Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Tứ giác nội tiếp

CHUYÊN ĐỀ: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
I) Các kiến thức cần nhớ
1) Khái niệm:
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp)
2) Định lí
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a.
II) Bài tập
Bài tập 1
 Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn tại S. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b) 
c) CA là phân giác của 
Bài tập 2
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của .
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp
Bài tập 3
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh : 
CEFD là tứ giác nội tiếp . 
Tia FA là tia phân giác của góc BFM . 
 BE . DN = EN . BD 
Bài tập 4
Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh : 
	a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD . 
	b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn . 
	c) AC song song với FG . 
	d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy . 
Bài tập 5
 Cho tam giác vuông ABC (; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đương tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường tròn.
b. CM là phân giác của góc .
c. .
Bài tập 6
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đường tròn.
b/ Chứng minh LA là phân giác của 
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA2 = AI.AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ.
e/ Chứng minh ∆KLN cân.
Bài tập 7
Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A. Trờn d lấy điểm H khụng trựng với điểm A và AH <R. Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)
1. Chứng minh gúc bằng gúc và ∆ABH đồng dạng với ∆EAH.
2. Lấy điểm C trờn d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giỏc nội tiếp.
3. Xỏc định vị trớ điểm H để AB= R.
Bài tập 8
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
Các tứ giác AEHF, BFHD nội tiếp .
Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF
Bài tập 9
 Cho DABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: 
Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N và HE// CD.
M là tâm đường tròn ngoại tiếp DHEF.
Bài tập 10
 Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE.
CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn này.
Chứng minh: HA là tia phân giác .
Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2 = AI.AH
BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.
Bài tập 11
Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó.
Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn
Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? 
c) Chứmg minh rằng: 
Bài tập 12
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
Chứng minh AC. AE không đổi.
Chứng minh .
Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài tập 13
Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P. 
1) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn .
2) Chứng minh AI.BK = AC.CB
3) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài tập 14
 Cho DABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F.
 a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh: BEFC là tứ giác nội tiếp .
c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF	
d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.
Bài tập 15
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AHE.
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh ED = BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, AH = 6 cm.
Bài tập 16
Từ điểm M ngoài đường trũn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB. Trờn cung nhỏ AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD AB; CE MA; CF MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc AECD; BFCD nội tiếp được.
b) CD2 = CE.CF
c) IK CD	
Bài tập 17
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
	a) Chứng minh đều. 
b) Chứng minh MB + MC = MA.
	c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp.
	d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào ?
Bài tập 18
Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
Chứng minh OAHB là hình thoi.
Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.
Bài tập 19
Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đường kính của (O)). Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:
AE2 = AB.AC
Tứ giác AEOF nội tiếp
Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn.
ED song song với Ac.
Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài tập 20
Cho DABC có các góc đều nhọn và . Vẽ đường cao BD và CE của DABC. Gọi H là gia điểm của BD và CE.
Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.
Tính tỉ số 
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. Chứng minh OA ^ DE
Bài tập 21
Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân đường cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt PB, PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC ở điểm thứ hai E
a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ấy.
b/ Chứng minh: EM vuông góc với BC
c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng AM.AF = AN.AE
Bài tập 22
Cho tam giác vuông ABC (); trên đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C). Đường tròn đường kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC tại điểm F (F không trùng với D). Chứng minh:
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.
b. Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn.
c. AC là tia phân giác của góc EAF.
Bài tập 23
 Cho hình thang cân ABCD (AB>CD; AB//CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp
b/ Chứng minh AB//EI
c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình thang tương ứng ở R và S. Chứng minh:
* I là trung điểm của RS
* 
Bài tập 24
Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đường tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey 
a/ Chứng minh I; E; O; F cùng nằm trên một đường tròn.
b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?
c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào?
Bài tập 25
 Cho nửa đường tròn đường kính BC bán kính R và điểm A trên nửa đường tròn (A khác B và C). Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F.
a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp.
c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R.
Bài tập 26
Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M, N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đường tròn (O)
Chứng minh: PT2 = PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đường tròn cố định.
Gọi giao điểm của TT’ với PO, PM là I và J. K là trung điểm của MN. 
 Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
Chứng minh rằng: Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N thì TT’ luôn đi qua điểm cố định.
Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc TPT’ = 600.
Bài tập 27
	Cho DABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M (M≠A và C). Vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối BM kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai S. Chứng minh:
Tứ giác ABTM nội tiếp
Khi M chuyển động trên AC thì có số đo không đổi.
AB//ST.
Bài tập 28
Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt  ... g với M, N, B). Nối AC cắt MN tại E.CM: 	 a) Tứ giác IECB nội tiếp. 	b)AMEACM đồng dạng và AM2 = AE . AC
 c)AE .AC – AI .IB = AI2.
d) Hãy tìm vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài 85 Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với (O). CM : a) bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đường tròn.	b. =
 c) BI//MN.	d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài 86 . Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB. Người ta vẽ đường trũn tõm A bỏn kớnh nhỏ hơn AB, nú cắt đường trũn (O) tại C và D, cắt AB tại E. Trờn cung nhỏ CE của (A), ta lấy điểm M. Tia BM cắt tiếp (O) tại N.
CM : a) BC, BD là cỏc tiếp tuyến của đường trũn (A).	b) NB là phõn giỏc của gúc CND.
c) CNM MND.	d) Giả sử CN = a; DN = b. Tớnh MN theo a và b.
Bài 87. Cho (O; R), AB là đường kớnh cố định. Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (O) tại B. MN là đường kớnh thay đổi của (O) sao cho MN khụng vuụng gúc với AB và M ≠ A, M ≠ B. Cỏc đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng (d) tương ứng tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi, CM a) Tớch AM.AC khụng đổi. 	 b) Bốn điểm C, M, N, D cựng thuộc một đường trũn.
c) Điểm H luụn thuộc một đường trũn cố định.
d) Tõm J của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc HIB luụn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 88. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, gúc B lớn hơn gúc C. Kẻ đường cao AH. Trờn đoạn HC đặt HD = HB. Từ C kẻ CE vuụng gúc với AD tại E. a) Chứng minh cỏc tam giỏc AHB và AHD bằng nhau.
b) Chứng minh tứ giỏc AHCE nội tiếp và hai gúc HCE và HAE bằng nhau.
c) Chứng minh tam giỏc AHE cõn tại H.	d) Chứng minh DE.CA = DA.CE	d) Tớnh gúc BCA nếu HE//CA.
Bài 89. Cho (O;R), đường kớnh AB cố định, CD là đường kớnh di động. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại B; cỏc đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q. AI trung tuyến của tam giỏc APQ	 a) CM: .
b) CM: CPQD nội tiếp 	c)AICD.
d) Xỏc định vị trớ của CD để diện tớch tứ giỏc CPQD bằng 3 lần diện tớch tam giỏc ABC.
Bài 90. Cho tam giỏc ABC vuụng ở a và gúc B lớn hơn gúc C, AH là đường cao, AM là trung tuyến. Đường trũn tõm H bỏn kớnh HA cắt đường thẳng AB ở D và đường thẳng AC ở E.
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng.	b) Chứng minh . 
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm trờn đường trũn tõm O. Tứ giỏc AMOH là hỡnh gỡ?
d) Cho gúc ACB bằng 300 và AH = a. Tớnh diện tớch tam giỏc HEC.
Bài 91. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (điểm B thuộc đoạn AC). Đường trũn (O) đi qua B và C, đường kớnh DE vuụng gúc với BC tại K. AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I.
1.Chứng minh tứ giỏc DFIK nội tiếp được.	2.. Chứng minh gúc DHA và gúc DEA bằng nhau.
3.Chứng minh AI.KE.KD = KI.AB.AC.
4.AT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) của (O). Điểm T chạy trờn đường nào khi (O) thay đổi nhưng luụn đi qua hai điểm B, C.
Bài 92. Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn. Vẽ trung tuyến AM, phõn giỏc AD của gúc BAC. Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ADM cắt AB tại P và cắt AC tại Q. a).Chứng minh ;	
b)Chứng minh BD.AM = BA.DP.	c)Giả sử BC = a; AC = b; BD = m. Tớnh tỉ số theo a, b, m.
d.Gọi E là điểm chớnh giữa cung PAQ và K là trung điểm đoạn PQ. Chứng minh ba điểm D, K, E thẳng hàng.
Bài 93. Cho tam giỏc ABC cõn tại A nội tiếp trong đường trũn, P là một điểm trờn cung nhỏ AC ( P khỏc A và C). AP kộo dài cắt đường thẳng BC tại M.	a) Chứng minh .
b) Chứng minh AB2 = AP.AM.	c) Giả sử hai cung AP và CP bằng nhau, Chứng minh AM.MP = AB.BM.
d) Tỡm vị trớ của M trờn tia BC sao cho AP = MP.
e) Gọi MT là tiếp tuyến của đường trũn tại T, chứng minh AM, AB, MT là ba cạnh của một tam giỏc vuụng.
Bài 94 Cho tam giác ABC vuông cân ở A, trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi (O1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi (O2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại D (D không trùng với A) BO1 cắt CO2 tại E	.CM :	1) BCD là vuông.
2) O1D là tiếp tuyến của (O2).	3) 5 điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên một đường tròn.
4) Xác định vị trí của M để O1O2 ngắn nhất.
Bài 95 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại E và F. CM:	 1) AE = AF.	2) A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH.
3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành.
Bài 96 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC tại I. CM : 
1) MN là đường kính của đường tròn đường kính AH.	2) tứ giác BMNC nội tiếp.	3)BI = IC.
Bài 97 Cho tam giác ABC vuông tại C, O là trung điểm của AB và D là điểm bất kỳ trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B). Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD. CM : 	
1) OI // BC.	2) 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đường tròn.	 
3) CD là tia phân giác của góc BAC khi và chỉ khi OI = OJ.
Bài 98 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. CM :	a) CEFD là tứ giác nội tiếp.	b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM.	 
c) BE.DN = EN.BD.
Bài 99 tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD.	1) Chứng minh OM // DC.	
2) Chứng minh tam giác ICM cân.	3) BM cắt AD tại N. Chứng minh IC2 = IA.IN.
Bài 100 Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ) nội tiếp trong đường tròn tâm O . Trên cung nhỏ AC ta lấy một điểm M bất kỳ ( M khác A và C ) . Vẽ đường tròn tâm A bán kính AC , đường tròn này cắt đường tròn (O) tại điểm D ( D khác C ) . Đoạn thẳng BM cắt đường tròn tâm A ở điểm N . 
Chứng minh MB là tia phân giác của góc .
Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A nói trên .
So sánh góc CNM với góc MDN .
Cho biết MC = a , MD = b . Hãy tính đoạn thẳng MN theo a và b . 
Bài 101 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn ngoại tiếp tại I .
Chứng minh rằng OI vuông góc với BC .
Chứng minh BI2 = AI.DI .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC . Chứng minh góc BAH = góc CAO .
d) Chứng minh góc HAO = 
Bài 102 Cho tam giác ABC , M là trung điểm của BC . Giả sử .
Chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBA .
Chứng minh minh : BC2 = 2 AB2 . So sánh BC và đường chéo hình vuông cạnh là AB .
Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC . 
Đường thẳng qua C và song song với MA , cắt đường thẳng AB ở D . Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC . 
Bài 103 Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC . CM:
Tứ giác CBMD nội tiếp .
Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì không đổi .
DB . DC = DN . AC 
Bài 104 Cho tam giác nhọn ABC và đường kính BON . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , Đường thẳng BH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M .
Chứng minh tứ giác AMCN là hình thanng cân .
Gọi I là trung điểm của AC . Chứng minh H , I , N thẳng hàng .
Chứng minh rằng BH = 2 OI và tam giác CHM cân .
Bài 105 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a .E là điểm đi chuyển trên đoạn CD ( E khác D ) , đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F , đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K .
Chứng minh tam giác ABF = tam giác ADK từ đó suy ra tam giác AFK vuông cân .
Gọi I là trung điểm của FK , Chứng minh I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K .
Tính số đo góc AIF , suy ra 4 điểm A , B , F , I cùng nằm trên một đường tròn .
Bài 106 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Đường phân giác trong của góc A , B cắt đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE cắt CA, CB lần lượt tại M , N .
Chứng minh tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân .
Chứng minh tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC .
Tứ giác CMIN là hình gì ?
Bài 107 Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB ( C ở ngoài đường tròn ) . Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I , CM cắt đường tròn tại E , EN cắt đường thẳng AB tại F .
Chứng minh tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh góc CAE bằng góc MEB .
Chứng minh : CE . CM = CF . CI = CA . CB 
Bài 108 Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 1 v ) có AC < AB , AH là đường cao kẻ từ đỉnh A . Các tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M . Đoạn MO cắt cạnh AB ở E , MC cắt đường cao AH tại F . Kéo dài CA cho cắt đường thẳng BM ở D . Đường thẳng BF cắt đường thẳng AM ở N . 
Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của đoạn thẳng BD . 
Chứng minh EF // BC .
Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN . 
Bài 109 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC . 	1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp . 	
2) Chứng minh 	3) Chứng minh D AMB đồng dạng với D HMK . 
Bài110: Cho ∆PBC nhọn. Gọi A là chân đường cao kẻ từ đỉnh P xuống cạnh BC. Đường tròn đường khinh BC cắt cạnh PB và PC lần lượt ở M và N. Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC tại điểm thứ 2 là E.
1. Chứng minh 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn ấy?
2. Chứng minh EM vuông góc với BC.	
3. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. Chứng minh rằng: AM.AF=AN.AE
Bài 111: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn tâm O, bán kính R(0<BC<2R). A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của ∆ABC cắt nhau tại H(D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB).
1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp trong một đường tròn. Từ đó suy ra AE.AC=AF.AB.
2. Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH=2A’O.
3. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đặt S là diện tích của ∆ABC, 2p là chu vi của ∆DEF.
a. Chứng minh: d//EF.	b. Chứng minh: S=pR.
Bài 112: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O).Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N, B). Nối AC cắt MN tại E. Chứng minh:
1. Tứ giác IECB nội tiếp.	2. AM2=AE.AC	3. AE.AC-AI.IB=AI2
Bài 113 Trên một đường thẳng lấy ba điểm A, B, C cố định theo thứ tự ấy. Gọi (O) là đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và B. Vẽ đường kính I J vuông góc với AB; E là giao điểm của I J và AB. Gọi M và N theo thứ tự là giao điểm của CI và C J ( M I, N J). CM :
1/. IN, JM và CE đồng quy tại D.	 2/. Gọi F là trung điểm của CD. Chứng minh OF MN.
3/. Chứng minh FM, FN là hai tiếp tuyến của (O).	. 
4/ Chứng minh EA. EB = EC. ED. Từ đó suy ra D là điểm cố định khi (O) thay đổi.