiệm)
Từ đó ta có và . Vậy 
Bài 11: Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa vòng 2, năm học 2017 - 2018
Tìm tất cả các cặp nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: và nên 
Đặt khi đó phương trình trở thành: 
Vì hay 
Đặt thì phương trình đã cho trở thành 
Suy luận tương tự ta cũng đặt và , ta được: 
Đặt và , ta được: 
- Nếu thì phương trình đã cho vô nghiệm
- Nếu thì và 
Vậy 
Bài 12: Olympic Mỹ Đức, năm học 2018 - 2019
Tìm các cặp số tự nhiên thoả mãn 
Lời giải
Ta có: (*)
Vì 305 là số lẻ nên và đều là số lẻ.
Lại có 
Vì 
Nên để thì (thoả mãn) 
Khi đó, phương trình (*) trở thành: (1)
Ư(305) 
Mà và chia 15 dư 1
 (thoả mãn)
Với , thay vào (1) suy ra (vô lí)
Với , thay vào (1) ta được (đúng) thoả mãn
Vậy .
Bài 13: 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Lời giải
Ta có: 
Bài này không xét mod 4 được, cũng không xét mod 5 được: Vì hai vế có cùng số dư
Bài 14: 
Phương trình có nghiệm nguyên không nếu 
Lời giải
Ta có: 
mà: 
Bài 15: 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Lời giải
Ta có: 
 (). 
Từ (1) 
Có: 
Bài 16: 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Lời giải
Ta có: 
Nhận xét: 
Bài 17: 
Giải các phương trình nghiệm nguyên
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a. 
+) 
Nếu 
b. Giả sử , chia cả hai vế cho 
+) Nếu 
+) Nếu 
c. Nếu 
+) Nếu 
- x: chẵn 
- x: lẻ 
Vậy 
d. Nếu đúng với mọi 
Vậy x = 1, y = n ( n là số số tự nhiên bất kỳ )
+) Nếu 
+) Nếu