Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2010 - 2011 - môn Toán 9

PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC	 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN 
	 	NĂM HỌC 2010 - 2011 - MÔN TOÁN 9
 Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,5 điểm) 
	a) Tìm n Î N để A là số nguyên tố biết A = n3 - n2 - n - 2
	b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì mn(m2 – n2) 6
Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức P = 
Rút gọn P.
Tìm các giá trị của x để P = 
Bài 3: (4,0 điểm) 	
	a) Giải hệ phương trình : 
	b) Giải phương trình: 
Bài 4: (2,0 điểm)	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
 F = 
Bài 5: (6,5 điểm) 
 	Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A; M ≠ B) và MA < MB. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H.
a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường tròn (O).
b) Chứng minh CA = CH.
c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O). 
 Chứng minh 3 điểm E; M; F thẳng hàng.
d) Gọi S1; S2 là diện tích các tứ giác ACHE và BCDF. Chứng minh CM < .
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM TOÁN 9
KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011
Bµi 1: (4,5 ®iÓm)
C©u a) (2,0 ®)
Ph©n tÝch A = n3 - 2n2 + n2 - 2n + n - 2
	 = (n - 2) (n2 + n + 1)
Do n - 2 < n2 + n + 1 "n Î N
VËy A lµ sè nguyªn tè 	Û 
	Û 
	lµ sè nguyªn tè
VËy víi n = 3 th× A lµ sè nguyªn tè	
0,75®
0,25®
0,5®
0,5®
Câu b) (2,5 đ) 
 	 0.5 đ
Vì m(m-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên 2m(m – 1)(m + 1) 2	 0,5 đ
m(m – 1)(m + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3	
mà (2;3)=1. Do đó m(m – 1)(m+1) 6 nm(m – 1)(m + 1)6 (1)	0,5 đ
 Tương tự n(n – 1)(n + 1) 6mn(n – 1)(n +1)6 (2)	0,5 đ
Từ (1)(2) với mọi số nguyên m, n	0,5 đ
Bài 2: (3,0 điểm) ĐKXĐ của biểu thức P là: x › 0và x 	 0,25
a) P = 	 0,5
P = 	 0,5
P = 	 0,75
 b) P = = 	 0,5
TMĐK 	 0,5
Bài 3: (4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)Với điều kiện ; 	 0,25đ
Trừ vế theo vế ta được phương trình ⇔3 – 2y = 4 ⇔ y = (t/mãn) 	 0,5đ
Cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được phương trình 
 = x+2 0,25đ
 ⇔ 3+2x = (x +2)2 
 ⇔  ⇔ x2 +2x +1 = 0 0,5đ
 ⇔ (x+1)2 = 0 ⇔ x =-1(thỏa mãn) 0,25đ 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (-1 ; ) 0,25đ
 b)
(2,0®)
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh
a. 
	§Æt 
	=>u3 = x - 2, v2 = x+1
	=> v2 - u3 = (x + 1) - (x - 2) = 3
	=> v2 - u3 = 3(1)
	 u + v = 3 (2)
Rót v = 3 - u tõ (2) thay vµo (1)
	=> (3 - u)2 - u3 = 3
	9 - 6u + u2 - u3 = 3
	=> u3 - u2 + 6u - 6 = 0
	=> u2 (u - 1) + 6 (u - 1) = 0
	=> (u - 1) (u2 + 6) = 0
	Û u - 1 = 0	do u2 + 6 > 0 " u
	=> u = 1; v = 2.
Thay 
	x - 2 = 1
	x = 3 (TM§K)
VËy pt cã 1 nghiÖm x = 3;
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
0,25®
Bài 4: (2,0 điểm)
 Đk : x, 	 0,25đ
Ta có: F- 5= ( - 2) +( - 3) 0,75đ
 = + 0,5đ
Lí luận đi đến F – 5 để kết luận Fmax= 5 tại x=1 0,5đ
Do đó ANBD vậy N(O) 0,75đ 
b) MC là phân giác của tam giác AMB nên ta có:
 0,75 đ
Mặt khác BCH BMA nên ta có:
 	 0,75 đ
vậy CA =CH 0,5 đ
MI = 0,75 đ
MK =suy ra 3 điểm E; M; F thẳng hàng 0,75
Câu 5: 6,5 đ
 a)Do M(O) suy ra H là trực tâmAMB (0,75 đ) O
A
d) Hình chữ nhật ACHE có CA = CH nên ACHE là hình vuông
Tam giác ANB vuông ở N có góc NAB = 450 suy ra BCDF là hình vuông 0,5 đ
Suy ra tam giác ECF vuông ở C 
 S1=1/2 CE2; S2= ½ CF2	0,25 đ
 	0,5 đ
Suy ra ( vì MA < MB nên dấu "=" không xảy ra). 	0,25 đ
 L­u ý: ( Chö trªn h×nh viÕt tay)