Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 6: Phương trình nghiệm nguyên (Có lời giải)

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa phép chia hết
Với sao cho 
+) Nếu 
+) Nếu 
2. Một số tính chất: 
+) Nếu 	 
+) Nếu 
+) Nếu 	 
+) Nếu 
+) Nếu 	 
+) Nếu 
3. Một số định lý thường dùng
+) Nếu 	 
+) Nếu 
+) 
4. Một số hệ quả áp dụng
+) 	
+) và n chẵn 
+) và n lẻ 
B. Các dạng toán
Dạng 1: Phương pháp tách lấy phần nguyên (biểu thị 1 ẩn theo ẩn còn lại)
*) Phương pháp giải: Ta tách các biểu thức phân thức thành phần nguyên và phần phân, sau đó đánh giá phần phân để tìm ra các nghiệm của phương trình
Ta có thì ( là ước của )
Cách giải: Ta biến đổi 
Bài 1: 
Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 	
Lời giải
Phương trình 
Vì 
Mà là ước của 
Vì 
Thay vào phương trình và kết luận.
Bài 2: 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 	
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Vì 
.
Bài 3: Chuyên vòng 1, năm học 2014
a) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 	
b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 	
Lời giải
a) 
Vì thuộc ước của .
Mà 
Thay vào phương trình và kết luận nghiệm.
b) Đặt 
phương trình (phương trình câu )
+ Với 
Bài 4: 
Giải phương trình nghiệm nguyên sau 
Hướng dẫn giải
Ta có 
Vậy Ư
Bài 5: 
Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho 
Hướng dẫn giải
Ta có 
Vì 
Mà 
Xét 3 trường hợp và kết luận được nghiệm 
Bài 6: 
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 
Hướng dẫn giải
Biểu thị theo ta có:
Dễ thấy (vì nguyên) do d dó: 
Để thì phải có 
Ta có 
Bài 7: 
Tìm tất cả các cặp số nghiệm nguyên thỏa mãn 
Hướng dẫn giải
Ta có 
Vì nguyên nên là ước của 
Vậy 
Bài 8: Bình Định, năm học 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình nên 
Khi đó ta có: 
Do , mà 
Mà 
Từ đó ta có các cặp nghiệm cần tìm là: 
Bài 9: Chuyên Bình Định vòng 1, năm học 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Nhận xét: không phải là nghiệm của 
Chia cả hai vế của cho ta có: 
Với nguyên, suy ra nguyên nên 
Thay vào ta có là số nguyên khi 
Kiểm tra lại thấy thỏa mãn và thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên là và .
Bài 10: Chuyên Bình Dương vòng 1, năm học 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Do là các số nguyên nên phỉa chia hết cho là ước số của 
Từ đó tìm được các giá trị nguyên của là các giá trị của là: 
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là: 
Bài 11: Chuyên Phú Yên, năm học 
Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Vì nguyên nên là ước của 3
Vậy 
Bài 12: Quảng Nam, năm học 
Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên dương 
thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Đặt . Rõ ràng 
Từ đó ta có: . Do nên nhận giá trị là 
Thực tế chỉ có thỏa mãn, khi đó 
Từ đó suy ra 
Xét tất cả các trường hợp ta có nghiệm nguyên dương của phương trình là: 
Bài 13: Bến Tre, năm học 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 
Lời giải
Ta nhận thấy ở phương trình trên có bậc cao nhất bằng 1. Nên có thể rút và tách giá trị nguyên của phương trình
Thật vậy: Ta có 
Ta có: không phải là nghiệm của phương trình, do đó: 
Phương trình có nghiệm nguyên khi hay là ước của 5
Ta xét các trường hợp và tìm được nghiệm của phương trình: 
*) Nhận xét: Với những phương trình bậc hai, có một ẩn nào đó chỉ xuất hiện bậc nhất. Ta rút ẩn đó ra từ phương trình rồi tách giá trị nguyên
Bài 14: Quảng Bình, năm học 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 
Lời giải
Ta có: 
Vì không thỏa mãn phương trình nên 
Ta thấy là số nguyên nên là ước của hay 
Từ đó ta có nghiệm nguyên của phương trình là: 
Bài 15: Tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 
Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Mà nguyên nên ta có: nguyên hay cũng nguyên
Ta lại có: 
Vì nguyên dương nên ta có và 
Xét các trường hợp ta được nghiệm của phương trình là: 
Bài 16: Chuyên Tin Phú Thọ, năm học 
Tìm tất cả các cặp nghiệm nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Mà nguyên nên (vì và nguyên tố cùng nhau và 
Vậy 
Bài 17: Chuyên Toán Hòa Bình, năm học 
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: (vì không là nghiệm)
Nên lúc này ta có 
Vì vậy nguyên khi 
Xét các trường hợp và tìm được nghiệm của phương trình 
Bài 18: Vũng Tàu, năm học 
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Để có nguyên thì 
Xét các trường hợp và tìm được nghiệm của phương trình 
Bài 19: Hà Giang, năm học 
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Do nguyên dương 
Vì , mà và 
Nếu 
Nếu 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: và 
Bài 20: Chuyên Bình Định, năm học 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Xét các trường hợp và tìm được nghiệm của phương trình là: 
Bài 21: Chuyên Toán Phú Thọ, năm học 
Tìm các số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
Để nguyên thì (thỏa mãn)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: 
Bài 22: Chuyên yên Bái, năm học 
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
 chia hết cho 
Từ . Ta có bảng sau:

-4
-2
-1
1
2
4

-5
-3
-2
0
1
3


5

-1

2
Kết Luận
Loại
Thỏa mãn
Loại
Thỏa mãn
Loại
Thỏa mãn

Với không có nghiệm 
Với và 
Với và 
Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm nguyên: 
Bài 23: Chuyên yên Bái, năm học 
Tìm các số nguyên thỏa mãn phương trình: 
Lời giải
Phương trình đã cho 
Ta thấy không thỏa mãn phương trình nên 
Để cho thì trước tiên phải có 
Thay vừa tìm được vào ta được số nguyên 
Vậy các số nguyên phải tìm là: 
Bài 24: Thanh Hóa, năm học 
Tìm các số nguyên thỏa mãn phương trình: 
Lời giải
Cách 1: Phương trình đã cho tương đương với 
Xét từng trường hợp và tìm được nghiệm của phương trình 
Cách 2: Phương trình đã cho tương đương với 
Xét từng trường hợp và tìm được nghiệm của phương trình 
Bài 25: Tuyển sinh vào ĐHQGHN
Tìm thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
+) không phải là nghiệm của phương trình
+) 
Bài 26: Chương mỹ, năm học 
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn: 
Lời giải
(Do nguyên dương nên 
Mà và là nguyên tố cùng nhau nên chia hết cho 
 hoặc (vì 
Với 
Với 
Bài 27: Cẩm Thủy, năm học 
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
+ Vì nên 
Bảng giá trị nguyên tương ứng:

-1
1
-2
2
-4
4

0
2
loại
1
-1
3
Loại
Loại

1
-7

-1
-1
7


Vậy 
Bài 28: Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình .
Lời giải
Từ (*)
Vì nên . 
Khi đó hay 
Mà nguyên dương nên . 
Thay lần lượt vào (*) thì khi tìm được thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 29: Lục Nam, năm học 
Tìm các số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
 nguyên nguyên 
 (do )

3
9
27

± 1
 (loại)
± 5
Với (loại)
Với 
Với 
Với (loại)
Vậy 
Bài 30: Nghi Lộc, năm học 
Tìm các số nguyên thoả mãn .
Lời giải
Ta có:
 (vì )
Do 
Bài 31: Thanh Chì, năm học 
Tìm nguyên dương thỏa mãn: .
Lời giải
Đặt 
 (1)
Đặt 
 (1)
 (2)
Vì 
Ta có: 
 (Loại) ; 	;	 (Loại); 	 (Loại);
Không có giá trị nào của x thỏa mãn.
Bài 32: Yên Dũng, năm học 
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Lời giải
Ta có 
Ta thấy 
hay 
 27 , mà nên 
Xét các trường hợp ta được các cặp số nguyên thỏa mãn là và .
Dạng 2: Đưa về phương trình ước số (phương trình tích)
*) Ta gọi phương trình ước số là phương trình có vế trái là một tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là một hằng số nguyên. Bằng cách tìm ước số của hằng số nguyên đó, ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình đã cho
+ Nếu ( là ước của )
*) Một số dạng cơ bản: 
Nếu thì 
Cơ sở: Thường sử dụng với các phương trình có các biểu thức chứa ẩn phân tích được thành nhân tử
- Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng một vế là tích của các đa thức chứa ẩn, vế còn lại là tích của các số nguyên (số nhân tử của hai vế bằng nhau)
 giải các phương trình tương ứng 
Bài 1: 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình 
Ta xét 6 trường hợp:
+ TH1: (thỏa mãn)
Các trường hợp còn lại tương tự.
Bài 2: Ams 2014
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Hướng dẫn giải
 (1)
Lại có 
 (*)
Ư(5) (2)
Từ (1)(2) , thay vào (*)
+ Với (thỏa mãn).
Bài 1: 
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 
Hướng dẫn giải
Ta có 
Ta gọi phương trình trên là phương trình ước số: Vế trái là tích các thừa số nguyên, vế phải là một hằng số. Ta có x và y là các số nguyên nên x – 1 và y – 1 là các số nguyên và là ước của 23
Do vai trò của x và y là như nhau, giả sử . Khi đó 
Ta có: 












Nghiệm nguyên của phương trình 
Bài 2: 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho có thể đưa về dạng (1)
Từ (1) ta suy ra là ước của 10 hay 
Từ đó ta tìm được các nghiệm của phương trình là: 
Bài 3: 
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình (1)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đưa về phương trình ước số
Ta có 
Ta có các nhận xét sau:
a) Vì có chứa y với số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng 
b) và cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn
Với các nhận xét trên ta có hai trường hợp:






Do đó:









Đáp số 
Cách 2: Viết phương trình thành bậc hai đối với là (2)
Điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm nguyên là là số chính phương 
Giả sử thì và 
Có nên và cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn
Từ các nhận xét trên ta có . Do đó 
Thay vào (2): 
Ta có bốn nghiệm 
Bài 4: 
Xác định tất cả các cặp số nguyên không âm sao cho 
Hướng dẫn giải
Ta có 
Khi đó ta thu được hai hệ sau hoặc 
Bài 5: 
Giải phương trình nghiệm nguyên sau 
Hướng dẫn giải
Bài 6: Chuyên KHTN 2012
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức 
Hướng dẫn giải
Bài 7: 
Tìm nguyên nguyên dương của phương trình sau 
Hướng dẫn giải
Bài 8: 
Tìm nguyên thỏa mãn 
Hướng dẫn giải
Bài 9: 
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Hướng dẫn giải
Bài 10: 
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 
Hướng dẫn giải
Bài 2: Chuyên vòng 1, năm 2015
Tìm để và đều là các số chính phương 
Hướng dẫn giải
Đặt 
Ta có nhận xét sau: 
+) 
+) 
Bài 3: Chuyên vòng 1, năm 2015
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
a) 
b) 
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 
Nhận xét: 
Lại có: 
 và kết luận bài toán.
b) 
+) Nếu là số lẻ 
Có 
Mà: 
Bài 4: Chuyên Hà Nội, năm học 
Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Mà 
Nếu lẻ, đặt (sai)
 lẻ (loại)
Nếu chẵn, đặt (đúng)
Do đó khi chẵn thì: 
Vì 
Vậy ta có các trường hợp:
- (loại)
- (loại)
Bài 5: Chuyên , năm học 
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn đẳng thức sau: 
Lời giải
Ta có: 
Đặt và 
Vì nguyên tố nên ta có trường hợp 
 nên chia dư (loại)
Vì , mà và 
Vậy số nguyên dương trong đó thay vào ta có: 
Vì , ta có các trường hợp
- TH1: (loại)
- TH2: (loại)
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: 
Bài 1: Chuyên Thái Nguyên, năm học 2016 - 2017
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Không mất tính tổng quát ta giả sử 
Xét các trường hợp và tìm được nghiệm nguyên của phương trình là: 
Bài 2: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2015 - 2016
Tìm các số nguyên biết rằng: 
Lời giải
Ta có: 
Do 
Vì lẻ nên 
Bài 3 (khó): HSG TPHCM, năm học 2016 - 2017
Tìm nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Xét từng trường hợp và kết luận được nghiệm của phương trình: 
Bài 4: HSG Vũng Tàu, năm học 2015 - 2016
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Xét các trường hợp và để ý rằng là số lẻ
Từ đó tìm được nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 5: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Xét các trường hợp và nhận thấy phương trình không có nghiệm nguyên
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 6: HSG Thừa Thiên Huế, năm học 2016 - 2017
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Xét các trường hợp và tìm được nghiệm nguyên của phương trình là: 
Bài 7: HSG Bình Phước, năm học 2016 - 2017
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Xét 4 trường hợp và kết luận phương trình vô nghiệm.
Bài 8: HSG Tây Ninh, năm học 2016 - 2017
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
Do nguyên nguyên
Mà 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: 
Bài 9: HSG Tỉnh Lai Châu, năm học 2016 - 2017
Tìm các số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Bài 10: HSG Lai Châu, năm học 2016 - 2017
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Với nguyên thì là số lẻ và 
Mà 
Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình: 
Bài 11: Chuyên Hưng Yên, năm học 2016 - 2017
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
Vì 
Từ 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: 
Bài 12: Chuyên Toán Phú Thọ, năm học 2016 - 2017
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
*)Nhận xét: 
+) 
+) là số chẵn và là số lẻ
+) 
Từ các nhận xét trên ta có các trường hợp sau
 hoặc 
- TH1: (vô nghiệm)
- TH1: 
Vậy có hai bộ số thỏa mãn bài toán: 
Bài 13: HSG Hải Dương, năm học 2016 - 2017
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Ta xét 4 trường hợp và tìm được nghiệm của phương trình là: 
Bài 14: 
Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 
Lời giải
Ta có: 
 trường hợp
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là: 
Bài 15: 
Tìm , thỏa mãn 
Lời giải
+) 
+) 
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Bài 16: Giải các phương trình nghiệm nguyên
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	
Lời giải
a) ta có: 

2
1
- 1
- 2

1
2
- 2
- 1

0

- 1


1

0

 
Vậy 
b) 

7
1
- 1
- 7

1
7
- 7
- 1

3


- 3

-1


7

c) 
+) 
+) 
d) Ta có: 
 trường hợp
e) 
Bài 17: 
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 	
Lời giải
Ta có: 
Do nguyên dương 
Mà: nên ta có các trường hợp sau:
+) +) 
Vậy: 
Bài 18: 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 	
Lời giải
Ta có: 
Bài 19: 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 	
Lời giải
Ta có: 
Có: và có cùng tính chẵn lẻ nên chúng cùng phải chẵn vì 12 chẵn

2
-2
6
-6

6
-6
2
-2
 
Bài 20: 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 	
Lời giải
Ta có: 
Đặt 
Bài 21: 
Tìm tất cả các số nguyên 	 sao cho
a) là số chính phương
b) là số chính phương
c) là số chính phương
Lời giải
a. Theo giả thiết: 
Vì 
+) TH1: 
+) TH2: 
b) 
c) 
Sau đó xét các trường hợp và vô nghiệm
Cách khác: 
Ta có: 
+) Nếu lẻ lẻ tích là lẻ nên loại
+) Nếu chẵn chẵn tích chia hết cho 4, mà 6 không chia hết cho 4 nên cũng loại. 
Vậy không tồn tại 
Bài 22: 
Tìm các số nguyên sao cho: là số chính phương
Lời giải
Theo giả thiết 
Ta có: các trường hợp
+) 1 và 49 
+) 7 và 7 
+) -7 và -7 
+) - 49 và – 1 
Vậy 
Bài 23: 
Giải phương trình nghiệm nguyên
a) 
b) 
Lời giải
a) Ta có: 
Lại có: 
+) 
+) 
Vậy phương trình có 4 nghiệm
b) Ta có: 
Bài 24: HSG Như Xuân, năm học 2020 - 2021
Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình 
Lời giải
Ta có: 
Vì nên 
Từ suy ra
Hoặc 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là: 
Bài 25: HSG Diễn Châu, năm học 2020 - 2021
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Lời giải
Ta có 
Vì nguyên nên ta có bảng sau












Vậy 
Bài 26: HSG Cẩm Xuyên, năm học 2020 - 2021
Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình .
Lời giải
Ta có 
Vì nên là số chính phương
Mà là tích hai số nguyên liên tiếp 
Do đó để thì 
Với 
Với 
Với 
Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình là .
Bài 27: HSG Nghi Lộc, năm học 2017 - 2018
Tìm nghiệm là các số tự nhiên của phương trình 
Lời giải
Ta có 
Vì nên 
 Để 
Khi thì hay ; .
Khi thì hay ; .
Vậy cặp nghiệm của phương trình là ; .
Bài 28: HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 
Lời giải
Giả sử tồn tại thỏa mãn đề bài.
Ta có: 
Vì nên 
Suy ra là ước của 
; Mà 
Nếu , thay vào ta được: (thỏa mãn)
Nếu thay vào ta được: (Chọn)
Vậy là các cặp giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 29: HSG Ba Vì, năm học 2018 - 2019
Tìm các giá trị nguyên dương thỏa mãn 
Lời giải
 hoặc ( vì nguyên dương nên )
 hoặc 
Vậy hoặc thì 
Bài 30: HSG Hà Đông, năm học 2020 - 2021
Tìm các cặp số nguyên thoả mãn: 
Lời giải
Ta có 
Vì nên ta xét các trường hợp sau:
TH1: 
TH2: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm .