Đề dự tuyển thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2009 – 2010 môn Toán

PGD& ĐT huyện Long Điền
Trường THCS Trần Nguyên Hãn
ĐỀ DỰ TUYỂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2009 – 2010
Thời gian 150 phút.
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức K = 
a/ Rút gọn K
b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên
Bài 2: (3 điểm)Cho A = 111.111 ( 2m chữ số 1)
 B = 111.111 (m + 1 chữ số 1)
 C = 666.666 (m chữ số 6) 
 Chứng minh A + B + C + 8 là số chính phương
Bài 3: (4 điểm)
 a/ Cho abc = 1.Tính S = 
 b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3x + 7y = 167
Bài 4: (5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường thẳng d qua A cắt (O) tại M và (O’) tại M’.
a/ Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm N và N’ cố định và thẳng hàng với B 
b/ Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)
Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A và B). Tiếp tuyến của (O) tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt tại C và D, Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM.
ĐÁP ÁN
Bài 1(4 điểm) 
a/ K = = (0,5điểm)
 = = = (1,5điểm)
b/ K = = 1 + (0,5điểm)
K nguyên khi 2 Ư(2) = (0,75điểm)
Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên x = 4;9 (0,75điểm)
Bài 2: (4 điểm) 
 A = 111.111 ( 2m chữ số 1) = (0,5điểm)
 B = 111.111 (m + 1 chữ số 1) = (0,5điểm)
 C = 666.666 (m chữ số 6) = (0,5điểm)
 A + B + C + 8 = + + + 8 = = (1điểm)
Mà 10m + 8 3 nên 10m + 8 là số nguyên (0,25điểm)
 Vậy A + B + C + 8 là số chính phương (0,25điểm) 
Bài 3: (4 điểm)
 a/ Cho abc = 1. 
 S = = (0,5điểm) 
 = = = (1.5điểm) 
 b/ phương trình 3x + 7y = 167
 3x + 7y = 167x = = (0,5điểm) 
 đặt = t y = 3t – 1 Nên x = 58 – 7t (tZ) (0,5điểm) 
 Vì x; y nguyên dương nên 3t – 1 > 0 t >
 và 58 – 7t > 0t < (0,5điểm) 
Vì tZ n ên t (0,25điểm) 
 Các nghiệm nguyên dương của phương trình là : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9; 20), (2; 23) (0,25điểm) 
Bài 4 (5 điểm) hình vẽ (0,5điểm) 
a/ Chứng minh N, N’ cố định và N, B, N’ thẳng hàng
Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N . 
Vì = 900 nên AN là đường kính của đường tròn (O)N cố định (0,5điểm) 
Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’ 
Vì = 900 nên AN’ là đường kính của đường tròn (O’)N’ cố định (0,5điểm) 
B thuộc đường tròn đường kính AN nên = 900 (0,25điểm) 
B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên = 900 (0,25điểm) 
 = + = 1800 (0,25điểm) 
Vậy N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm) 
b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)
OI đi qua trung điểm của NA và NN’ nên OI là đường trung bình của ANN’
OI = O’A = R’ (0,5điểm) 
Gọi r là bán kính của đường tròn (I) vẽ (I; r) và (O; R) tiếp xúc trong, nên OI = R – r 
Mà OI = R’ (cmt) nên R’ = R – r R’ + r = R (0,5điểm) 
Lại có IO’ đi qua trung điểm của N’N và AN’ nên OI là đường trung bình của ANN’
O’I = OA = R (0,5điểm) 
mà R’ + r = R nên O’I = R’ + r(I; r) tiếp xúc ngoài với (O’; R’) (0,5điểm) 
Vậy trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) (0,5điểm) 
Bài 5 (4 điểm) hình vẽ (0,5điểm) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM
Ta có CA = CM; BD = BM ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (0,25điểm) 
Mà CD = CM + MD nên CD = AC + BD (0,25điểm) 
Kẻ MHAB (HAB) ta có MHMO = R (0,25điểm) 
Tứ giác ABDC là hình thang vuông nên CDAB = 2R (0,5điểm) 
Ta có SABDC = (0,5điểm) 
 SMAB= (0,5điểm) 
Nên SACM + SBDM = SABDC - SMAB 2R2 –R2 
SACM + SBDM R2 (0,5điểm) 
Dấu “=” xảy ra HO (0,25điểm) 
M là giao điểm của đường thẳng vuông gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O)(0,25điểm) 
Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông gòc với AB vẽ từ O và nửa đường tròn (O)
Thì SACM + SBDM nhỏ nhất và bằng R2 (0,25điểm) 
( Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho tròn điểm)
 Hình bài 5 hình bài 4