Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề 1: Rút gọn và liên quan (Có hướng dẫn)

CHỦ ĐỀ 1.RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN
DẠNG 1.RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ
Loại 1:Đa Thức Đơn Giản Chứa Căn, Dễ Dàng Đặt Thừa Số Chung
CÂU 1. Rút gọn	
Gỉai
Câu 2. Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: 
Gỉai
Có = 2015 + 6 – 5 = 2016
Câu 3. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
=
Câu 4 Rút gọn biểu thức :
Gỉai
Câu 5.Rút gọn biểu thức: A= 
Giải.
Câu 6.Rút gọn biểu thức: 
Gỉai
Câu 7.Rút gọn biểu thức: 
Gỉai
Câu 8. Rút gọn các biểu thức sau:
Giải.
Câu 9.Rút gọn các biểu thức sau :	
Gỉai
Câu 10.Rút gọn các biểu thức sau:
Giải.
Câu 11.Rút gọn các biểu thức sau: 
Giải.
Câu 12. Rút gọn biểu thức sau 
Gỉai
=5+6-10 	
=1	
Câu 13.
Gỉai
=0
Câu 14. Rút gọn biểu thức: 
Giải.
Câu 15. Tính: 
Giải.
Câu 16.Rút gọn các biểu thức sau : 
Gỉai	
Câu 17. Rút gọn các biểu thức sau:
Giải.
Câu 18. Rút gọn các biểu thức sau:
Câu 19. Rút gọn các biểu thức sau:
Gỉai
Câu 20. Rút gọn: 
Gỉai
Câu 21.Rút gọn biểu thức 
Gỉai
LOẠI 2:ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG
Câu 1.Tính 
Gỉai
Có B=
Câu 2. Rút gọn biểu thức sau
Gỉai
Câu 3.Rút gọn các biểu thức:
Giải.
Câu 4. Rút gọn biểu thức sau :
Gỉai
Câu 5. Rút gọn biểu thức sau 
Gỉai
Câu 6. Rút gọn các biểu thức:
Gỉai
Câu 7. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
Câu 8. Tính giá trị của biểu thức: 
Gỉai
Câu 9.Rút gọn biểu thức: 
Gỉai
Câu 10. Rút gọn biểu thức : 
Gỉai
LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC CĂN THỨC, QUY ĐỒNG
PP QUY ĐỒNG
Câu 1 .Rút gọn biểu thức 
GIẢI
 Câu 2. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
Câu 3. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
Câu 4. Rút gọn biểu thức : 
Gỉai
Câu 5. Rút gọn biểu thức sau 
Gỉai
PP ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
Câu 1. Rút gọn biểu thức :
Gỉai
Câu 2. Tính: 
Giải.
PP LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG
Câu 1. Rút gọn biểu thức :
Giải.
CÂU 2: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: 
Gỉai
CÂU 3.Cho . Tính giá trị của biểu thức bằng cách rút gọn hoặc biến đổi thích hợp
GIẢI
Ta có:
Câu 4. Rút gọn biểu thức: 
Gỉai
Câu 5. Rút gọn biểu thức :
Giải.
Câu 6. Rút gọn biểu thức sau: 
Giải.
LOẠI 4 KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HĐT TRONG CĂN
Câu 1.Cho biểu thức : . Rút gọn M.
Gỉai
Câu 2. Rút gọn biểu thức 
Gỉai
Câu 3. Không dùng máy tính, rút gọn biểu thức: 
Giải.
Ta có 
Câu 4. Thu gọn biểu thức 
Giải.
Câu 5.Rút gọn biểu thức : 
Giải.
Rút gọn biểu thức 
Câu 6: Rút gọn biểu thức sau: 
Câu 7.Tính giá trị biểu thức: 
GIẢI
Đặt 
Mặt khác:
Ta có:
Vậy B=2
RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ
VÍ DỤ.Rút gọn biểu thức với 
Gỉai
A= -7
PP ÁP DỤNG HĐT
Câu 1.Rút gọn biểu thức với ab ≠ 0
Gỉai
Câu 2.Rút gọn biểu thức: (với a0;a1)
Gỉai
Với a0 a1 ta có:
Câu 3.Rút gọn biểu thức với 2 ≤ x < 3
Gỉai
 với 2 ≤ x < 3
(Vì 2 – 1 < 0)
Câu 4. Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1
Giải.
 với x ≥ 0, x ≠ 1
Câu 5
Cho biểu thức (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 khi 
GIẢI
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có
Ta có thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
Có . Thay vào biểu thức A – 1 ta được:
Câu 6.Cho biểu thức: 
Rút gọn D.
Nếu 
Nếu 
LH CÂU 33. Cho biểu thức ( với x>0;x1)
Rút gọn biểu thức Q .
Tìm các giá trị của x để Q = -1.
GIẢI
(1,0 điểm)
Với điều kiện x > 0 và x ¹ 1, ta có
(0,5 điểm) Với x > 0 và x ¹ 1, ta có 
Do đó 
Vậy với thì Q= -1
PP ÁP DỤNG QUY ĐỒNG
Câu 1. Rút gọn biểu thức : 
Gỉai
Câu 2. Rút gọn biểu thức: với x ≥ 0, x ≠ 1
Gỉai
Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:
Vậy B = 
Câu 3.Rút gọn biểu thức: với và 
Câu 5.Cho biểu thức G =.Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
Điều kiện và 
Câu 6.Cho biểu thức: điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P
Có
Câu 9.Rút gọn biểu thức với x ³ 0 và x ¹ 4
 Với x ³ 0 và x ¹ 4 ta có:
Câu 10. với x > 0 và x ≠ 4..Rút gọn biểu thức
Câu 11.Rút ngắn biểu thức: 
ĐK:
Câu 12.Rút gọn các biểu thức sau: với x > 0 và x ≠ 4.
 Câu 13: Cho biểu thức (với a và a1).Rút gọn biểu thức A.
Giải.
Câu 15. Rút gọn biểu thức :
Câu 16. Rút gọn các biểu thức:
Giải.
Câu 17.Rút gọn các biểu thức: với x > 0, x ¹ 1.
Câu 18.Rút gọn biểu thức: với x>0
Với x > 0 có 
Câu 19.Cho biểu thức: Với a>0;a 1;a4
Rút gọn P
Câu 20.Rút gọn biểu thức: 
Rút gọn biểu thức: 
 =
 = 
 =
Câu 21. Rút gọn biểu thức với x ≥ 0 và x ≠ 1
Với x ³ 0 và x ¹ 1 ta có:
Câu 22. Cho biểu thức
 với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4 Rút gọn P
GIẢI
Ta có:
Vậy 
Câu 23.
Cho biểu thức. Rút gọn biểu thức P
GIẢI
Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
Câu 24.Rút gọn các biểu thức sau:
GIẢI
Ta có:
CÂU 25.
 a/ Rút gọn 
b/ Tìm x để Q < 0
GIẢI
Với x > 0, x ≠ 9, x ≠ 25 ta có:
Với x > 0 thì 
Do đó
Kết hợp với điều kiện, ta có Q < 0 ⇔ 
Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0;25)\{9}
**Câu 26. Cho biểu thức A:
Rút gọn biểu thức A.
Với x>0;x4 , biểu thức có nghĩa ta có:
.
PP LÀM XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Ở TỬ HOẶC MẪU RỒI ĐƠN GIẢN HAY QUY ĐỒNG
Câu 1.Rút gọn biểu thức với x > 0, x ¹ 2
Với điều kiện đã cho thì
Câu 2.Chứng minh rằng: ; với x>0;y>0 và x y
Câu 3. Rút gọn biểu thức: 
 với a,b, là số dương.
Câu 4. Rút gọn biểu thức với a ≥ 0, a ≠ 25
 với a ≥ 0, a ≠ 25
 Câu 5. Rút gọn biểu thức: với a ≥ 0; a ≠ 1
Với a ≥ 0, a ≠ 1 ta có
Câu 6. Rút gọn biểu thức: với 
 với 
Câu 7. Rút gọn biểu thức: với 
 với 
Câu 8. Rút gọn các biểu thức sau (trình bày rõ các bước biến đổi):
 với 
 với 
Câu 9. Cho biểu thức 
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P.
ĐKXD: 
Câu 10.Cho biểu thức 
Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức A
Giải.
Điều kiện 
Câu 11. Cho biểu thức 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
Giải.
ĐKXĐ : x ³0 , x ¹ 4 (0,5 đ)
Rút gọn: 
(
Câu 12. Cho biểu thức .Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
Giải.
Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 9
 Câu 13. Cho biểu thức (với x > 0 và x ≠ 4).
Chứng minh rằng 
Câu 14.Chứng minh rằng với x > 0 và x ¹ 1 thì 
Với x > 0 và x ¹ 1 ta có
Câu 15.Rút gọn biểu thức: Với x > 0; x ≠ 1.
Ta có:
Kế t luận: 
Câu 16. Rút gọn biểu thức: Với x > 0; x ≠ 1.
Ta có:
Câu 17. Cho biểu thức với x > 0 và x khác 1
Chứng minh rằng 
Câu 18. Cho biểu thức với x>0, x ¹ 4. Rút gọn biểu thức Q.
Giải.
Với 
Câu 19. Với x > 0, cho biểu thức . Rút gọn biểu thức B.
Giải.
Câu 20: Rút gọn các biểu thức
 với x>0 và x khác 4
Giải.
Câu 21. Rút gọn biểu thức 
Với x>0 và x khác 36
Câu 22. Rút gọn: với x>0 và 
Câu 23. Rút gọn biểu thức với x > 0; x ≠ 4.
x > 0 và x khác 4 có
Câu 24. Cho biểu thức với x > 0 và x khác 1.
Rút gọn biểu thức A.
Vậy A=
Câu 25. Cho biểu thức: với x.Rút gọn biểu thức P.
Với x ta có:
Vậy với x thì P=
Câu 26. Rút gọn biểu thức: 
Giải.
Đặt ĐK x khác 4 , khử căn thức ở mẫu số bằng biểu thức liên hợp
Câu 27. Cho biểu thức: (với x > 0 và x ≠ 1)
Rút gọn biểu thức A
Giải.
Câu 28. Cho biểu thức: với x > 0;x1
Rút gọn A.
Câu 29. Cho biểu thức (với a ³ 0 và a ¹ 1)
Rút gọn P
Giải.
Rút gọn P
Câu 30. Thu gọn các biểu thức sau:
 với 
Giải.
Với x ³0;x¹9
Câu 31. Rút gọn biểu thức: với x > 1, x ≠ 1.
Giải.
Với x > 1, x ≠ 1, ta có:
Câu 32.Thu gọn các biểu thức sau:
Với x³0;x¹4 ta có :
Câu 33.Cho hai biểu thức và với x ≥ 0, x ≠ 9
Chứng minh 
Câu 34.
 Cho 
a) Rút gọn P
b) Đặt Chứng minh Q > 1
GIẢI
a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:
b) Có 
Xét 
Vì 
CÂU 35. Cho biểu thức với x > 0; x ¹ 9
Rút gọn biểu thức P
GIẢI
 CÂU 36. Rút gọn biểu thức với a>0; 4
GIẢI
 với a>0; 4
CÂU 37: Cho biểu thức: .Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
GIẢI
1/Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa, rút gọn C.
+Biểu thức C có nghĩa khi 
+Rút gọn biểu thức C
CÂU 38. Cho biểu thức , với a > 0.Rút gọn A.
GIẢI
Ta có: (với a>0)
Câu 39
Cho biểu thức: , với x > 0.Rút gọn biểu thức A.
GIẢI
Ta có
Câu 40. Cho biểu thức với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1
GIẢI
Với 0 < a < 1 ta có:
CÂU 41: Cho biểu thức: 
1.Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.
2.Tìm giá trị của biểu thức C khi 
GIẢI
1/Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa, rút gọn C.
+Biểu thức C có nghĩa khi 
+Rút gọn biểu thức C
CÂU 42. Cho biểu thức: , với x > 0.Rút gọn biểu thức A.
GIẢI
CÂU 43. Cho biểu thức: .Rút gọn biểu thức P.
=
=
=
CÂU 44.Rút gọn biểu thức: 
GIẢI
Ta có:
Vậy A= 
Câu 45
Cho 
a) Rút gọn P
b) Đặt Chứng minh Q > 1
GIẢI
a) Với a > 0 và a ≠ 1 ta có:
Câu 46. Cho biểu thức ( với x>0;x1).Rút gọn biểu thức Q .
GIẢI
Với điều kiện x > 0 và x ¹ 1, ta có
Với x > 0 và x ¹ 1, ta có 
Do đó 
Vậy với thì Q= -1
Câu 47:
Cho biểu thức: .Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa, khi đó rút gọn A 
GIẢI
a) Để A có nghĩa, điều kiện là:
Với điều kiện trên, ta có:
Vậy A = với x ≥ 0 và x ≠ 4.
CÂU 48. Cho biểu thức: với .Rút gọn biểu thức B 
GIẢI
CÂU 49
Cho biểu thức (x > 0, x ≠ 4).Rút gọn biểu thức A.
GIẢI
1. Với x > 0, x ≠ 4 ta có:
Câu 50
Cho biểu thức (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 khi 
GIẢI
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có
Ta có thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
Có . Thay vào biểu thức A – 1 ta được:
Câu 51.
Rút gọn biểu thức: 
GIẢI
CÂU 52.
Cho biểu thức: .Rút gọn biểu thức P.
GIẢI
=
=
=
Câu 53.
Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa, khi đó rút gọn A 
GIẢI
 Để A có nghĩa, điều kiện là:
Với điều kiện trên, ta có:
Vậy A = với x ≥ 0 và x ≠ 4.
Câu 54.
 Cho biểu thức: với .Rút gọn biểu thức B 
GIẢI
Ta có:
b) 
CÂU 55
Cho biểu thức (x > 0, x ≠ 4)
Rút gọn biểu thức A.
GIẢI
CÂU 56. Rút gọn biểu thức: 
GIẢI
CÂU 57
Cho biểu thức: (Với x > 0)
Rút gọn biểu thức P
GIẢI
 (thỏa mãn ĐKXĐ)
CÂU 58
Cho biểu thức Rút gọn A.
GIẢI
Với a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ 9, ta có:
CÂU 59.
Cho biểu thức .Rút gọn A.
GIẢI
CÂU 60.
Cho biểu thức (với x ≠ 1; x ≥ 0). Rút gọn A, sau đó tính giá trị A – 1 khi 
GIẢI
Với x ≥ 0, x ≠ 1 ta có
Ta có thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1
Có . Thay vào biểu thức A – 1 ta được:
 MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO ĐẶC BIỆT
CÂU 1. Cho biểu thức với a > 0, b > 0, a ≠ b.
Chứng minh 
Giả sử a, b thay đổi sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
GIẢI
Ta có:
Vậy .
CÂU 2.
Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a +b ¹ 0 . Tính giá trị của biểu thức:
GIẢI
Với ab = 1 , a + b ¹ 0, ta có:
Vậy P = 1, với ab = 1 , a+b ¹ 0.
Câu 3.
Cho các số thực dương a, b ; a ¹ b.Chứng minh rằng
GIẢI
CÂU 4.Cho các số dương x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2.
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z:
GIẢI
Xét 
Thay x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2 ta có xy + yz + zx = 1.
Thay 1 = xy + yz + zx ta có:
Tương tự ta có:
Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta có
Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào x, y, z.
CÂU 5.
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0.
Tính giá trị biểu thức 
GIẢI
Ta có
Tương tự:
Mà 
BT LAM THÊM
Câu 1: Rút gọn các biểu thức:
 a) A = 
 b) B = ( với x > 0, x 4 ).
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
 a) A = 
 b) B = ( với a > 0, b > 0, a b)
Câu 3: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 4: a) Rút gọn biểu thức: A = với .
Câu 5: Rút gọn các biểu thức:
 a) A = 
 b) B = , với 0 < x < 1
Câu 6: 1) Rút gọn biểu thức:
 với a ≥ 0 và a ≠ 1.
Câu 7: Tính gọn biểu thức:
 1) A = .
 2) B = với a ≥ 0, a ≠ 1.
Câu 8: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1, a ¹ 2.
 1) Rút gọn P.
 2) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Câu 9: Cho biểu thức
P = với x ≥ 0, x ≠ 4.
1) Rút gọn P. 
2) Tìm x để P = 2.
Câu 10: Cho M = với .
a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0.
Câu 11: Cho biểu thức: K = với x >0 và x1
Rút gọn biểu thức K
Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2
Câu 12: Rút gọn các biểu thức:
 	1) .
 	2) với x > 0.
Câu 13: Cho các biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh: A - B = 7.
Câu 14: Rút gọn các biểu thức :
a) A = 
b) B = với 
Câu 15: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1	1) Rút gọn biểu thức P. Tìm a để P > - 2
Câu 16. Rút gọn:
 A = 
 B = với .
Câu 17. Cho biểu thức A = với a > 0, a ¹ 1
 	1) Rút gọn biểu thức A.
 	2) Tính giá trị của A khi .
Câu 18: Cho biểu thức P = với x > 0.Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị của x để P > .
Câu 19: Rút gọn các biểu thức sau:
 	1) A = 
 	2) B = 
Câu 20: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1.
 	1) Rút gọn biểu thức A.
 	2) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 21: Cho biểu thức	P = với a > 0 và a 9.
	a) Rút gọn biểu thức P
	b) Tìm các giá trị của a để P > .
Câu 22. Rút gọn biểu thức P = với .
Câu 23: Tính:
a) .
b) .
c) với x > 1
Câu 24: 1) Rút gọn biểu thức:	P = .
Câu 25: Cho biểu thức A =với a > 0, a ¹ 1. Rút gọn biểu thức A.
Câu 26: Rút gọn biểu thức:	P = với a > 1
Câu 27: Cho biểu thức:	Q = Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
Câu 28: Rút gọn A = với .
Câu 29: a) Tính .
b) Giải phương trình: x2 + 2x - 24 = 0.
Câu 30: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9.
a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.
Câu 31: Cho biểu thức: M = 
Rút gọn biểu thức M với 
Câu 32: Cho biểu thức: P = với x > 0.Rút gọi biểu thức P.
Câu 33: 
Tính: 
Rút gọn biểu thức: P= với x1 và x >0
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
 b) A < 0 .
Câu 4: a) A =
, với .
Câu 5:
b) 
Vì 0 < x < 1 nên .
Câu 6: 1) Rút gọn
A = 
 = 
Câu 7: Rút gọn biểu thức
1) A = = 
 = = 15
2) B = với a ≥ 0, a ≠ 1
= = (1 + ) (1 - ) = 1 - a
Câu 8: 
1) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2
Ta có: 
Câu 9: 1) Ta có : 
P = =
 = 
 = 
Câu 10: a) M = 
 = 
 = 
 = . 
Câu 11: 
1) K = = 
2) Khi x = 4 + 2, ta có: K = - 1 = 
Câu 12: Rút gọn biểu thức:
1) = 
 = = 4
2) = 
= = 2
Câu 13: a) A = 
b) B = .
Vậy A - B = = 7, đpcm.
Câu 14: a) .
b) Ta có:
Câu 15.
 1) A = .
 2) B = .
Câu 16.
 1) Ta có A = = .
Câu 17: 
 1) 
 .
 2) Với x > 0 thì . 
Vậy với thì P > .
Câu 18: 
 1) A = = = .
2) 
Câu 19. 
1) 
 2) A < 0 .
Câu 20: 
a) P = .
 = . Vậy P = .
b) Ta có: > + 3 < 4 < 1 .
 Vậy P > khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Câu 21. 1) Ta có và 
nên P = .
Câu 22: Tính 
a) A = = 
= .
b) B = 
c) C = với x > 1
C = 
 +) Nếu x > 2 thì C = 
+) Nếu x < 2, thì C = .
Câu 23: 1) P = 
= .
Câu 24: a) A = 
= .
= .
b) a = 2011 - 2 
Vậy A = .
Câu 25: P = 
Nếu a> 2 => 
Nếu 1 P = 2
Câu 26: ĐKXĐ: x > 0; x 1.
1) Q = .
2) Q = - 3 => 4x + 3 - 1 = 0 (thỏa mãn)
Câu 27: A = = 
Câu 28: a) P = 
= 
= 
Vậy P = .
b) P < 1 .
Câu 29: M = + x + 1
= 
= x - - x - + x + 1 = x - 2 + 1 = ( - 1)2 
Câu 30: 
a) Ta có x2 + 
nên P = 
= . Vậy P = .
b) P = 0 x - = 0 ( - 1) = 0 	x = 0 (loại) ; x = 1 (t/m)
Vậy x = 1 thì P = 0
Câu 31: 
1) Tính: = 
 = 
2) Rút gọn biểu thức: P = 
= = =