Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi huyện bậc THCS năm học: 2010 - 2011 môn thi: Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN QUẾ PHONG
TRƯỜNG PTCS NẬM GIẢI
KÌ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BẬC THCS
Năm học: 2010 - 2011
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
-------------------------
I. Đề:
Câu 1: a) Tìm một số có 5 chữ số. Biết rằng nếu xoá đi 3 chữ số cuối cùng thì được 	một số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu.
b) Chứng minh rằng: với mọi a,b.
Câu 2: 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
f(x) = 
Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). I là trung điểm của BC, M 	là điểm trên đoạn CI (M khác C và I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại 	D. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt các đường 	thẳng BD, DC lần lượt tại P và Q.
	Chứng minh DM.IA = MP.IB và tính tỉ số 
Câu 4: Cho biểu thức:
a) Rút gọn 
b) Tìm các giá trị nguyên của a để A có giá trị nguyên.
(Thí sinh bảng B không phải làm câu 4b)
( Giám thị không được giải thích gì thêm)
II. Đáp án và thang điểm cho bảng A:
Câu 1: (6 điểm) 
a) (4 điểm) Gọi số cần tìm là M = = + 	(1 điểm) 
Số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu (hay số ban đầu gấp 3 lần số mới) nên ta có:
 + = 
	Đặt m = , n = 	
Þ + = 
Þ ≥ hay ≥ 
	Vậy m ≥ 32.	(1)	(1 điểm)
	Vì n < 1000 nên < + 1000 Þ m( - 1000) < 1000
Nếu m ≥ 33 thì m( - 1000) = 33.89 = 2937 >1000 Þ m < 33. (2)	(1 điểm)
Từ (1) và (2) Þ m = 32. Vậy m = 323 = 32768	(1 điểm)
b) (2 điểm) Ta quy đồng:
	(1 điểm)
, hiển nhiên đúng.	(1 điểm)
Câu 2: (5 điểm)
a) (2,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
= çx + 2008ç + çx + 2009ç	 (0,5 điểm)
= ç- x - 2008ç + çx + 2009ç 	 (0,5 điểm)
≥ çx + 2009 - x - 2008ç = 1	 (0,5 điểm)
Vậy P ≥ 1, đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi: 
(x + 2009)(- x - 2008) ≥ 0 Û - 2009 ≤ x ≤ - 2008	 (0,5 điểm)
Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất là 1 Û - 2009 ≤ x ≤ - 2008	 (0,5 điểm)
b) (2,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
f(x) có nghĩa Û 1 - x - 2x2 ≥ 0 
 Û (x + 1)(1 - 2x) ≥ 0 
 Û - 1 ≤ x 	 (0,5 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và 1 - x - 2x2 ta có:
	 	 (0,5 điểm)
Do đó f(x) ≤ 	 (0,5 điểm)
Đẳng thức xảy ra Û Û x = 0	 (0,5 điểm)
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) là 1	 (0,5 điểm)
Câu 3: (5 điểm)
Vì DMP = AMQ = AIC và ADB = BCA nên DMDP ~ DICA, 	 (0,5 điểm)
suy ra 	 (0,5 điểm)
Þ DM.IA = MP.ID hay DM.IA = MP.IB (1) 	 	 (0,5 điểm)
Vì ADC = CBA;	 
DMQ = 1800 - AMQ = 1800 - AIM = BIA	 (0,5 điểm)
Nên DDMQ ~ DBIA Þ 	 (1 điểm)
hay DM.IA = MQ.IB (2)	 (1 điểm)
 Từ (1) và (2) suy ra .	 (1 điểm)
Câu 4: (4 điểm)
a) (2 điểm) Rút gọn 
+ Nếu 4 < a ≤ 8 thì .	(1 điểm) 
+ Nếu a > 8 thì 	(1 điểm) 
b) (2 điểm) Xét với a Î Z. Ta thấy A Î Z 
Û a - 4 là ước của 16 và 4 < a ≤ 8 Û a = 5; 6; 8	 (0,5 điểm) 
Xét và a Î Z . Trước hết, nếu là số vô tỉ thì A cũng là số 	vô tỉ nên không thoả mãn. Do đó với p, q nguyên dương và (p;q) = 	1
Khi đó Î Z 	 (0,25 điểm) 
Û = k (Î Z ) Û 2p2 + 8q2 = kpq.	 (0,5 điểm)
Từ đó ta thấy: 2p2 chia hết cho q mà (p;q) = 	1 nên q là ước của 2 
Vậy q = 1 hoặc q = 2. Tương tự thì p là ước của 8 nên p = 1; 2; 4; 8 (0,25 điểm) 
Vì (p;q) = 1 	nêm chỉ cần thử các tình huống:
+ q = 2 và p = 1 thì a không phải số nguyên.
+ q = 1 mà a > 8 nên p = 4; 8 thoả mãn. Khi đó a = 20; 68 ./.	 (0,5 điểm)
III. Đáp án và thang điểm cho bảng B:
Câu 1: (6 điểm) 
a) (4 điểm) Gọi số cần tìm là M = = + 	(1 điểm) 
	Ta có + = 
	Đặt m = , n = 	
Þ + = Þ ≥ hay ≥ 
	Vậy m ≥ 32.	(1)	(1 điểm)
	Vì n < 1000 nên < + 1000 Þ m( - 1000) < 1000
Nếu m ≥ 33 thì m( - 1000) = 33.89 = 2937 >1000 Þ m < 33. (2)	(1 điểm)
Từ (1) và (2) Þ m = 32. Vậy m = 323 = 32768	(1 điểm)
b) (2 điểm) Ta quy đồng:
	(1 điểm)
, hiển nhiên đúng.	(1 điểm)
Câu 2: (6 điểm)
a) (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
= çx + 2008ç + çx + 2009ç	 	
= ç- x - 2008ç + çx + 2009ç 	 
≥ çx + 2009 - x - 2008ç = 1	(1 điểm) 
Vậy P ≥ 1, đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi: 
(x + 2009)(- x - 2008) ≥ 0 Û - 2009 ≤ x ≤ - 2008	 (0,5 điểm) 
Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất là 1 Û - 2009 ≤ x ≤ - 2008	 (0,5 điểm) 
b) (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
f(x) có nghĩa Û 1 - x - 2x2 ≥ 0 
 Û (x + 1)(1 - 2x) ≥ 0 
 Û - 1 ≤ x 	(1 điểm) 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và 1 - x - 2x2 ta có:
	 	(1 điểm) 
Do đó f(x) ≤ 
Đẳng thức xảy ra Û Û x = 0	(1 điểm) 
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) là 1	(1 điểm) 
Câu 3: (6 điểm)
Vì DMP = AMQ = AIC và ADB = BCA nên DMDP ~ DICA, 	
suy ra 	(1 điểm)
Þ DM.IA = MP.ID hay DM.IA = MP.IB (1) 	(2 điểm)
Vì ADC = CBA;
DMQ = 1800 - AMQ = 1800 - AIM = BIA	
Nên DDMQ ~ DBIA 	
Þ 	(1 điểm)
hay DM.IA = MQ.IB (2) 	(1 điểm)
Từ (1) và (2) suy ra . 	(1 điểm)
Câu 4: (2 điểm)
a) (2 điểm) Rút gọn 
+ Nếu 4 < a ≤ 8 thì .	(1 điểm) 
+ Nếu a > 8 thì 	(1 điểm) 
Giáo viên ra đề: Lô Văn Cương
Trường PTCS Nậm Giải