Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Chuyên đề 1
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I.  CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1. Phương phỏp đặt nhõn tử chung
–       Tỡm nhõn tử chung là những đơn, đa thức cú mặt trong tất cả cỏc hạng tử.
–       Phõn tớch mỗi hạng tử thành tớch của nhõn tử chung và một nhõn tử khỏc.
–     Viết nhõn tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết cỏc nhõn tử cũn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chỳng).
Vớ dụ 1. Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử.
28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y)
xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2. Phương phỏp dựng hằng đẳng thức
-       Dựng cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ để phõn tớch đa thức thành nhõn tử.
-       Cõ̀n chú ý đờ́n viợ̀c vọ̃n dụng hằng đẳng thức.
Vớ dụ 2. Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử.
9x2 – 4 = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( 4 + 6ab2  + 9a2b4)
25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3. Phương phỏp nhúm nhiều hạng tử
–       Kết hợp cỏc hạng tử thớch hợp thành từng nhúm.
–       Áp dụng liờn tiếp cỏc phương phỏp đặt nhõn tử chung hoặc dựng hằng đẳng thức.
Vớ dụ 3. Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử
              2x3 -3x2 + 2x -3 = ( 2x3 + 2x) - (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) - 3( x2 + 1)
                                 = ( x2 + 1)( 2x - 3)
x2  – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
4. Phối hợp nhiều phương phỏp
-       Chọn cỏc phương phỏp theo thứ tự ưu tiờn.
-       Đặt nhõn tử chung.
-       Dựng hằng đẳng thức.
-       Nhúm nhiều hạng tử.
Vớ dụ 4. Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử
              3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2–4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3  – 6axy2 – 3a2xy + 3xy =
              = 3xy(x2 –2y – y2 – 2ay - a2 + 1)
              = 3xy[( x2 - 2x + 1)- (y2 + 2ay + a2)]
              = 3xy[(x - 1)2 - (y + a)2]
              = 3xy[(x - 1) - (y + a)][(x -1) + (y + a)]
              = 3xy( x -1 -y - a)(x - 1 + y + a)
II.  PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
1. Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
a)    Cỏch 1 (tỏch hạng tử bậc nhất bx):
Bước 1: Tỡm tớch ac, rồi phõn tớch ac ra tớch của hai thừa số nguyờn bằng mọi cỏch.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 =  = ai.ci = 
Bước 2: Chọn hai thừa số cú tổng bằng b, chẳng hạn chọn tớch a.c = ai.ci với b = ai + ci
Bước 3: Tỏch bx = aix + cix. Từ đú nhúm hai số hạng thớch hợp để phõn tớch tiếp.
Vớ dụ 5. Phõn tớch đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
-       Phõn tớch ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
-       Tớch của hai thừa số cú tổng bằng b = 8 là tớch a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
-       Tỏch 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
      3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
                        = (x + 2)(3x +2)
b)    Cỏch 2 (tỏch hạng tử bậc hai ax2)
-       Làm xuất hiện hiệu hai bỡnh phương :
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
   = (x + 2)(3x + 2)
-       Tỏch thành 4 số hạng rồi nhúm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
          = (x + 2)(3x + 2)
   f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) =  = (x + 2)(3x + 2)
c)     Cỏch 3 (tỏch hạng tử tự do c)
-       Tỏch thành 4 số hạng rồi nhúm thành hai nhúm:
   f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) =  = (x + 2)(3x + 2)
d)    Cỏch 4 (tỏch 2 số hạng, 3 số hạng)
        f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
        f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) =  = (x + 2)(3x + 2)
e)     Cỏch 5 (nhẩm nghiệm): Xem phần III.
Chỳ ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c cú dạng A2 ± 2AB + c thỡ ta tỏch như sau :
                 f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Vớ dụ 6. Phõn tớch đa thức f(x) = 4x2 - 4x - 3 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x. Từ đú ta cần thờm và bớt 12 = 1 để xuất hiện hằng đẳng thức.
Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1)
Vớ dụ 7. Phõn tớch đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhõn tử.
Lời giải
Cỏch 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – 5 = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
               = (3x - 1)(3x + 5)
    Cỏch 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) - 9 = (3x + 2)2 - 32 = (3x - 1)(3x + 5)
2. Đối với đa thức bậc từ 3 trở lờn (Xem mục III. Phương phỏp nhẩm nghiệm)
3. Đối với đa thức nhiờ̀u biờ́n
Vớ dụ 11. Phõn tớch các đa thức sau thành nhõn tử
a)     2x2 - 5xy + 2y2 ;
b)    x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Hướng dẫn
a)     Phõn tích đa thức này tương tự như phõn tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.
Ta tách hạng tử thứ 2 :
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)
a)     Nhọ̃n xét z - x = -(y - z) - (x - y). Vì vọ̃y ta tách hạng tử thứ hai của đa thức :
x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z)
= (x - y)(y - z)(x - z)
Chú ý :
1) Ở cõu b) ta có thờ̉ tách y - z = - (x - y) - (z - x) (hoặc z - x= - (y - z) - (x - y))
2) Đa thức ở cõu b) là mụ̣t trong những đa thức có dạng đa thức đặc biợ̀t. Khi ta thay x = y (y = z hoặc  z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vọ̃y, ngoài cách phõn tích bằng cách tách như trờn, ta còn cách phõn tích bằng cách xét giá trị riờng (Xem phõ̀n VII).
III.  PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM
Trước hết, ta chỳ ý đến một định lớ quan trọng sau :
        Định lớ : Nếu f(x) cú nghiệm x = a thỡ f(a) = 0. Khi đú, f(x) cú một nhõn tử là x – a và f(x) cú thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
        Lỳc đú tỏch cỏc số hạng của f(x) thành cỏc nhúm, mỗi nhúm đều chứa nhõn tử là   x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyờn của đa thức, nếu cú, phải là một ước của hệ số tự do.
        Vớ dụ 8. Phõn tớch đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhõn tử.
Lời giải
        Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2,  4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa thức f(x) cú một nghiệm x = –2, do đú nú chứa một nhõn tử là x + 2. Từ đú, ta tỏch như sau
Cỏch 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
                   = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
                   = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
                 = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cỏch 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
                   = (x + 2)(x2 – x + 2).
        Từ định lớ trờn, ta cú cỏc hệ quả sau :
Hệ quả 1. Nếu f(x) cú  tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ f(x) cú một nghiệm là x = 1. Từ đú f(x) cú một nhõn tử là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 cú 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nờn x = 1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cú một nhõn tử là x – 1. Ta phõn tớch như sau :
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
     = (x – 1)( x – 2)2
Hệ quả 2. Nếu f(x) cú tổng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của cỏc luỹ thừa bậc lẻ thỡ f(x) cú một nghiệm x = –1. Từ đú f(x) cú một nhõn tử là  x + 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 cú 1 + 3 = –5 + 9 nờn x = –1 là một nghiệm của đa thức. Đa thức cú một nhõn tử là x + 1. Ta phõn tớch như sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
              = (x + 1)( x – 3)2
 Hệ quả 3. Nếu f(x) cú nghiệm nguyờn x = a và f(1) và f(–1) khỏc 0 thỡ và đều là số nguyờn.
Vớ dụ 9. Phõn tớch đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
Cỏc ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nờn ± 1 khụng phải là nghiệm của f(x).
Dễ thấy  khụng là số nguyờn nờn –3, ± 6, ± 9, ± 18 khụng là nghiệm của f(x). Chỉ cũn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x). Do đú, ta tỏch cỏc hạng tử như sau :
               = (x - 3)(4x2 - x + 6)
Hệ quả 4. Nếu  (là cỏc số nguyờn) cú nghiệm hữu tỉ  , trong đú p, q  Z và (p , q)=1, thỡ p là ước a0, q là ước dương của an .
Vớ dụ 10. Phõn tớch đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 thành nhõn tử.
Hướng dẫn
        Cỏc ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy cỏc số này khụng là nghiệm của f(x). Như vậy f(x) khụng cú nghiệm nghuyờn. Xột cỏc số , ta thấy  là nghiệm của đa thức, do đú đa thức cú một nhõn tử là 3x – 1. Ta phõn tớch như sau :
        f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
IV.  PHƯƠNG PHÁP THấM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1. Thờm và bớt cựng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bỡnh ph ương
        Vớ dụ 12. Phõn tớch đa thức x4 + x2 + 1 thành nhõn tử
Lời giải
Cỏch 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
        Cỏch 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
                                    = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cỏch 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
                                    = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Vớ dụ 13. Phõn tớch đa thức x4 + 16 thành nhõn tử
Lời giải
Cỏch 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cỏch 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
                         = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
2. Thờm và bớt cựng một hạng tử làm xuất hiện nhõn tử chung
        Vớ dụ 14. Phõn tích đa thức x5 + x - 1 thành nhõn tử
Lời giải
        Cách 1.
x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Cách 2. Thờm và bớt x2 :
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Vớ dụ 15. Phõn tích đa thức x7 + x + 1 thành nhõn tử
Lời giải
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
                         = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)                    
  = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
                         = (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2  - x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng  x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đờ̀u chứa nhõn tử là x2 + x + 1.
V.  PHƯƠNG PHÁP Đễ̉I BIấ́N
Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai  rồi sử dụng các phương phỏp cơ bản.
Vớ dụ 16. Phõn tích đa thức sau thành nhõn tử :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
        (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
                                         = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
     ... – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) 
=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) 
Tương tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) 
Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp: 
Tồn tại một bội số của 5 (nên A 5 ) 
Tồn tại một bội của 7 (nên A 7 ) 
Tồn tại hai bội của 3 (nên A 9 )
Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A 16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau A 5.7.9.16= 5040
Ví dụ 2: Chưng minh rằng với mọi số nguyên a thì : 
a/ a3 –a chia hết cho 3 b/ a5-a chia hết cho 5 
Giải:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) là tích của các số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3 
b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) 
Cách 1:
Ta xết mọi trường hợp về số dư khi chia a cho 5
Nếu a= 5 k (kZ) thì A 5 (1)
Nếu a= 5k 1 thì a2-1 = (5k21) 2 -1 = 25k2 10k5 A 5 (2)
Nếu a= 5k 2 thì a2+1 = (5k2)2 + 1 = 25 k220k +5 A 5 (3) 
Từ (1),(2),(3) A 5, n Z
Cách 2: 
Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :
+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa số 5 
Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) 
 = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) 
Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tích của 5 số nguyên liên tiếp )
 5a (a2-1) 5 
Do đó a5-a 5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a và tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
Ta có: 
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) 
= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
 a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 
Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(Tính chất chia hết của một hiệu)
c/ Khi chứng minh tính chia hết của các luỹ thừa ta còn sử dụng các hằng đẳng thức:
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +abn-2+ bn-1) (HĐT 8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1) (HĐT 9)
Sử dụng tam giác Paxcan:
 1
 1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
..
Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.
Do đó: Với a, b Z, n N: 
an – bn chia hết cho a – b( ab)
a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a-b)
(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số của a)
(a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn.
Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN thì:
A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hết cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn)
Mà 162 – 1 = 255 17. Vậy A17
- Nếu n lẻ thì : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mà n lẻ thì 16n + 116+1=17 (HĐT 9) 
A không chia hết cho 17
+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thức Niu Tơn)
Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17
Nếu n lẻ thì A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Không chia hết cho 17 
Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn, n N
d/ Ngoài ra còn dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết.
VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004.....2004
Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004
 a2 = 2004 2004
 a3 = 2004 2004 2004
 ..................
 a2004 = 2004 20042004
 2004 nhóm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003.
Gọi hai số đó là am và an ( 1 n <m 2004) thì am - an 2003
Ta có: am - an = 2004 20042004 00000
 m-n nhóm 2004 4n
 hay am - an = 2004 20042004 . 104n
 m-n nhóm 2004
 mà am - an 2003 và (104n , 2003) =1
nên 2004 20042004 2003
 m-n nhóm 2004
2. Tìm số dư 
* VD1:Tìm số dư khi chia 2100 
a/ cho 9 b/ cho 25
Giải:
a/ Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1
Ta có : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn)
= BS9 – 2 = BS9 + 7
Vậy 2100 chia cho 9 dư 7
b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1
Ta có: 
2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn)
Vậy 2100 chia cho 25 dư 1
* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân
Giải:
Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 2 và 54 = 625
Ta thấy số tận cùng bằng 0625 khi nâng lên luỹ thừa nguyên dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625
Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. (0625)= 5625
Cách 2: Tìm số dư khi chia 51994 ch 10000 = 24.54
 Ta thấy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hết cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16
Ta có 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mà 56 54 và 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hết cho 16
 ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625
51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 dư 15625
Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625
3. Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:
A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n
Giải: 
n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n
n3 – n2 n + 3
 3n2 - 3n + 2 
 3n2 – 3n
 2
Ta có: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) +
Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B n2 – n Ư(2) 
 2 chia hết cho n(n – 1) 
 2 chia hết cho n
Ta có bảng: 
n
1
-1
2
-2
n – 1
0
-2
1
-3
n(n – 1)
0
2
2
6
Loại
T/m
T/m
Loại
Vậy với n = -1, n = 2 thì giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B
VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Giải: 
 n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)
n – 1 n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1
Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1
 1n2 – n + 1
Xét hai trường hợp:
+ n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thử lại thấy t/m đề bài
+ n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn
VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7
Giải:
Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1
Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k8 – 1 = 7
Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1
 = 2. BS7 + 1 
2n - 1 không chia hết cho 7
Nếu n = 3k +2(k N) thì 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 
 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 
2n - 1 không chia hết cho 7
Vậy 2n - 17 n = 3k (k N)
*Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn
b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ
Giải
a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]
 = n(n+2)(n + 4)
Với n chẵn, n = 2k ta có:
n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8
b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) 
 = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)
Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:
n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3)
 = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16
Bài 2: Chứng minh rằng
a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n
b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dương n
Giải:
Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)]
 = n2(n2 + 2)(n2 – 1).
Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1
Xét các trường hợp:
+ Với n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8
+ Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8
Tương tự xét các trường hợp n = 3a, n= 3a 1 để chứng minh A9
Vậy A8.9 hay A72
Bài 3: Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a2 – 1 chia hết cho 24
Giải:
Vì a2 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a lẻa2 là số chính phương lẻ 
a2 chia cho 8 dư 1
 a2 – 1 chia hết cho 8 (1)
Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3 
a2 là số chính phương không chia hết cho 3a2 chia cho 3 dư 1
 a2 – 1 chia hết cho 3 (2)
Mà (3,8) = 1 (3)
Từ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hết cho 24
Bài 4: Chứng minh rằng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho 7 thì a6 -1 chia hết cho 7
Giải: 
Bài toán là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:
- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p
- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chia hết cho p
Thật vậy, ta có a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)
Nếu a = 7k 1 (k N) thì a3 = ( 7k 1)3 = BS7 1 a3 - 17
Nếu a = 7k 2 (k N) thì a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17
Nếu a = 7k 3 (k N) thì a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17
Ta luôn có a3 + 1 hoặc a3 – 1 chia hết cho 7. Vậy a6 – 1 chia hết cho 7
Bài 5: Chứng minh rằng:
Nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504
Giải:
Ta có 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một
Vì n là lập phương của một số tự nhiên nên đặt n = a3
Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504
Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8
 Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp(a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8
Vậy A8 , nN (1)
+ Nếu a7 a37 A7
 Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 17(a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma)
Vậy A7 , nN (2)
+ Nếu a3 a39 A9
Nếu a không chia hấe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91 
a3 – 1 = BS9+1 – 1 9
 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9
Vậy A9 , nN (3)
Từ (1), (2), (3) A9 , nN 
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
a/ 12n2 – 5n – 25
b/ 8n2 + 10n +3
c/ 
Giải:
a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố và 4n +5 > 0 nên 3n – 5 > 0.
 Ta lại có: 3n – 5 < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ngưyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2
Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố.
Vậy với n = 2 thì giá trị của biểu thức 12n2 – 5n – 25 là số nguyên tố 13
b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
Biến đổi tương tự ta được n = 0. Khi đó, 8n2 + 10n +3 là số nguyên tố 3
c/ A = . Do A là số tự nhiên nên n(n + 3) 4. 
Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn. Vậy hoặc n , hoặc n + 3 chia hết cho 4
- Nếu n = 0 thì A = 0, không là số nguyên tố
- Nếu n = 4 thì A = 7, là số nguyên tố
-Nếu n = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k + 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số 
- Nếu n + 3 = 4 thì A = 1, không là số nguyên tố
- Nếu n + 3 = 4k với kZ, k > 1 thì A = k(4k - 3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên A là hợp số.
Vậy với n = 4 thì là số nguyên tố 7
Bài 7: Đố vui: Năm sinh của hai bạn
Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhườ khách đến thăm trường gặp hai học sinh. Người khách hỏi:
Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?
Bạn Mai trả lời:
Không, em hơn bạn em một tuổi. Nhưng tổng các chữ số của năm sinh mỗi chúng em đều là số chẵn.
Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không?
Người khách đã suy luận thế nào?
Giải:
Chữ số tận cùng của năm sinh hai bạn phảI là 9 và 0 vì trong trường hợp ngựoc lại thì tổng các chữ số của năm sinh hai bạn chỉ hơn kém nhau là 1, không thể cùng là số chẵn.
Gọi năm sinh của Mai là thì 1 +9+a+9 = 19 + a. Muốn tổng này là số chẵn thì a{1; 3; 5; 7; 9}. Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999. Vậy Mai sinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980.