Đề thi học sinh giỏi THCS năm học 2009 – 2010 môn thi: Toán học lớp 9

 PHÒNG GIÁO DỤC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2009 – 2010
HUYỆN LONG ĐIỀN Môn thi: Toán học lớp 9.
 ====*&*===== Thời gian : 150 phút 
Câu 1: Cho biểu thức: 
Rút gọn A.
Tìm để 
Câu 2: Cho đường thẳng d có phương trình: 
Xác định m để đường thẳng (d) đi qua điểm P(-1;1).
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 4: Cho ABC (AB = AC). Vẽ một đường tròn có tâm(O) nằm trên BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D; E. Gọi I là một điểm chuyển động trên cung nhỏ DE (). Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M, N .
Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi.
Chứng minh hệ thức 
Xác định vị trí của điểm I trên cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn nhất.
Câu 5: Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2. Tính số đo góc BMC ?
 -----------------------------*&*-----------------------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 
Câu
Đáp án
Thang điểm
1 ( 2 đ)
a) TXĐ : 
Vì nên 
b) Tìm để 
Để khi thì là ước dương của 2 ( vì ).
*) 
*) 
1 điểm
1 điểm
2 ( 2 đ)
a) Vì đường thẳng (d) đi qua P(-1;1) nên 
b) Gọi là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua 
Ta có: .
Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2)
1 điểm 
1 điểm
3(1,5đ)
Đặt 
Ta có
Dấu “ =” xẩy ra khi x = y = z a = b = c .
Vậy S nhỏ nhất là 3 và xẩy ra khi a = b = c..
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
4 (3.5đ)
Hình vẽ đúng 
a) Chu vi AMN = AM + AN + MN
 = AM + AN +MI + IN
 = AM + AN + MD + NE
 = AD + AE = 2 AD không đổi.
b) 
mà 
Mặt khác: và 
 và 
c) lớn nhất khi SBMNC nhỏ nhất .
Ta có: ( R: bán kính đường tròn)
R; BD không đổi nhỏ nhất khi BM + CN nhỏ nhất .
Tích không đổi Tổng BM + CN nhỏ nhất Khi đó I là điểm chính giữa cung DE .
0.5 điểm 
1 điểm 
1 điểm 
1 điểm 
5(1đ)
Vẽ tam giác đều CMN 
mà
 vuông tại M.
.
1điểm.