Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 - Toán - Tin - Trường chuyên Amsterdam và Chu Văn An năm 2010 - 2011

Sở Gd - đt Hà Nội
===***===
Vòng 2
 Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 - Toán- tin
 trường Chuyên.Amsterdam và Chu văn an 
 Năm 2010-2011
Thời gian 150 phút
Ngày 23-6-2010
===***===
Bài I. (2 điểm)
Cho n là số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho 6.
Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + 1 là số nguyên tố
Bài II. (2 điểm)
	Cho phương trình: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
	Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Tìm các giá trị của m để : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2
Bài III. (2 điểm)
Cho a bất kì, chứng minh rằng: 
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình:
 y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0
Bài IV( 3 điểm)
	Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn . Đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm E, F.
Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MEF.
Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh OA. OB = R2 .
Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: 
 	PN . PK + QN . QK 
Bài V. (1 điểm)
Giải phương trình: x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1 = 0
===***===
Một số gợi ý đề chuyên Amsterdam, Chu Văn An 23.6.2010
Bài I. (2 điểm)
Cho n là số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho 6.
Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + 1 là số nguyên tố
Gợi ý :
A = (n- 1)n(n + 1) + 12n
Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 3 . suy ra điều phải chứng minh
B =(n2 – n - 1).(n2 + n - 1)
n2 – n – 1 < n2 + n – 1. để B là số nguyên tố thì n2 – n – 1= 1
suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mãn
Bài II. (2 điểm)
	Cho phương trình: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
	Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Tìm các giá trị của m để : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2
Gợi ý :
dễ có phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 
Theo vi et : thay vào , tìm được m
S =.
Sau đó xét hiệu S – () và hiệu S – () ta tìm được max, min.
Hoặc dùng phương pháp đenta
Bài III. (2 điểm)
Cho a bất kì, chứng minh rằng: 
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phơng trình:
 y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0
Gợi ý :
1) . Suy ra điều phảI chứng minh
Dấu bằng không xẩy ra.
Đặt (x - 1)2 = t ≥ 0 phương trình có dạng : y2 – (t- 1)(t + 1) = 0
Hay (y - t)(y + 1)= - 1. giải theo ước số 
Bài IV( 3 điểm)
	Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn . Đ ường tròn đường kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F.
Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF.
Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh OA. OB = R2 .
Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đờng tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: 
 	PN . PK + QN . QK 
Gợi ý : (các bạn tự vẽ hình nhé)
Ta dễ có ME, MF là tiếp tuyến của đường tròn (O), từ đó dễ chứng minh được cung EI = cung FI của đường tròn (O). Dễ dàng chứng minh được EI, FI, MI là các đường phân giác của tam giác MEF.
Gọi EF cắt OM tại H. Dễ chứng minh được : OA.OB = OH.OM = OE2.
Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔMEF và ΔMEF đều có cạnh bằng .
Sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây để chứng minh FQ ^EK.
Ta có PN. PK + QN.QK = 2.SKPNQ Ê KN.QP dấu bằng khi KN ^ PQ.	(*)
Mà N là trực tâm ΔEKF, nên KN = 2. IH = R (1)
Ta có ΔKPQ đồng dạng với ΔKEF , nên ịPQ =(2)
Thay (1), (2) vào (*) ta có điều phải chứng minh.
dấu bằng khi KN ^ PQ hay N, I trùng nhau
Bài V. (1 điểm)
Giải phương trình: x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1 = 0
Gợi ý :
Nếu x ≥ 1Thì VT = (x8 – x7) + (x5 – x4) + (x3 – x) + 1 ≥ 1 không có nghiệm
Nếu 1> x > 0Thì VT = (x5 – x7) + (x3 – x4) + (1 – x) + x8> 0 không có nghiệm
Nếu x Ê 0 thì VT > 1 không có nghiệm
Vậy pt vô nghiệm