Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hẳng đẳng thức

 CHUYÊN ĐỀ : HẲNG ĐẲNG THỨC 
A. Ôn lại các kiến thức cần nhớ 
1. ()ab 22 a 2 abba 22 2 abb 2 4()4 abab 2 ab 
2. ()ab 22 a 2 abba 22 2 abb 2 4()4 abab 2 ab 
3. ab22 ()() abab 
4. ()ab 33 a 3 ababb 2 3 2333 a b 3() abab a 33 b ()3() ab 3 abab 
5. ()ab 33 a 3 ababb 2 3 2333 ab 3() abab ab 33 ()3() ab 3 abab 
6. a33 b()( aba 2 abb 2 ) 
7. ab33 ()( abaabb 2 2 ) 
8. abnn ()( abaab n 12 n .... abb n 21 n ) 
B. Bài tập áp dụng và các dạng toán 
Bài 1: Tính A 1002222 99 98 97 ... 2 22 1 
Lời giải: 
 101.100
 A 1002222 99 98 97 ... 2 22 1 (100 99)(100 99) ... (2 1)(2 1) 100 ... 1 5050 
 2
Bài 2: So sánh A 19999.39999 và B 299992 
Lời giải: 
Ta có: 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 2999922 10000 29999 2AB 
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau 
a. A (2 1)(2264 1)...(2 1) 1 b. B (3 1)(3264 1)...(3 1) 1 
c. C ()()2() abc222 abc ab 
Lời giải: 
a. A (2 1)(22 1)...(2 64 1) 1 (2 1)(2 1)(2 2 1)...(2 64 1) 1 2 128 1 1 2 128 
 1131128 
b. B (3 1)(32 1)...(3 64 1) 1 (3 1)(3 1)(3 2 1)...(3 64 1) 1 (3 128 1) 1 
 222
 1 
 C ()()2()()2()()()2()() abc 2222 abc ab abc abcabc abc 2 abcabc 
c. 
 2(ab )2222222222 ( abcabc ) 2[( ab ) c ]-2(a+b) 4( ab ) 2( ab ) 2 c 2( ab ) 2 c
Bài 4: Chứng minh rằng 
a. (a2222 b )( x y ) ( bx ay ) 2 (ax+by) 2 
b. (abcxyz222222 )( ) (ax+by+cz) 2 ( bxaycybzazcx ) 2 ( ) 2 ( ) 2 
Lời giải: 
 ()()a2 b 2 x 2 y 2 a 22 x a 22 y b 22 x b 22 y ()()(ax)() bx 2 ay 2 2 by 2
a. VT = 
 (bx )222222 2 bx . ay ( ay ) 2 bx . ay (ax) ( by ) ( bx ay ) (ax+by) ( dpcm )
 (abxy2222 )( ) ( abzcxyz 2222222 ) ( ) [(ax+by) 2 2(ax+by).cz+(cz) 2 ]
b. VT = =(ax+by)2 (bx ay ) 222222 ( az ) ( bz ) ( cx ) ( cy ) ( cz ) (ax+by) 22 ( cz ) 2 ax . cz 2 by . cz 
 (bx ay )22 [(cy) 2 by . cz ( bz ) 222 ]+(az) ( cx ) 2 az . cx ( bx ay )222 ()()cy bz az cx
*) Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski. 
Bài 5: Cho x222 yzCMRxyzxyz. : (5 3 4 )(5 3 4 ) (3 xy 5 ) 2 
Lời giải: 
VT = (5x 3yzxxyyz )22 16 25 2 30 9 22 16 
Mà: z222 x y VT 25 x 2 30 xy 9 y 2 16( x 22 y ) 9 x 2 30 xy 25 y 2 (3 x 5 y ) 2 ( dpcm ) 
Bài 6: CMR, nếu ()()()()abcdabcd abcdabcd thì ad = bc 
Lời giải: 
 VT = [(a+d)+(b+c)][(a+d)-(b+c)]=(a+d)222222 (bc ) a d 2 adb c 2 bc 
VP =[(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d)22 (cb ) ( ad ) 222222 ( cb ) a d 2 adc b 2 bc 
VT = VP 22ad bc 22 ad bc 44 ad bc ad bc ( dpcm ) 
Bài 7: CMR, nếu 
a. a + b + c = 0 thì aacabcbcb32 2 30 
b. ()()()(y zzxxyyzxzxyyxz222222 2)( 2)( 2) thì x = y = z 
Lời giải: 
 2 
 a. Ta có : 
 33 2 2
 ab ()( abaabb )33 2 2 2 2 332 2
 a b c() a ab b a c abc b c a b a c abc b c 0 
 abc ab c
 y zx 2(y xzxbc )()
b. Đặt : yzazxbxyc ;; abc 0 và zx 2 yca 
 xy 2 zab 
Từ giả thiết ta có : 
 a222 b c()()() bc 2 ca 2 ab 2 a 222 b c b 2 2 bcc 22 c 2 aca 22 a 2 abb 2
 abc222 22202( abbcca abc 222 )( abc 222 222)02( abbcca abc 222 )( abc ) 2
 xy 
 222 
 abc0 abc yzxyz
 zx 
Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:
a. 5106xyxyxy22 4230 
b. xyzxzy222 4268150 
Lời giải: 
a. VT (3)(21)(1)1() x y222 x y dpcm 
b. VT (1)4(1)(3)11() x222 y z dpcm 
Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn 
 22 22 222
a. xy 894(3) yx b. 98828280xxyy x c. x 2512(2yz xyyzz ) 
Lời giải: 
 x 3
 22 2 2
a. Ta có: xy 8 94(3)(2)(23)0 yx xy y 3 
 x 
 2
 22 2 22 2 2 x 2
b. 9xxyy 8 8 28 x 28 0 (7 x 28 x 28) (2 xxyy 8 8 ) 0 7( x 2) 2( xy 2 ) 0 
 y 1
 x 2
 222 2 2 2 
c. xyz 2512(2 xyyzzxyyzz )()(2)(1)0 y 2 
 z 1
Bài 10: Cho xx2 10 . Tính A xxxxxx653432 43 2 1 
 3 
 Lời giải: 
 Axxxxxx 653432 43 2 1(33 xxxxxxxxx 65434322 )(2 )( 1)
 ()()()11111xx23222 xx xx
 (233 1)(3 1)...(100 3 1)
Bài 11: Tính A 
 (233 1)(3 1)....(100 3 1)
Lời giải: 
 (kk 1)32 1 ( 2)[(k+1) -(k+1)+1] k 2
Ta có: 
 kkk32 1 (k-1)(k 1) 1
Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được: 
 333 1 4 1 100 3 1 1 4 5 101 1 99.100.101 9.99.100.101 30300
 A (23 1). . ..... . 9. . .... . 9. 
 233 1 3 1 99 3 1 100 3 1 1 2 98 99(100 2 100 1) 1.2.3...10101 6.99.10101 20202
C. HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA
1. ()ab 33 a 3 ababb 2 3 2333 a b 3() abab a 33 b ()3() ab 3 abab 
 33 2 2333 33 3
2. ()ab a 3 ababb 3 ab 3() abab ab ()3() ab abab 
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a333 b c3 abc 
Lời giải: 
 A a333 b c3()3()3 abc a b 3 ab a b c 3 abc
 [(a+b)33 c ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c) 3 3( abcabc ) .( ) 3 ababc ( ) ( abc )[(a+b+c)2 3( abcab ) 3 ] 
 ()(abca222 b c abbcca )
Bài 2: Cho a + b + c = 0, CMR: abc333 3 abc 
 ()()()ab223223223 bc ca
Áp dụng tính B 
 ()()()ab 333 bc ca
Lời giải: 
Từ giả thiết c() ab abc333 ab 33 ()3()3 ab 3 abab abc 
 abbcca222222 0 3(abbcca222222 )( )( )
+) B ()()()abbcca 
 abbcca 0 3(abbcca )( )( )
 111 3
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn: ()abc 2222 a b cCMR .: 
 abc333 abc
Lời giải: 
 4 
 111 1 1 1 1113
Ta có: ()a b c2222 a b c ab bc ca 0 0 3... 
 abc a333 b c abcabc
 111 bc ca ab
Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn: 0 . Tính A 
 abc abc222
Lời giải: 
 111333 1113
 x ;; y z x y z 0 x y z 3 xyz 333
Đặt a b c abc abc 
 abc abc abc 111 3
 A abc().3 abc 
 a333 b c abc 333 abc
 3
D. HẰNG ĐẲNG THỨC: ()abc 
Ta có: 
()[(a+b)+c]()3()3()3(abc 333223222222 ab abc abcc ababacacbcbcabcabc )
 3[(a2222 b ab ) ( a c ac ) ( ac 222 bc ) ( b c abc )]=3(a+b)(b+c)(c+a)+a 333 b c
 (abc )3333 a b c 3( abbcca )( )( ) 
Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính 
A ()()()() abc3333 bca cab abc 
Lời giải: 
 xbca xy 2 c
 y cab yz 2; axyz abc
Đặt 
 zabc zx 2 c
 A( x y z )3333 x y z 3( x y )( y z )( z x ) 3.2 c .2 b .2 a 24 abc 24
Bài 2: Phân tích thành nhân tử 
a. A 8()(2)(2)(2) abc3333 abc bca cab 
b. B 27(abc )3333 (2 a 3 b 2 c ) (2 b 3 c 2 a ) (2 c 3 a 2 b ) 
Lời giải: 
a. Đặt 
2;2;2abc xbca ycab z xy a 3;3;3;2() byzb czxc axyz abc 
 Axyzxyz( )3333 3( xyyzzx )( )( ) 3( abbcca 3 )( 3 )( 3 )
b. B 27(abc )3333 (2 a 3 b 2 c ) (2 b 3 c 2 a ) (2 c 3 a 2 b ) 3(5 ab )(5 bc )(5 ca ) 
Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 1 
 5 
 Tính A abcnnn ( n là số tự nhiên lẻ ) 
Lời giải: 
 ab 0
 ()1abc3333 a b c 3()()()00 abbcca bc
 Ta có: 
 ca 0
+) TH1: ab 011 a bc abcnnn 
+) Tương tự ta có: A = 1. 
Bài 4: Giải các phương trình sau 
a. 27xx33 ( 5) 64 (4 x 1) 3 b. (221)(21)(xx23 x 32323 xx 1)( xx 3) 
 (xx23333 2 2) xx ( 1)( x 2) 232323
c. d. (33)(xx    xx   1)(221)1   xx   
 ab c
Lời giải: 
 27xx33 ( 5) 64 (4 x 1) 333 (3 x ) ( x 5) 64 [3x+(x-5)+4] 3 3(3 xxx 5)( 5 4)(4 3 x ) 0
a. 54 
 x ;1;
 43
b. (221)(21)(xx23 x 32323 xx 1)( xx 3) 
 ab 22 x2 
 bc 32 xx 2 
 221;21;x22 x ax bxx 1 c a 3333 b c ( abc )
 2
 ca x x2
 2
Đặt abc x x3 
 2
 ab 00 ab 220x 
 2
 3(abbcca )( )( ) 0 bc 0 bc 0 3 xx 2 0 x  1;1;2
 ca 00 ca 2
 xx 0
 (xx233333 22) xxx (2)(2)3( x xxxxx 22 2)(22)(2 x xx 2 )0 
c. 
 6(xxxx22 )( 3 2) 0 x  0;1;2
 x222yz
Bài 5: Cho xyz 0; xyz 0 . Tính A 
 yz xz xy
Lời giải 
 x222333yzxyz 
A 
 yz xz xy xyz
 6 
 Cách 1: Nếu x y z033 x333 y z xyz A 
Cách 2: 
 3333 333 3
 ()xyz x y z 3()()() xyyzzx x y z ()3()()()3 xyz xyyzzx A 
 0
BÀI TẬP VỀ NHÀ: 
Bài 1: [ HSG yên Phong năm 2011 ] 
 2010 2010 2010 1005 1005 1005 1005 1005 1005
Cho a, b, c thỏa mãn: abc abbcca (1) 
 20 11 2010
Tính giá trị của A = ()()()ab bc ca 
Lời giải: 
 (1)2 abcabbccaabbcca2010 2 2010 2 2010 2 1005 1005 2 1005 1005 2 1005 1005 ( 1005 1005 )( 2 1005 1005 )( 2 1005 1005 )0
 ab1005 1005 0
 1005 1005 
 bc00 abcA
 1005 1005
 ca 0
Bài 2: [ HSG - 2008 ] 
Cho a, b, c, d thuộc Z thỏa mãn: a + b = c + d . Chứng minh rằng: 
a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương 
Lời giải: 
Từ giả thiết: a + b = c + d a = c + d – b thay vào biểu thức ta được: 
 abcd222 2 ( cdbbcd ) 222 2 [(c+d)-b] 222 bcd 2 ( cd ) 2 2( cdbbbcd ). 222 2
 ()22c d22222222 bc bd b b c d ()()()() c d b c b d dpcm
Bài 3: [ HSG – YP năm 2015 ] 
Cho a, b, c thỏa mãn: abc222 2; abcCMRMa 2. : ( 2 1)( b 2 1)( c 2 1) viết được dưới dạng 
bình phương của một biểu thức 
Lời giải: Cách 1: 
 M ( a2 1)( b 2 1)( c 2 1) abc 222 ab 22 ac 22 bc 22 a 2 b 2 c 2 1(*) 
Có: a222 b c2()() abc a 2222 b c abc 2 
 7 
 Có: 
 ()a b c2222 a b c 2()4 ab bc ca ab bc ca 1 a 222222 b a c b c 2( acb 22 a bc c 2 ab )1 
 a22 b a 22 c b 22 c12( acb 2 a 2 bc abc 2 ) M ( abc ) 2 2 abc ( a b c )1 a 2 b 2 c 2 1 
 M ( abc )222 2 abc ( a b c ) ( a b c ) [abc-(a+b+c)] ( dpcm )
Cách 2: Ta có: 
 22 2 2 2
 a 1 a ab bc ca ( a b )( a c ); b 1 ( a b )( b c ); c 1 ( a c )( c b ) M [(a+b)(b+c)(c+a)] 
 232323
Bài 4: Giải các phương trình sau: (33)(xx    xx   1)(221)1   xx   
 ab c
Lời giải: 
 ab 222 x2 x 
 bc x2 32 x 
 3(abbcca )( )( ) 0 x 2; 2; 1 
 2 
 ca x x2
 abc 1
Bài 5: Rút gọn Axyz ()()()()333 xyz xyz xyz 3 
Lời giải 
 xyza 
Đặt x yzb abc xyz A 24 xyz 
 xyzc 
E. HẰNG ĐẲNG THỨC: a333 b c3( abc a b c )( a 222 b c ab bc ca ) 
+) Nhận xét: 
 333 abc 0
- Nếu abc 30 abc 
 abc 
 abc 0 333
- Nếu abc30 abc 
 abc 
Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: abc333 3 abc. Tính giá trị của biểu thức 
 abc
 M (1 )(1 )(1 ) 
 bca
Lời giải 
 333 abc 0
Vì: abc 30 abc 
 abc 
 8 
 abbcca c a b
+) Nếu abc 0....1 M 
 bca bca
+) Nếu abc M (1 1)(1 1)(1 1) 8 
 x33 yxy68 
Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 
 21xy 
Lời giải 
 33 333 xy 20
Ta có: xy 68 xy  xy 23...20 xy  
 xy 2
 xy 20 x 3
+) Nếu xy 20 
 21xy y 5
+) Nếu xy 2 ( khôn thỏa mãn ) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5) 
Bài 3: Giải phương trình sau: 27(xxx 3)333 8( 2) ( 5) 
Lời giải 
27(3)8(2)(5)(39)(42)(5)0(1)xxxx  333 3 xx 33 
Ta có: (3xxx 9) (4 2 ) (5 ) 0(2) 
 x 3
Từ (1)(2) 3(3xxxxS 9)(4 2 )(5 ) 0 2  2;3;5 
 x 5
Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: abc 0 . Tính giá trị của biểu thức 
 bc ca ab a b c
P ()() 
 abcbccaab 
Lời giải 
Ta đặt 
 bc ca ab a a ca ab a c2223 cabab22 a a
MM .1( )1. 1 1 
 abc bcbcbc bcbc bcbc
 bbcc2233
Tương tự ta có: MM.1;.1 
 ca abc ab abc
 2(abc333 ) 2. abc
 PdoabcP33(:0)99 
 abc abc
 9 
 abc xyz222
Bài 5*: Giả sử bộ ba số ;; là nghiệm của phương trình 3 . Chứng minh 
 bcacab yz zx xy
 abc
rằng bộ ba số ;; cũng là nghiệm của phương trình đó 
 ()()()bc 222 ca ab 
Lời giải 
 222
 xyz 333 x yz
Ta có:  330x y z xyz 
 yz xz xy xyz 0
Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và khác 0 
 abc
+) Nếu:  k0();();() a kbcbkcackab abc 0 ab c 
 bc ca ab 
 ab a b
Từ:  ()ab 222 a b  0 ab 0 abc 0 loai 
 bc ca bab aba
 abc abcbbacaca()() bbacac22 
+) Nếu: 0(1) 
 bc ca ab bc ac ba()()()()()() caab bc 2 abbcca 
 bccbabacaacbcb22 22 
Tương tự ta có: (2); (3) 
 ()()()()()()()()ca 22 abbcca ab abbcca
 abc
Từ (1)(2)(3) 0 
 ()()()bc 222 ca ab 
 ab c mnp22 2
Đặt mn ;; p mnpmnpmnp 033 3 3 3 
 ()bc 22 () ca () ab 2 npmpmn
 abc
Vậy bộ ba số ;; cũng là nghiệm của phương trình đã cho. 
 ()()()bc 222 ca ab 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN BUỔI 2 
 CHUYÊN ĐỀ HẰNG ĐẲNG THỨC 
Bài 1: [ HSG yên Phong năm 2011 ] 
 2010 2010 2010 1005 1005 1005 1005 1005 1005
Cho a, b, c thỏa mãn: abc abbcca (1) 
 20 11 2010
Tính giá trị của A = ()()()ab bc ca 
Bài 2: [ HSG - 2008 ] 
Cho a, b, c, d thuộc Z thỏa mãn: a + b = c + d . Chứng minh rằng: 
 10