Đề thi HSG Toán 9 - Năm học 2024-2025 (Có đáp án)

 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG, NĂM HỌC: 2024-2025
 Đề thi môn: Toán 9
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
Câu 1: (4,0 điểm)
a. Chứng minh rằng: n(n + 1) (2n + 1)  6 với mọi số tự nhiên n
b. Tìm số nguyên dương n sao cho: n2 – n + 2 là số chính phương
Câu 2: (4,0 điểm)
a. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: xy 4x 35 5y
 1 1 1 1
b. Giải phương trình sau: 
 x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18
Câu 3: (5,0 điểm)
 x 2 y 2 x y 
 4 3 
a. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng: 2 2 
 y x y x 
b. Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
 4
 (a b 1)(a 2 b 2 ) 
 a b
Câu 4: (5,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung 
điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. M là giao điểm của CE và DF.
a. Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông.
b. Chứng minh DF  CE và MAD cân.
c. Tính diện tích MDC theo a.
Câu 5: (2,0 điểm)
 Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao một cây 
dừa. Biết khoảng cách từ gốc cây đến chân người thợ là 4,8m và từ vị trí chân 
đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người nhắm là 1,6m. Hỏi với các kích thước 
như trên, người thợ đo được chiều cao của cây dừa là bao nhiêu? HẾT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG, NĂM HỌC: 2024-2025
 Hướng dẫn chấm môn: Toán 9
 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 ________________
Câu 1: 
a. Ta có: n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n - 1) + (n + 2)] (0,5 điểm)
 = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) (0,5 điểm)
 Ta thấy: n(n + 1) (n - 1)  6 (tích 3 số nguyên liên tiếp) (0,25 
điểm)
 n(n + 1) (n + 2)  6 (tích 3 số nguyên liên tiếp) (0,25 
điểm)
Vậy n(n + 1)(2n + 1)  6 với mọi số tự nhiên n (0,5 điểm)
b. Đặt: n2 – n + 2 = k2 (k là số nguyến dương) (0,25 
điểm)
Suy ra: 4n2 – 4n + 8 = 4k2 (0,25 
điểm)
 4k2 – (2n – 1)2 = 7
 (2k + 2n - 1)(2k – 2n +1) = 7 (0,25 
điểm)
Ta thấy: 2k + 2n – 1 + 2k – 2n + 1 = 4k
Do đó: 2k + 2n – 1 và 2k – 2n + 1 là số lẻ và 2k + 2n – 1 > 2k – 2n + 1 (do k, n 
là số nguyên dương)
 (0,25 điểm)
 2k 2n 1 7
Suy ra: (0,25 
 2k 2n 1 1
điểm)
 k 2
 (0,5 
 n 2
điểm)
Thử lại ta thấy n = 2 thì thỏa mãn
Vậy n = 2 là giá trị cần tìm (0,25 
điểm) Câu 2:
a. Ta có: xy 4x 35 5y (xy 4x) 5y 20 35 20 (0,5 
điểm)
 x(y 4) 5(y 4) 15 (y 4)(x 5) 15 (0,25 
điểm)
Ta có bảng: (1,0 
điểm)
 x + 5 1 15 -1 -15 3 5 -3 -5
 y - 4 15 1 -15 -1 5 3 -5 -3
 x 4 10 -6 -20 -2 0 -8 -10
 y 19 5 -11 3 9 7 -1 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
 (x; y) (4;19); (10;5); ( 6; 11); ( 20;3); ( 2;9); (0;7); ( 8; 1); ( 10;1) (0,25 
điểm)
b.
ĐKXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7 (0,25 
điểm)
Phương trình trở thành : 
 1 1 1 1
 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 (0,25 
điểm)
 1 1 1 1 1 1 1
 (0,25 
 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18
điểm)
 1 1 1
 (0,25 
 x 4 x 7 18
điểm)
18(x + 7) - 18(x + 4) = (x + 7)(x + 4) (0, 25 
điểm) x2 + 11x – 26 = 0 (0,25 
 điểm)
 x = -13 hoặc x = 2 (0,25 
 điểm)
 Vậy S = {-13;2} (0,25 
 điểm)
 Câu 3:
 x y
 a. ≥ 2 với mọi x, y > 0 (0,25 
 y x
 điểm)
 x y x y
 -2 ≥ 0; - 1 ≥ 1 (0,5 
 y x y x
 điểm)
 x y x y
 ( -2)( -1) ≥ 0 (0,5 
 y x y x
 điểm)
 x2 y2 x y x y
 2 ( ) 2( ) 2 0 (0,5 
 y2 x2 y x y x
 điểm)
 x 2 y 2 x y 
 4 3 
 2 2 (0,5 
 y x y x 
 điểm)
 Dấu “=” xảy ra x = y > 0 (0,25 
 điểm)
 b. Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 và b2
 a2 b2 2 a2b2 2ab 2 (vì ab = 1) (0,5 
 điểm)
 4 4 4
 A (a b 1)(a2 b2 ) 2(a b 1) 2 (a b ) (a b) (0,5 
 a b a b a b
 điểm)
 4
 Cũng theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a + b và 
 a b 4 4
Ta có: (a + b) + 2 (a b). 4 (0,5 
 a b a b
điểm)
Mặt khác: a b 2 ab 2 (0,25 
điểm)
 4
 A 2 (a b ) (a b) 2 4 2 8 (0,5 
 a b
điểm)
Vậy GTNN của A là 8 khi a = b = 1. (0,25 
điểm)
Câu 4:
 A E B
 F
 H M
 N
 C
 D G
Hình vẽ (0,25 
 điểm) 
a. Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông
Tứ giác EFGH có EF//GH và EF = GH (cùng //AC và cùng bằng một nửa AC)
nên là hình bình hành. (0,25 
điểm) 
Có EH = EF nên là hình thoi (0,25 
điểm) 
Chứng minh có 1 góc vuông (0,25 
điểm) 
 Tứ giác EFGH là hình vuông (0,25 
điểm) 
b. Chứng minh DF  CE và MAD cân. = 퐹 ( . . ) => = 퐹 (0,25 
điểm) 
mà tam giác CDF vuông tại C
Suy ra: 퐹 + 퐹 = 900 => 퐹 + = 900
Suy ra: tam giác CMF vuông tại M (0,5 điểm) 
 CE  DF. (0,25 
điểm) 
Gọi N là giao điểm của AG và DF. 
Chứng minh tương tự: AG  DF (0,25 
điểm) 
 GN//CM mà G là trung điểm DC 
 N là trung điểm DM. (0,25 
điểm) 
 MAD có AN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại A. (0,25 
điểm) 
c. Tính diện tích MDC theo a.
Ta có: (0,25 
 ∆ đồ푛 ạ푛 ∆퐹 ( . ) => 퐹 = 퐹 
điểm) 
 2 2
 푆∆ 
Do đó: = => 푆 = .푆 (0,5 điểm) 
 푆∆퐹 퐹 ∆ 퐹 ∆퐹 
 1 1
Mà: 2. (0,25 điểm) 
 푆∆퐹 = 2 퐹. = 4 
 2 1
Vậy: 2. (0,25 điểm) 
 푆∆ = 퐹 2.4 
Trong tam giác DCF theo Pitago ta có : 
 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2
 DF CD CF CD BC CD CD .CD (0,25 
 2 4 4
điểm) CD2 1 1 1
 S . CD2 CD2 a2
Do đó : VMCD 5 (0,5 
 CD2 4 5 5
 4
 điểm) 
Câu 5:
Hình vẽ: (0,25 
điểm)
Ta có: Tứ giác ABDH là hình chữ nhật nên:
BA = DH = 1,6m; BD = AH = 4,8m (0,25 
điểm)
Xét tam giác ADC vuông tại D có BD là đường cao: BD 2 BA.BC (0,5 
điểm)
 BD 2 4,82
Do đó: BC 14,4m (0,5 
 BA 1,6
điểm)
Suy ra: AC = BC + AB = 14,4 + 1,6 = 16m (0,25 
điểm)
Vậy chiều cao của cây dừa là 16m (0,25 
điểm)
 Phong Thạnh Tây, ngày 04 tháng 11 năm 2024
 Người ra đề
 Võ Văn Tổng