Đề thi chính thức HSG Toán 9 vòng Tỉnh - Bảng A - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Bạc Liêu (Có đáp án)

 Họ và tên thí sinh: .. .. Chữ ký giám thị 1: 
Số báo danh: .. ... . .. 
 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2011 - 2012 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 * Môn thi: TOÁN 
 (Gồm 01 trang) 
 * Bảng: A 
 * Ngày thi: 08/4/2012 
 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
 ĐỀ 
 Câu 1: (5 điểm) 
 Tìm số có 4 chữ số abcd thỏa mãn hai điều kiện sau: 
 a) ab, ad là hai số nguyên tố; 
 b) db+= c b2 + d . 
 Câu 2: (5 điểm) 
 a) (2,5đ) Giải phương trình: ()()xx+++=444 6 272 . 
 b) (2,5đ) Giải hệ phương trình: 
 ⎧6(x +=yxy ) 5
 ⎪
 ⎨15(yz+= ) 8 yz 
 ⎪
 ⎩10(z +=xzx ) 7 .
 Câu 3: (5 điểm) 
 2 8
 a) Chứng minh rằng ()a+++ b c d ≥() ab + ac + ad + bc + bd + cd với 
 3
 abcd,,, ∈ \ . 
 x3 +16
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x > 0). 
 x
 Câu 4: (5 điểm) 
 Cho đường tròn (O ; R) và một dây BC (BC < 2R). Điểm A di động trên cung 
 lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam 
 giác ABC đồng quy tại H. 
 a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2.OI. 
 b) Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: R.AK = AI . OI. 
 R
 c) Chứng minh rằng: SEFDEDF=++(). Từ đó suy ra vị trí của A để 
 ABC 2
 chu vi tam giác EFD đạt giá trị lớn nhất (SABC là diện tích tam giác ABC). 
 --- HẾT --- SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2011 - 2012 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 * Môn thi: TOÁN 
 (Gồm 03 trang) 
 * Bảng: A 
 * Ngày thi: 08/4/2012 
 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Câu 1: (5 điểm) 
 Do a ≥ 1 nên ab,ad là hai số nguyên tố lớn hơn 10. (0,25đ) 
 Vì thế nó phải là hai số nguyên tố lẻ. (0,25đ) 
 ⇒ b và d là các số lẻ khác 5 (1) (0,25đ) 
 Ta có: db + c = b 2 + d ⇔ b +10d + c = b 2 + d (0,25đ) 
 ⇔ 9d + c = b(b −1) (2) (0,25đ) 
 Suy ra b(b −1) > 9 ⇒ b > 3 (0,25đ) 
 Do b lẻ và khác 5 nên b chỉ có thể bằng 7 hoặc 9. (0,25đ) 
 - Nếu b = 7 thì từ (2) suy ra 9d + c = 42 (0,25đ) 
 Do 0 ≤ c ≤ 9 nên ta suy ra 33 ≤ 9d ≤ 42 (0,25đ) 
 33 42
 ⇒ ≤ d ≤ ⇒ d = 4 (mâu thuẫn với (1)) (0,25đ) 
 9 9
 Vậy b = 7 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. (0,25đ) 
 - Nếu b = 9 thì từ (2) ta có 9d + c = 72. (0,25đ) 
 Do 0 ≤ c ≤ 9 nên ta suy ra : 63 ≤ 9d ≤ 72 ⇒ 7 ≤ d ≤ 8 (3) (0,25đ) 
 Từ (1) và (3) suy ra d = 7 (0,25đ) 
 Thay b =9, d = 7 vào (2), ta có 63 + c = 72 ⇒ c = 9 (0,25đ) 
 Từ tính chất a) của đề bài ta thấy hai số a9 và a7 là hai số nguyên tố. (0,25đ) 
 Chú ý rằng a9 là số nguyên tố nếu a nhận một trong các giá trị sau: 
 1, 2, 5, 7, 8 (0,25đ) 
 Tương tự a7 là số nguyên tố nếu a nhận một trong các giá trị sau: 
 1, 3, 4, 6, 9 (0,25đ) 
 Vì a9 và a7 cùng là số nguyên tố nên a = 1 (0,25đ) 
 Từ đó suy ra abcd = 1997 . Thử lại, ta thấy số có 4 chữ số 1997 thỏa mãn mọi yêu cầu 
 của đề ra và đó là số duy nhất phải tìm. (0,25đ) 
 Câu 2: (5 điểm) 
 a) Đặt x + 5 = t (0,25đ) 
 Phương trình đã cho được viết lại là: 
 (t - 1)4 + ( t + 1)4 = 272 (0,25đ) 
 ⇔ t4 -4t3 + 6t2 -4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 272 (0,25đ) 
 ⇔ 2t4 + 12t2 + 2 = 272 ⇔ 2t4 + 12t2 - 270 = 0 ⇔ t4 + 6t2 -135 = 0 (1) (0,25đ) 
 Đặt t2 = u (u ≥ 0), phương trình (1) trở thành u2 + 6u - 135 = 0 (2) (0,25đ) 
 Giải phương trình (2), ta được u1 = 9 (nhận), u2 = -15 (loại ) (0,25đ) 
 Với u = 9, ta có: t2 = 9 ⇔ t = ± 3 (0,25đ) 
 - Với t = 3 thì x = -2 (0,25đ) 
 - Với t = -3 thì x = -8 (0,25đ) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { -2; -8 }. (0,25đ) 
b) - Dễ thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. (0,25đ) 
- Xét trường hợp xyz ≠ 0 , hệ phương trình đã cho được viết lại là: 
⎧ x + y 5 ⎧1 1 5
 = + =
⎪ xy 6 ⎪ x y 6
⎪ ⎪
⎪ y + z 8 ⎪1 1 8
 ⎨ = ⇔ ⎨ + = (0,75đ) 
⎪ yz 15 ⎪ y z 15
⎪ z + x 7 ⎪1 1 7
⎪ = ⎪ + =
⎩ zx 10 ⎩ z x 10
Cộng theo vế ba phương trình của hệ phương trình trên, ta được: 
 1 1 1 31 1 1 1 31
 2( + + ) = ⇔ + + = (1) (0,50đ) 
 x y z 15 x y z 30
Lấy (1) trừ theo vế lần lượt cho các phương trình của hệ phương trình trên, ta được: 
 z = 5, x = 2, y = 3 (0,75đ) 
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: (0;0;0); (2;3;5). (0,25đ) 
Câu 3: (5 điểm) 
a) Ta có: 
()a+++= b c d2 () a222 +++ b c d 2 +2() ab +++++ bc cd da ac bd (1). (1,0đ) 
Mặt khác, ta có: 
ab22+≥2 ab, ac22+≥2 ac, ad22+≥2 ad, bc22+≥2 bc, bd22+≥2 bd, 
cd22+≥2 cd. (1,0đ) 
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được: 
32()abcd222+++ 2 ≥() abbccddaacbd +++++ 
 2
⇒+++≥abcd222 2 () abbccddaacbd +++++ (2) (0,25đ) 
 3
 2 8
Từ (1) và (2) suy ra: ()a+++≥ b c d() ab +++++ bc cd da ac bd (đpcm). 
 3
Đẳng thức xảy ra khi abcd===. (0,25đ) 
 x3 +16 8 8
b) Ta có P = = x 2 + + (1,0 đ) 
 x x x
Áp dụng BĐT Cô-si với các số không âm ta có: 
 2 88 8 8
 Px=++ ≥ 33 x 2 . = 3.4 = 12 (1,0 đ) 
 x x x x
 8
 P = 12 ⇔ x2 = ⇔ x = 2 
 x
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12. (0,5đ) 
Câu 4: (5 điểm) 
 1 a) Chứng minh AH = 2.OI. (1,5đ) 
Kẻ đường kính AM. 
Ta có: AB ⊥BM, AC ⊥CM ( nABM và nACM là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 
Mặt khác: CF ⊥AB, BE ⊥AC (giả thiết) (0,5đ) 
nên BE // CM, CF // BM. Suy ra tứ giác BHCM là hình bình hành. (0,5đ) 
Mà I là trung điểm của BC nên I là trung điểm của MH. 
Vì O là trung điểm AM nên OI là đường trung bình tam giác AMH. (0,25đ) 
Vậy AH = 2.OI. (0,25đ) 
b) Chứng minh rằng: R.AK = AI . OI. (1,5đ) 
Gọi O’ là trung điểm AH. Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (O’) vì có 
nnAFH+= AEH 1800 . (0,25đ) 
Tứ giác BCEF nội tiếp được đường tròn (I) vì có BFCnn== BEC 900 với E, F cùng 
nhìn BC. Nên nABC= n AEF (cùng bù với CEFn ). (0,25đ) 
Tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC ( BACn chung và nABC= n AEF ). 
 AI AO
Suy ra: = . (0,5đ) 
 AK AO′
 1 AI R
Vì OI = AH = AO’ và AO = R nên = . 
 2 AK OI
Vậy R . AK = AI . OI. (0,5đ) 
 R
c) Chứng minh rằng: SEFDEDF=++(). Từ đó suy ra vị trí của A để chu vi 
 ABC 2
tam giác EFD đạt giá trị lớn nhất. (2,0đ) 
Gọi J, L lần lượt là chân đường cao kẻ từ O đến AB, AC. 
 AO′ R REF.
Vì = và OI = AO’ nên OI = . (0,5đ) 
 EF BC BC
 RDE. RDF.
Tương tự: OJ = ; OL = (0,5đ) 
 AB AC
Do đó, ta có: S ABC = SBCO + S ABO + S ACO (0,25đ) 
 ⇔ 2. S ABC = BC.OI + AB.OJ + AC.OL 
 REF. RDE. RDF.
 ⇔ 2. S = .BC + .AB + .AC 
 ABC BC AB AC
 R
Vậy SEFDEDF=++(). (0,5đ) 
 ABC 2
Từ đó suy ra chu vi tam giác DEF lớn nhất khi lớn nhất, khi đó A là điểm chính giữa 
của cung lớn BC. (0,25đ) 
(Học sinh có thể giải cách khác, nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa) 
 --- HẾT--- 
 2