Đề thi chính thức HSG Toán 9 vòng Tỉnh - Bảng B - Năm học 2011-2012 - Sở GD&ĐT Bạc Liêu (Có đáp án)

 Họ và tên thí sinh: .. .. Chữ ký giám thị 1: 
Số báo danh: .. ... . .. 
 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2011 - 2012 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 * Môn thi: TOÁN 
 (Gồm 01 trang) 
 * Bảng: B 
 * Ngày thi: 08/4/2012 
 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
 ĐỀ 
 Câu 1: (5 điểm) 
 Chứng minh: 2999+ 2# 200 . 
 Câu 2: (5 điểm) 
 a) (2,5đ) Giải phương trình: ()()xx+++=444 6 272 . 
 b) (2,5đ) Giải hệ phương trình: 
 ⎧6(x +=yxy ) 5
 ⎪
 ⎨15(yz+= ) 8 yz 
 ⎪
 ⎩10(z +=xzx ) 7 .
 Câu 3: (5 điểm) 
 2 8
 a) Chứng minh rằng ()a+++ b c d ≥() ab + ac + ad + bc + bd + cd với 
 3
 abcd,,, ∈ \ . 
 x3 +16
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x > 0). 
 x
 Câu 4: (5 điểm) 
 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O ; R) và có CB−= CA R ; 
 CB. CA= R2 . Tính số đo các góc của tam giác ABC. 
 --- HẾT --- 
 1 SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG TỈNH 
 NĂM HỌC 2011 - 2012 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 * Môn thi: TOÁN 
 (Gồm 03 trang) 
 * Bảng: B 
 * Ngày thi: 08/4/2012 
 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Câu 1: (5 điểm) 
 + 200 = 25.8 (0,5đ) 
 9 99 9 90
 + A = 2 + 2 = 2 (1+2 ) (1,0đ) 
 9
 Vì 2 # 8 nên A # 8 (1) (0,5đ) 
 + 210 = 1024≡ -1(mod 25) (1,0đ) 
 ⇒ 290 ≡ -1 (mod 25) (0,5đ) 
 ⇒ 1 + 290 ≡ 0 (mod 25) ⇒ A # 25 (2) (0,5đ) 
 Từ (1), (2) và do (8,25) = 1 nên suy ra A # 200 (đpcm) (1,0đ) 
 Câu 2: (5 điểm) 
 a) Đặt x + 5 = t (0,25đ) 
 Phương trình đã cho được viết lại là: 
 (t - 1)4 + ( t + 1)4 = 272 (0,25đ) 
 ⇔ t4 -4t3 + 6t2 -4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 272 (0,25đ) 
 ⇔ 2t4 + 12t2 + 2 = 272 ⇔ 2t4 + 12t2 - 270 = 0 ⇔ t4 + 6t2 -135 = 0 (1) (0,25đ) 
 Đặt t2 = u (u ≥ 0), phương trình (1) trở thành u2 + 6u - 135 = 0 (2) (0,25đ) 
 Giải phương trình (2), ta được u1 = 9 (nhận), u2 = -15 (loại ) (0,25đ) 
 Với u = 9, ta có: t2 = 9 ⇔ t = ± 3 (0,25đ) 
 - Với t = 3 thì x = -2 (0,25đ) 
 - Với t = -3 thì x = -8 (0,25đ) 
 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { -2; -8 }. (0,25đ) 
 b) - Dễ thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho. (0,25đ) 
 - Xét trường hợp xyz ≠ 0 , hệ phương trình đã cho được viết lại là: 
 ⎧ x + y 5 ⎧1 1 5
 = + =
 ⎪ xy 6 ⎪ x y 6
 ⎪ ⎪
 ⎪ y + z 8 ⎪1 1 8
 ⎨ = ⇔ ⎨ + = (0,75đ) 
 ⎪ yz 15 ⎪ y z 15
 ⎪ z + x 7 ⎪1 1 7
 ⎪ = ⎪ + =
 ⎩ zx 10 ⎩ z x 10
 Cộng theo vế ba phương trình của hệ phương trình trên, ta được: 
 1 1 1 31 1 1 1 31
 2( + + ) = ⇔ + + = (1) (0,50đ) 
 x y z 15 x y z 30
 Lấy (1) trừ theo vế lần lượt cho các phương trình của hệ phương trình trên, ta được: 
 z = 5, x = 2, y = 3 (0,75đ) 
 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: (0;0;0); (2;3;5). (0,25đ) 
 1 Câu 3: (5 điểm) 
a) Ta có: 
()a+++= b c d2 () a222 +++ b c d 2 +2() ab +++++ bc cd da ac bd (1). (1,0đ) 
Mặt khác, ta có: 
ab22+≥2 ab, ac22+≥2 ac, ad22+≥2 ad, bc22+≥2 bc, bd22+≥2 bd, 
cd22+≥2 cd. (1,0đ) 
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được: 
32()abcd222+++ 2 ≥() abbccddaacbd +++++ 
 2
⇒+++≥abcd222 2 () abbccddaacbd +++++ (2) (0,25đ) 
 3
 2 8
Từ (1) và (2) suy ra: ()a+++≥ b c d() ab +++++ bc cd da ac bd (đpcm). 
 3
Đẳng thức xảy ra khi abcd===. (0,25đ) 
 x3 +16 8 8
b) Ta có P = = x 2 + + (1,0 đ) 
 x x x
Áp dụng BĐT Cô-si với các số không âm ta có: 
 2 88 8 8
 Px=++ ≥ 33 x 2 . = 3.4 = 12 (1,0 đ) 
 x x x x
 8
 P = 12 ⇔ x2 = ⇔ x = 2 
 x
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12. (0,5đ) 
Câu 4: (5 điểm) 
Trên CB lấy D sao cho BD = R. 
Suy ra CD = CA (vì CB – CA = R). (0,50đ) 
 CB CO
Ta có: CB.CA = CB.CD = R2 = CO2 ⇒ = (0,50đ) 
 CO CD
 CB CO
⇒ UCDO UCOB (vì = và có OCDn chung). (0,50đ) 
 CO CD
 11
Nên CBOn === CODn OCBn ODBn = BODn (0,50đ) 
 22
⇒ CBOn ++ COBnn OCB = 1800 = 5.CBOn 
 2 Do đó CBOn = 360 và BOCn = 1080. (0,50đ) 
* Xét trường hợp A và O ở cùng phía so với BC (A ở vị trí A1): 
 1
Ta có: BACn == BOCn 540 , (0,25đ) 
 2
UOBD = UAOC (c.c.c). Nên AOCnn= OBD= 360 (0,25đ) 
 1
⇒ ABCn == AOCn 180 . Do đó: ACBnnn= 18000−−= ABC BAC 108 . 
 2
 (0,50đ) 
* Xét trường hợp A và O ở khác phía so với BC: 
 n n 0
Tia OD cắt (O) tại A2, ta luôn có CA22 D== CDA 72 . 
Tức là CD = CA2. Hay A ≡A2 ⇒ O, D, A thẳng hàng. (0,50đ) 
 1
Ta có CBAn == COAn 180 . (0,25đ) 
 2
Vì COAn = 360 nên BOAn =−= 108000 36 72 . (0,25đ) 
 1
⇒ BCAn == BOAn 360 (0,25đ) 
 2
⇒ BACn =− 18000 CBAn − BCAn = 126 (0,25đ) 
(Học sinh có thể giải cách khác, nếu đúng thì vẫn cho điểm tối đa) 
 --- HẾT--- 
 3