Đề tài Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lí luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ, thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “Đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “Đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình,  Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử. 
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn. 
2. Cơ sở thực tiễn
	Năm học 2010- 2011 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8, qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ...vì để giải được các dạng toán đó thì cần phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
	Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 
	 Để phân tích đa thức thành nhân tử có 4 phương pháp cơ bản đó là: Đặt nhân tủ chung, nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức,và phối hợp nhiều phương pháp (SGK – Toán 8 tập 1) nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặp khó khăn trong quá trình giải toán( có những bài chưa thể giải được hoặc không có phương pháp tổng quát để giải). Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ( đổi biến) hệ số bất định, xét giá trị riêng...Đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khi gặp các dạng toán khó;
	Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán. Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng nó sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung và các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng.
II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI.
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này.
	- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử
	- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh
	- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.
III. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
 - Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu có liên quan đến đề tài.
 - Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở như:
	+ Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9
	+ Sách giáo viên 7, 8, 9
	+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh
I.4.2. Phương pháp chuyên gia
	Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài.
I.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
	Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài
I.5. Đóng góp mới về mặt lí luận và thực tiễn 
	- Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì cho học sinh. Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
	- Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau.
 PHẦN II. NỘI DUNG
Chương I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
II.1.1. Lịch sử nghiên cứu
Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trong những nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định. Song việc thực hiện được kết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố.
	Bản thân tôi không có tham vọng đi sâu và nghiên cứu tất cả các phương pháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp đối với học sinh THCS
II.1.2. Cơ sở lý luận
	Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng Toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.
Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu
“Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
II.2.1. Thực trạng 
	Năm học 2007-2008 và 2008 - 2009 Tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8,9, qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy. Khi gặp các dạng bài tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích... các em gặp rất nhiều lùng túng. 
-Ví dụ 1: (trong tiết 25: Luyện Tập (Toán 8 tập 1)) Khi giáo viên đưa bài tập. Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: 
Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít học sinh dơ tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi 
GV: đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm như thế nào?
HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử...
	Sau khi gợi ý, nhiều học sinh đã đưa ra lời giải tuy nhiên bên cạnh đó vẫn còn tồn tại nhiều lời giải như sau:
	= (lời giải sai- phân thức chưa được rút gọn)
Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)
Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số 8 )giáo viên đưa bài tập. Giải các phương trình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử.
x(2x - 7) – 4x + 14 = 0
x2 – 5x + 6 = 0
hay bài tập sau. Tìm ĐKXĐ của phương trình: . Học sinh gặp rất nhiều lúng túng và chưa tìm ra cách giải.
Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo. 
Nhưng ngay đối với việc giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử thông thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn. Do các em có thể quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp lý. Các em mới chỉ biết vân dụng từng phương pháp riêng lẻ vào giải các bài toán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải các bài toán khó với yêu cầu cao hơn.
- Ví dụ: (trong tiết 11: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử) giáo viên đưa bài tập:
	- Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. Đa số học sinh thực hiện đư ợc, nhưng khi đưa bài tập sau: phân tích đa thức x2 – y2 + 4x – 4 thành nhân tử, nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:
	x2 – y2 + 4x – 4 = (x2 – y2)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) đây là lời giải sai, hay bài toán sau: phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y thành nhân tử. nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:
	x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 – x )+ (3x2y + 3xy2) + (y3 – y)
	= x(x2 - 1) + 3xy(x + y) + y(y2 - 1) (đa thức không phân tích được- đây là lời giải sai)
Khi đứng trước bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử các em chưa có khả năng nhận dạng, nhận định xem bài toán trên nên giải như thế nào, áp dụng phương pháp nào để giải cho phù hợp và trong quá trình phân tích các em còn gặp nhiều sai sót trong lời giải cũng như cách trình bày.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)2 – (x + 3)2
Nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau.
 (2x - 1)2 – (x + 3)2 
 = 4x2 – 4x – 1 – x2 – 6x – 9
 = 3x2 – 10x – 10 ....(đây là lời giải sai)
Học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưng chưa đúng phương pháp: lời giải đúng
 (2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]
	 = (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3)
	 = (x - 4)(3x + 2)
- Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. Một số học sinh đưa ra lới giải sau.
 x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)
 	 	 = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả sai)
 - Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử. Một số học sinh đưa ra lới giải sau.
(Lời giải sai): 	15x2y2 – 9x3y + 3x2y 
	= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y 
= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là:  ... 2..x + ()2
= ( x + )2 = (49,75 + 0,25)2
= 502 = 2500
b, x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 ; y = 6
= x2 – (y2 + 2y + 1)
= x2 – (y + 1)2
= [x – (y + 1)][x + (y + 1)]
= (x – y - 1)(x + y + 1)
= (93 – 6 – 1)(93 + 6 +1)
= 86.100 = 8600
Hoạt động 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (20’)
Gv: Đa thức x2 – 3x + 2 là một tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c với 
a = 1; b = -3 ; c = 2
- Đầu tiên ta lâp tích a.c = 1.2 = 2 
- Sau đó tìm xem 2 là tích các cặp số nguyên nào. (2= 1.2 = (-1).(-2)
- Trong hai cặp số đó, ta thấy có: 
(-1)+(-2) = -3 đúng bằng hệ số b.
Ta tách: -3x = -x - 2x
Vậy đa thức được biến đổi như sau
x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2
GV: yêu cầu học sinh lên bẳng làm tiếp
GV: yêu cầu HS làm bài 53b tr 24 sgk
(làm tương tự như ví dụ trên)
? Vậy đa thức x2 + 5x + 6 được tách như thế nào? 
HS: x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
GV: yêu cầu học sinh phân tích tiếp
GV: Đưa tồng quát (máy chiếu)
Gv: giới thiệu cách khác của bài 55a.( tách hạng tử tự do)
x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6
 = (x2 – 4) – (3x - 6)
 = (x - 2)(x + 2) – 3(x - 2)
 = (x - 2)(x + 2 - 3)
 = (x - 2)( x - 1)
GV: yêu cầu HS phân tích đa thức
 x2 + 5x + 6 bằng cách tách hạng tử tự do.
HS: Thực hiện
GV: Yêu cầu HS làm bài 57(d) tr25 sgk
GV: Với các phương pháp đã học có thể phân tích đa thức x4 + 4 ra thừa số không? 
HS: suy nghĩ trả lời
GV Gợi ý: ta thấy x4 = (x2)2
 4 = 22
Để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 vậy để giá trị của đa thức không đổi ta phải bớt 4x2. 
GV yêu cầu học sinh phân tích tiếp
Bài tập 53a tr24 sgk
a, x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2
= (x2 – x) – (2x - 2)
= x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x - 1)(x - 2)
b, x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
 = x(x + 2) + 3(x + 2)
 = (x + 3)(x + 2)
*Tổng quát:
ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c
phải có : b1 + b2 = b và b1.b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau:
B1: Lập tích a.c
B2:Phân tích a.c thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
B3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
b, x2 + 5x + 6 
= x2 + 5x + 10 – 4
= (x2 – 4) + (5x +10)
= (x - 2)(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
Bài 57(d) tr25 sgk
Phân tích đa thức x4 + 4 ra thừa số.
Giải: Ta có 
 x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
 = (x2 + 2)2 – 4x2
 = (x2 + 2 – 2x)(x2 +2+ 2x)
Hoạt động 3: Luyện tập – củng cố (5’)
GV: yêu cầu HS làm bài tập
Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a, 15x2 + 15xy – 3x – 3y
b, x2 + x – 6
c, 4x4 – 1
GV: quan sát, gợi ý học sinh làm bài
Gv: Nhận xét
HS: làm bài vào vở
3 HS lên bảng trình bày
a, = 3(5x2 + 5xy – x - y)
 = 3[(5x2 + 5xy) – (x + y)]
 = 3[5x(x + y) – (x + y)]
 = 3(x + y)(5x - 1)
b, = x2 + 3x – 2x – 6
 = x(x + 3) - 2(x + 3)
 = (x - 2)(x + 3)
c, = 4x4 + 4x2 + 1 – 4x2
 = (2x2 + 1)2 – (2x)2
 = (2x2 + 1 – 2x)( 2x2 + 1 + 2x)
Hoạt động 4: Hướng dẫn về nhà ( 1’)
	- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
	- Bài tập: 57, 58 sgk tr 25 – 35,36,37, tr7 SBT
	- Ôn lại quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số.
V. Rút kinh nghiệm.
Nhận xét đề tài khoa học và sáng kiến kinh nghiệm.
Tên đề tài: ...............................................................................................................
Tác giả nghiên cứu: ................................................................................................
Đơn vị công tác:......................................................................................................
Những ý kiến nhận xét
1/. Tính chất của đề tài nghiên cứu.
..................................................................................................................................................................................................................................................................
2/. Nội dung.............................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
3/. Phương pháp......................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
4/. Hiệu quả.............................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
5/. Hình thức............................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
6/. Xếp loại khen thưởng.........................................................................................
.................................................................................................................................
Người nhận xét (1)	Người nhân xét (2)
Nhận xét của hội đồng khoa học phòng GD&ĐT
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................