Đề thi HSG Toán 9 vòng Huyện - Năm học 2013-2014 - PGD Vĩnh Lợi (Có đáp án)

 Họ và tên thí sinh: . Chữ ký giám thị 1: 
Số báo danh: .. 
PHÒNG GDĐT VĨNH LỢI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN 
 NĂM HỌC 2013-2014 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 (Gồm 01 trang) * Môn thi: TOÁN 9 
 * Ngày thi: 19/01/2014 
 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
 ĐỀ: 
Câu 1: (5 điểm) 
 a) Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a + b và ab là nguyên 
tố cùng nhau. 
 b) Tìm số dư khi chia số 9294 cho 15. 
Câu 2: (5 điểm) 
 a) Giải phương trình: 2x2 8x 3 x2 4x 5 12 
 x y xy 23
 b) Giải hệ phương trình: 2 2 
 x xy y 49
Câu 3: (5 điểm) 
 2
 x 2 x 2 x 1 
 Cho biểu thức: P 
 x 1 x 2 x 1 2 
 a) Rút gọn P 
 b) Chứng minh rằng nếu 0 x 1 thì P 0 
 c) Tìm giá trị lớn nhất của P 
Câu 4: (5 điểm) 
 Cho đường tròn đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm 
M trên đường tròn (M khác A, B và điểm chính giữa cung AB) rồi vẽ tiếp tuyến 
với đường tròn (M là tiếp điểm) nó cắt Ax tại C, cắt By tai D. Gọi A là giao điểm 
BM với Ax, B là giao điểm AM với By. Chứng minh: 
 a) AA .BB AB2 
 b) CA CA ; DB DB 
 c) Ba đường thẳng AB, DC, B A đồng quy. 
 ---HẾT--- PHÒNG GDĐT VĨNH LỢI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN 
 NĂM HỌC 2013-2014 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
 (Gồm 03 trang) * Môn thi: TOÁN 9 
 * Ngày thi: 19/01/2014 
 HƯỚNG DẪN CHẤM 
Câu 1: (5 điểm) 
a) Giả sử a + b và ab không nguyên tố cùng nhau khi đó 
 gọi d là ước số nguyên tố chung. 
Ta có a bd (1) 
 abd (2) 0,5 đ 
Vì a, b là các số nguyên tố cùng nhau nên từ (2) 
suy ra ad hoặc bd 1,0 đ 
+ Nếu ad thì từ (1) suy ra bd 
+ Nếu bd thì cũng từ (1) suy ra ad 
Cả hai ý trên ta thấy a và b có một 
 ước số nguyên tố chung d điều này trái với giả thiết. 
Vậy a và b nguyên tố cùng nhau thì a + b và ab cũng 
 nguyên tố cùng nhau. 1,0 đ 
b) Ta có 92  2(mod15) 9294  294 (mod15) 0,5 đ 
Có 24 1(mod15) 292 1(mod15) 0,5 đ 
Lại có 22  4(mod15) 0,5 đ 
Nên 292.22 294  4(mod15) 0,5 đ 
 9294  4(mod15) 
Vậy số dư khi chia 9294 cho 15 là 4 0,5 đ 
Câu 2: (5 điểm) 
 2 2
 a) Giải phương trình: 2x 8x 3 x 4x 5 12 
 2 x 1
 Điều kiện tồn tại của phương trình là x 4x 5 0 0.5 điểm 
 x 5
 Đặt x2 4x 5 y y 0 phương trình trở thành 2y2 3y 2 0 0.5 điểm 
 y 2
 y 2 2y 1 0 1 0.5 điểm 
 y loai 
 2
 Với y 2 ta có: x2 4x 5 2 x2 4x 9 0 x 2 2 13 0.5 điểm 
 x 2 13
 x 2 13 0.5 điểm 
 x 2 13 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 2 13; x2 2 13 0.5 điểm 
 x y xy 23
 b) Giải hệ phương trình: 2 2 
 x xy y 49
 x y u u v 23
 Đặt , hệ phương trình trở thành 2 0.5 điểm 
 xy v u v 49
 u v 23
 u v 23 u v 23 u 8 0
 1.0 điểm 
 2 
 u u 72 0 u 8 u 9 0 u v 23
 u 9 0
 x 5 x 3
 Từ đó ta tìm được hoặc 0.5 điểm 
 y 3 y 5
Câu 3: (5 điểm) 
 2
 x 2 x 2 x 1 
 Cho biểu thức: P 
 x 1 x 2 x 1 2 
 a) Rút gọn P 
 2
 x 2 x 2 x 1 
 Ta có P . 0.5 điểm 
 2 
 x 1 x 1 x 1 2 
 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2
 P 2 . 0.5 điểm 
 x 1 x 1 2
 2
 x x 2 x x 2 x 1 
 P 2 . 0.5 điểm 
 x 1 x 1 2
 2 2
 x x 1 x 1 
 P 2 x 1 x 0.5 điểm 
 x 1 x 1 
 b) Chứng minh rằng nếu 0 x 1 thì P 0 
 Với 0 x 1 thì x 0 và x 1 hay 1 x 0 0.5 điểm 
 Suy ra P x 1 x 0 (đpcm) 0.5 điểm 
 c) Tìm giá trị lớn nhất của P 
 2
 1 1 1
 Ta có: P x x x 1.0 điểm 
 2 4 4
 1
 Do đó max P 1.0 điểm 
 4
 Bài 4: (5 điểm) 
 y 
 Vẽ đúng hình 1,0 đ. 
 B B 
 B’ 
 x 
 A D 
 M 
 C 
 A B 
 a) Xét A AB và ABB 
Có AB là đường kính ; M (O) AMˆ B 900 AMBvuông tại M 0,5 đ 
 ABˆ A BBˆ A (cùng phụ với BAˆ B ) 
 A AB đồng dạng với ABB 0,5 đ 
 AA BA
 AA .BB AB2 0,5 đ 
 AB BB 
 b) Có AAˆ B B Bˆ A (so le và AA / /BB ) 
Có DM = DB (tính chất hai tiếp tuyến) BDM cân 
 B Bˆ A DMˆ Bmà DMˆ B CMˆ A (đđ) 
 AAˆ B CMˆ A A CM cân CA CM 
Mà CM = CA suy ra CA = CÁ 1,0 đ 
Chứng minh tương tự như trên ta có DB DB 0,5 đ 
 c) Ta có AA / /BB (cùng vuông góc với AB) 
 AC BD
Mà 1 B A ;DC;BA đồng quy 1,0 đ 
 CA DB 
 ---HẾT--- 
 (HS giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)