Đề thi chính thức HSG Toán 9 - Năm học 2016-2017 - PGD Thị xã Giá Rai (Có đáp án)

 Họ và tên thí sinh: .. .. Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh: .. ... . ..
PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ GIÁ RAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG THỊ XÃ
 NĂM HỌC 2016 - 2017
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 * Môn thi: TOÁN 
 (Gồm 01 trang) 
 * Ngày thi: 25/12/2016
 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
 ĐỀ
 Câu 1: (5 điểm)
 a) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số 
 chính phương.
 b) Cho: M 5n. 5n 1 6n. 3n 2n . Chứng minh: M 91;n Z 
 Câu 2: (5 điểm)
 a) Giải phương trình: 10 x3 + 1 = 3 x2 + 2 
 x3 + 1 = 2y
 b) Giải hệ phương trình: 
 3
 y + 1 = 2x
 Câu 3: (5 điểm)
 2 1
 a) Cho biểu thức: B . Chứng minh: B 3 2 2 với 0 x 1
 1 x x
 b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a b 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
 1 1
 thức: P .
 a b
 Câu 4: (5 điểm)
 Cho đường tròn (O; R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. 
 Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F.
 a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật.
 b) Chứng minh ACD ∽ CBE đồng dạng với nhau.
 c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.
 d) Gọi S; S1; S2 theo thứ tự lần lượt là diện tích của AEF, BCE, BDF .
 Chứng minh: S1 S2 S . 
 --- HẾT --- PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ GIÁ RAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG THỊ XÃ 
 NĂM HỌC 2016 - 2017
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 (Gồm 03 trang) * Môn thi: TOÁN
 HƯỚNG DẪN CHẤM
 Số 
 Câu Nội dung
 điểm
 1
 (5 điểm)
 Gọi: n;n 1;n 2;n 3 là 4 số nguyên dương liên tiếp
 Ta có: 
 A n n 1 n 2 n 3 
 n2 3n n2 3n 2
 a) 0,25đ
 2
 n2 3n 2 n2 3n 1,0đ
 2 2
 n2 3n A n2 3n 1 1,0đ
 Vậy: A không thể là một số chính phương 0,25đ
 Ta có: 
 M 5n. 5n 1 6n. 3n 2n 
 25n 18n 12n 5n 7 1,0đ
 b)
 Và: M 25n 12n 18n 5n 13 1,0đ
 Mà: 7;13 1 0,25đ
 Vậy: M 91;n Z 0,25đ
 2
 (5 điểm)
 ĐK: x 1 0,25đ
 a x 1
 Đặt: ;a 0,b 0
 2
 b x x 1
 a2 b2 x2 2 0,25đ
 10ab 3 a2 b2 0,25đ
 a 3b 3a b 0 0,25đ
 a 3b
 a) 0,25đ
 b 3a
 Với: a 3b , thì: 
 x 1 3 x2 x 1
 9x2 10x 8 0 (pt vô nghiệm) 0,5đ
 Với: b 3a , thì:
 3 x 1 x2 x 1
 x2 10x 8 0
 x 5 33 0,5đ Vậy: S 5 33 0,25đ
 Ta có: 
 x3 1 2y
 3
 y 1 2x
 x3 y3 2 y x 0,25đ
 x y x2 xy y2 2 0 0,25đ
 2 2
 2 2 y 3y
 Mà: x xy y 2 x 2 0 0,25đ
 2 4
 x y 0 0,25đ
 x y 0,25đ
 Ta có phương trình:
 x3 2x 1 0
 2
 b) x 1 x x 1 0 0,25đ
 x 1 0
 2 0,25đ
 x x 1 0
 x 1
 1 5 0,5đ
 x 
 2
 Vậy: Hệ phương trình có 3 nghiệm
 1 5 1 5
 x x 
 x 1 2 2
 ; ; 0,25đ
 y 1 1 5 1 5
 y y 
 2 2
 3
(5 điểm)
 Ta có: 
 2 1
 B 
 1 x x
 2 1 
 2 1 3 1,0đ
 1 x x 
 2x 1 x
 3 0,75đ
 a) 1 x x
 2x 1 x
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ; . Ta được:
 1 x x
 2x 1 x
 B 2 . 3 3 2 2 0,5đ
 1 x x
 Vậy: B 3 2 2 ;0 x 1 0,25đ
 Ta có: a b 2 0 a b 2 4ab 0,25đ
 a b 4
 0,5đ
 ab a b
 1 1 4
 0,25đ
 a b a b 4
 P 0,25đ
 a b
 b) Mà: a b 2 2 0,25đ
 2
 a b 0
 P 2 . Dấu “=” xảy ra 0,5đ
 a b 2 2
 a b 2 0,25đ
 Vậy: MinP 2 a b 2 0,25đ
 4
(5 điểm) A
 C
 O 0,25đ
 D
 E F
 B
 · · · 0 0,5đ
 a) Ta có: ACB ADB DAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa (O))
 ACBD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) 0,5đ
 Ta có : AD CB (ACBD là hình chữ nhật) 0,25đ
 »AD C»B (liên hệ giữa cung và dây cung) 0,25đ
 b) · ·
 ACD CBE (góc nội tiếp với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắn 0,25đ
 2 cung bằng nhau)
 vuông ACD ∽ vuôngCBE (1 góc nhọn) 0,75đ
 Ta có :
 vuông ACD ∽ vuôngCBE (chứng minh trên) 0,25đ
 c)
 ·ADC C· EB 0,5đ
 CDFE nội tiếp 0,25đ
 Ta có: CB / / AF
 CBE ∽ AFE 0,25đ
 S EB2
 1 
 S EF 2
 S EB
 1 0,25đ
 S EF
 d) Tương tự : 
 S BF
 2 0,25đ
 S EF
 S S
 1 2 1 0,25đ
 S S
 S1 S2 S 0,25đ
 -- HẾT---