Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng huyện môn: Toán năm học: 2010 – 2011

PHÒNG GD – ĐT PHƯỚC LONG 
	THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
	MÔN : TOÁN 
Năm học : 2010 – 2011
	ĐỀ ( đề xuất )
	Học sinh làm bài trên giấy thi .
Câu 1 (4 đ ) : Chứng minh rằng : tích của hai số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương .
Câu 2 (4 đ ) : Tính 
Câu 3 (4 đ ) : Cho a , b , c , d là các số thực dương . Chứng minh rằng : 
 1<
Câu 4 ( 4 đ ) : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 
xy - 2x -3y + 1 = 0
Câu 5 (4đ) : Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. M là điểm trên nửa đường tròn (O) ( M khác A , B ). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt tia OC, cắt tiếp tuyến tại A và cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại D, E và H. Gọi F là giao điểm của AE và BD.
 Chứng minh rằng EA. EF=. 
PHÒNG GD – ĐT PHƯỚC LONG 
	THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
	MÔN : TOÁN 
Năm học : 2010 – 2011
	ĐÁP ÁN
Câu 1 (4 đ ) :
Gọi hai số nguyên dương liên tiếp là n , n + 1 ( nN*) .
Khi đó : n(n + 1) = n2 + n . (0,5đ)
Ta có : n2 < n2 + n u(Do n nguyên dương ) . (1đ) 
Ta lại có : n2 + n < n2 + 2n + 1(Do n nguyên dương ) hay n2 + n < (n + 1)2 v. (1đ)
Từ u và v ta có : n2 < n2 + n < (n + 1)2 hay n2 < n(n + 1) < (n + 1)2 . (0,5đ)
- Do n là số nguyên dương nên n2 và (n + 1)2 là hai số chính phương liên tiếp , giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào . Do đó n(n + 1) không là số chính phương . Vậy tích của hai số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương . (1đ)
Câu 2 (4 đ ) : 
Đặt x = , do > 0 nên x > 0 . (0,5đ)
Ta có : x = 
	 x2 = 2 + 
	 x2 = 2 + x ( Do x = ) (1đ)
	 x2 – x – 2 = 0 
	 x2 + x –2x – 2 = 0
	x(x + 1) – 2(x + 1 ) = 0
	(x + 1)(x – 2) = 0 (1đ)
	 x + 1=0 hoặc x – 2 =0
	 (1đ)
Vậy = 2 (0,5đ)
Câu 3 (4 đ ) : 
Ta có : a + b + c +d > b + c + d (Do a , b , c , d là các số thực dương ). (0,5đ)
 < u (0,5đ)
Tương tự , ta có :
 < v (0,5đ)
	 < w (0,5đ)
	 < x (0,5đ)
Cộng từng vế u, v , w , x ta được :
 + + + < + + + (0,5đ)
 < + + + (0,5đ)
 1< (0,5đ)
Câu 4 ( 4 đ ) : 
Ta có : xy - 2x -3y + 1 = 0 u
	 xy - 2x -3y + 1 + 5 = 5 (1đ)
	 xy - 2x -3y + 6 = 5 
	 x(y – 2) -3(y – 2) = 5
	 (x-3)(y – 2) = 5 v (1đ)
Ta phân tích 5 = 1.5 = -1 .(-5) . (0,5đ)
Khi đó , v	 	 (1đ)
Vâỵ nghiêm nguyên dương của u là (x,y) = (8;3) , (4;7) . (0,5đ)
Câu 5 ( 4 đ ) :
Chứng minh
-Ta có : OA=OB ( Bán kính của (O) )
-Ta có : EAAB , HBAB (GT) . Do đó , AE//BH . Khi đó , EABH là hình thang . 
-Ta lại có : ODAB (GT) nên OD//AE//BH .
-Trong hình thang ABHE có OD//AE//BH và OA=OB nên DE = DH . (0,5đ)
	-Xét hai tam giác :FED và DHB , có :
	 (So le trong , FE // BH )
	DE = DH 
	 (Đôí đỉnh ) 
	 FDE = BDH ( g-c-g) FE = BH u (0,5đ)
Hai tiếp tuyến HM và HB của (O) cắt nhau tại H nên HM = HB v (0,5đ)và OH là tia phân giác của (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Tương tự , OE l à tia phân giác của . (0,5đ)
Khi đó , OE và OH là hai tia phân giác của hai góc kề bù nên ( T ính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù ) . Hay tam giác HEO vuông tại O . (0,5đ)
Ta lại có : OMHE (Tính chất tiếp tuyến) nên OM là đường cao trong tam 
giác HEO .
 EM.MH = OM2 ( Hệ thức cạnh và đường cao trong tam giác vuông ). (0,5đ)
Từ u và v ta có : FE = MH mà EM = EA (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên FE.EA = OM2 (0,5đ)
Ta lại có : OM2 = ( Do OM là bán kính , AB là đương kính ) nên 
EA. EF=. (0,5đ)