Giáo án môn Vật lý 9 - Chuyên đề 1: Dao động cơ học

CHUYÊN ĐỀ 1: DAO ĐỘNG CƠ HỌC
I. Đại cương về dao động điều hòa
1. Các định nghĩa về dao động cơ 
♦ Dao động cơ học. 
- Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng. 
♦ Dao động tuần hoàn 
- Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (Chu kì dao động) 
♦ Dao động điều hòa 
- Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cos hay sin theo thời gian. 
2. Phương trình dao động điều hòa 
♦ Phương trình li độ: 
- Phương trình dao động : 
Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa :
         + x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính (cm, m..) 
         + A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính (cm, m..) 
         + ω : tần số góc của dao động , đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động. Đơn vị tính (rad/s). 
         + φ : pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu. Đơn vị tính (rad)
         +  (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t. Đơn vị tính (rad) 
* Chú ý : Biên độ dao động A luôn là hằng số dương. 
♦ Phương trình vận tốc 
Nhận xét : 
- Vận tốc nhanh pha hơn li độ một góc:  
-   luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0). 
♦ Phương trình gia tốc
Nhận xét : 
- Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc một góc  , nhanh pha hơn li độ góc π. 
-  luôn hướng về vị trí cân bằng. 
♦ Phương trình liên hệ giữa x, A, v và ω độc lập với thời gian: 
* Chú ý : 
Khi vật ở VTCB : x = 0; |v|max = ωA; |a|min = 0 
Khi vật ở biên : x = ±A; |v|min = 0; |a|max = ω2A 
3. Các đại lượng trong dao động cơ 
♦ Chu kì dao động T (s):
Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện được một dao động toàn phần, hay là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động được lặp lại như cũ. Nếu trong khoảng thời gian Δt vật thực hiện được N dao động thì ta có: Δt = N.T 
♦ Tần số dao động f (Hz):
 Là số lần dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ dao động. 
♦ Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc:
Biểu thức: 
4. Năng lượng trong dao động cơ:
                                                Cơ năng = Động năng + Thế năng. 
♦ Động năng:                      
♦ Thế năng :                      
♦ Định luật bảo toàn cơ năng: W = Wđ + Wt = = Wđmax = Wtmax = const 
Trong quá trình dao động thì động năng và thế năng có sự biến đổi qua lại, động năng tăng thì thế năng giảm và ngược lại nhưng tổng của chúng là cơ năng (năng lượng toàn phần) luôn được bảo toàn. 
* Chú ý : 
- Dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2 
- Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( nЄN*) là:  . 
5. Cách lập phương trình dao động điều hòa 
Gọi phương trình dao động là x = Acos(ωt + φ) (cm).  Để viết phương trình dao động chúng ta cần tìm ba đại lượng A, ω, φ 
- Tìm ω từ các công thức: 
- Tìm A, φ từ điều kiện ban đầu. 
* Chú ý : 
- Với thể loại bài toán lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài không yêu cầu thì để cho đơn giản hóa bài toán chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. 
- Khi thả nhẹ thì ta hiểu là vận tốc ban đầu v0 = 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu v0 ≠ 0 thì chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông số khác. 
6. Ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Một vật dao động điều hòa với phương trình : 
a. Tính biên độ dao động, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số dao động. 
b. Lập phương trình vận tốc và phương trình gia tốc. 
c. Li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 4s; t = 4,2s. 
d. Giá trị cực đại của li độ, vận tốc và gia tốc. 
Hướng dẫn giải: 
Đây là một bài toán rất cơ bản về dao động điều hòa. Để làm tốt chúng ta chỉ cần nhớ các đặc trưng cơ bản nhất của dao động điều hòa. 
a. Đối chiếu với phương trình dao động điều hòa tổng quát   ta tìm được các đại lượng : 
- Biên độ dao động A = 4cm 
- Tần số góc:                
- pha ban đầu:               
- Chu kỳ dao động:      
- Tần số dao động:       
b. Phương trình vận tốc: 
Phương trình gia tốc:  
c. Tại thời điểm t = 4s: 
Tại thời điểm t = 4,2s: 
d. Li độ cực đại:  xmax = A = 4cm 
Vận tốc cực đại: 
Gia tốc cực đại: 
Ví dụ 2: 
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2s và biên độ dao động là 2cm. Viết phương trình dao động trong các trường hợp sau: 
a. khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. 
b. khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương. 
Hướng dẫn giải: 
Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là: 
Tần số góc dao động: 
a. Khi t = 0 ta có: 
Tần số góc dao động: 
Vậy phương trình dao động của vật là: 
b. Khi t = 0 ta có: 
Vậy phương trình dao động của vật là: 
Ví dụ 3:
Một vật dao động điều hòa có phương trình: . Vận tốc của vật khi vật qua vị trí có li độ x = 3cm là bao nhiêu? 
Hướng dẫn giải : 
Đây là dạng bài toán mà cho biết 3 trong 4 đại lượng x, v, A và ω. Để giải quyết đơn giản chúng ta sử dụng hệ thức liên hệ. Áp dụng hệ thức liên hệ giữa x, v, A và ω ta có: 
Ví dụ 4: 
Một vật dao động điều hòa với phương trình: . Tìm những thời điểm mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. 
Hướng dẫn giải : 
Đối với những dạng bài tập tìm thời điểm (thời gian t) thì chúng ta chỉ cần quan tâm đến li độ và chiều chuyển động ở thời điểm đó rồi giải phương trình lượng giác tìm t. Cụ thể với bài toán này thì thời gian t mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm thỏa mãn hệ phương trình: 
8. Bài tập luyện tập: 
Bài 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình: x = 2cos(10πt + π/4 ) (cm)
a) Hãy cho biết biên độ, tần số, chu kì và pha ban đầu của dao động. 
b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5s. 
Bài 2: Hệ dao động đều hoà gồm quả cầu và lò xo. Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại của quả cầu lần lượt là : amax = 18m/s2 và vmax = 3m/s . Xác định tần số và biên độ dao động của hệ. 
Bài 3: Một vật dao động với biên độ 3cm, chu kì 0,5s. Tại thời điểm t = 0, hòn bi đi qua vị trí cân bằng.
a) Viết phương trình dao động của vật. 
b) Hòn bi có li độ x = 1,5cm; x = 3cm vào những thời điểm nào? 
Bài 4: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục x với biên độ 10 cm và chu kì 2s. Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động trong các trường hợp: 
a) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương. 
b) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ cực đại theo chiều âm. 
c) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ x = +5 cm và đi theo chiều dương. 
Bài 5: Viết phương trình dao động của một chất điểm dao động điều hòa trong các trường hợp sau: 
a) Tần số f = 0,5 Hz, lúc t = 0 chất điểm có li độ x = cm, đi theo chiều dương và có tốc độ cm/s. 
b) Lúc t = 0, chất điểm có li độ x = 4 cm và v = 0. Vận tốc của chất điểm có giá trị cực đại là 8π cm/s.
II. Con lắc lò xo
1. Cấu tạo:
- Con lắc lò xo gồm một là xo có độ cứng k (N/m) có khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn lại gắng vào vật có khối lượng m. 
- Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động trong giới hạn đàn hồi. 
2. Phương trình dao động của con lắc lò xo 
x = Acos (ωt + φ) (cm) 
Với: 
• x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. (cm) 
• A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm) 
• ω : tần số góc của dao động (rad/s) 
• φ : pha ban đầu của dao động (t = 0) 
• (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t. (rad) 
♦ Tần số góc:
 (rad/s) 
♦ Chu kì:
♦ Tần số:
3. Năng lượng dao động của con lắc lò xo
♦ Động năng: 
♦ Thế năng (thế năng đàn hồi của lò xo): 
♦ Cơ năng: 
Đơn vị : k (N.m); m (kg); x (m); A (m) 
4. Các dạng dao động của con lắc lò xo 
4.1. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng ngang. 
Đặc điểm: 
- Tại vị trí cân bằng lò xo không bị biến dạng, . 
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo chính là lực hồi phục với 
4.2. Con lắc lò xo chuyển động thẳng đứng. 
Đặc điểm: 
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức . Mà nên . Từ đó ta có công thức tính chu kỳ tần số dao động của con lắc lò xo trong trường hợp này:
- Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động: 
• Chiều dài tại VTCB:   
• Chiều dài cực đại :  
• Chiều dài cực tiểu : 
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao động (Fdh): 
• Phương : cùng phương chuyển động của vật. 
• Chiều : luôn hướng về phía vị trí cân bằng. 
• Độ lớn : , với   là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (lò xo có thể bị dãn hoặc nén). Gọi x là vị trí đang xét . 
Chú ý : 
Việc chọn dấu + hay – trong công thức trên phụ thuộc vào việc lò xo bị dãn hay nén và chiều dương mà ta chọn như thế nào. 
• Đơn vị : Fdh (N); k(N/m); (m) 
Các trường hợp đặc biệt: 
- Lực đàn hồi cực đại : 
- Lực đàn hồi cực tiểu : 
Chú ý : Nếu đề bài cho biết tỉ số thì ta hiểu là . 
4.3. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang. 
Đặc điểm : 
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức . Mà  nên :
- Chiều dài của lò xo tại vị trí cân bằng cũng như chiều dài cực đại và cực tiểu tính tương tự như trường hợp vật chuyển động thẳng đứng. 
5. Cắt ghép lò xo 
5.1. Lò xo ghép song song: 
Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – vật – lò xo 2. 
Công thức tính : gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó k = k1 + k2
Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:
5.2. Lò xo ghép nối tiếp: 
Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – lò xo 2 – vật. 
Công thức tính : Gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó 
Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:
5.3. Cắt lò xo: 
Một lò xo có độ cứng k, chiều dài  được cắt thành các lò xo có độ cứng k1, k2,  và chiều dài tương ứng là  thì có: 
*Chú ý : Gắn lò xo có độ cứng k vào vật khối lượng m1 được chu kỳ T1, vào vật khối lượng m2 được T2, vào vật khối lượng (m1 + m2) được chu kỳ T3, vào vật khối lượng (m1 – m2), (m1 > m2) được chu kỳ T4. Khi đó ta có :   và  . 
6. Ví dụ:
Ví dụ 1 : 
Một vật nặng có khối lượng m = 500g được treo vào đầu một lò xo theo phương thẳng đứng, độ cứng lò xo k = 0,5N/cm. Lấy g = 10m/s2. 
a. Lập phương trình dao động, chọn gốc thời gian là khi vật có vận tốc v=20cm/s và gia tốc 
b. Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động. 
c. Tính thế năng và động năng của vật ở thời điểm t = , với T là chu kỳ dao động. 
Hướng dẫn giải : 
a. Gọi phương trình dao động của vật là .  
Khi treo lò xo thẳng đứng, t ... , g = 9,86 m/s2. Nó dao động với phương trình: 
a. Tìm chiều dài và năng lượng dao động của con lắc. 
b. Tại t = 0 vật có li độ và vận tốc bằng bao nhiêu?
c. Tính vận tốc của con lắc khi nó ở vị trí 
d. Tìm thời gian nhỏ nhất (tmin) để con lắc đi từ vị trí có Động năng cực đại đến vị trí mà Wđ = 3Wt 
Hướng dẫn giải : 
a. Ta có: 
Biên độ dài của con lắc là A = 
Năng lượng dao động của con lắc là: 
b. Từ giả thiết ta có phương trình theo li độ dài của con lắc:
Từ đó phương trình vận tốc : 
Tại t = 0 thì 
c. Khi  
Từ đó ta được: . 
Thay giá trị m = 0,2kg và W tính được ở câu a ta tìm được v. 
d. Áp dụng công thức ở (1) ta có : Khi động năng cực đại vật ở Vị trí cân bằng (α = 0). 
Khi động năng bằng 3 lần thế năng ta có :
 Vậy bài toán trở thành tìm tmin khi vật đi từ vị trí có α = 0 đến vị trí có 
Ta dễ dàng tìm được 
IV. Tổng hợp dao động điều hòa
1. Tổng hợp dao động điều hòa
 Xét một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là ; . Khi đó dao động tổng hợp  có biểu thức là . Trong đó: 
Đặc điểm: 
- Biên độ dao động tổng hợp A luôn thỏa mãn : 
- Độ lệch pha φ thỏa mãn: 
2. Độ lệch pha của hai dao động và ứng dụng 
a. Khái niệm: 
Độ lệch pha của hai dao động là hiệu hai pha của hai dao động đó và được kí hiệu là Δφ, được tính theo biểu thức Δφ = φ2 - φ1 hoặc Δφ = φ1 - φ2 
b. Một số các trường hợp đặc biệt:
• Khi Δφ = k2π thì hai dao động cùng pha: A = Amax = A1 + A2
• Khi Δφ = (2k + 1)π  thì hai dao động ngược pha: A = Amin = |A2 - A1|
• Khi thì hai dao động vuông pha: 
* Chú ý :
- Khi hai phương trình dao động chưa có cùng dạng (cùng dạng sin hoặc cùng dạng cosin) thì ta phải sử dụng công thức lượng giác để đưa về cùng dạng. Cụ thể ; , hay để đơn giản dễ nhớ thì khi chuyển phương trình sin về cosin ta bớt đi  còn đưa từ dạng cosin về sin ta thêm vào . 
- Khi hai dao động thành phần có cùng pha ban đầu φ1 = φ2 = φ hoặc có cùng biên độ dao động A1 = A2 = A thì ta có thể sử dụng ngay công thức lượng giác để tổng hợp dao động. Cụ thể: 
3. Ví dụ:
Ví dụ 1: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là . 
a. Viết phương trình của dao động tổng hợp. 
b. Vật có khối lượng là m = 100g, tính năng lượng dao động của vật. 
c. Tính tốc độ của vật tại thời điểm t = 2s. 
* Hướng dẫn giải: 
a. Ta chuyển x2 về dạng phương trình cosin để tổng hợp:
Khi đó hai dao động thành phần có cùng pha ban đầu, áp dụng chú ý ta được:
Vậy phương trình dao động tổng hợp của vật là: 
b. Từ phương trình dao động tổng hợp ở câu a ta có A = 3cm; ω = 100π (rad/s) 
Năng lượng dao động là: 
c. Từ phương trình dao động: 
Tại t = 2s ta được: 
Ví dụ 2: Một vật tham gia đồng thời vào dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là . Biết tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động là vmax = 140 (cm/s). Tính biên độ dao động A1 của vật. 
* Hướng dẫn giải: 
Ta có: 
Mà: 
Giải phương trình ta được hai nghiệm là A1 = 8(cm) và A1 = -5 (cm) 
Loại nghiệm âm ta được A1 = 8(cm) 
V. Dao động tắt dần - Dao động cững bức
1. Dao động tự do
- Là dao động mà chu kỳ dao động của vật chỉ phụ thuộc vào các đặc tính của hệ. 
2. Dao động tắt dần
a. Khái niệm: 
Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian 
b. Đặc điểm:
- Dao động tắt dần xảy ra khi có ma sát hoặc lực cản của môi trường lớn. Ma sát càng lớn thì dao động tắt dần càng nhanh 
- Biên độ dao động giảm nên năng lượng của dao động cũng giảm theo 
3. Dao động duy trì 
Nếu cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động tắt dần (bằng cách tác dụng một ngoại lực cùng chiều với chiều chuyển động của vật dao động trong từng phần của chu kì) để bù lại phần năng lượng tiêu hao do ma sát mà không làm thay đổi chu kì dao động riêng của nó, khi đó vật dao động mải mải với chu kì bằng chu kì dao động riêng của nó, dao động này gọi là dao động duy trì. Ngoại lực tác dụng lên vật dao động thường được điều khiển bởi chính dao động đó. 
4. Dao động cưỡng bức: 
a. Khái niệm: 
Dao động cưỡng bức là dao động mà hệ chịu thêm tác dụng của một ngoại lực biến thiên tuần hoàn có biểu thức F=F0sin(ωt). 
b. Đặc điểm 
- Ban đầu khi tác dụng ngoại lực thì hệ dao động với tần số dao động riêng f0 của vật. 
- Sau khi dao động của hệ được ổn định (thời gian từ lúc tác dụng lực đến khi hệ có dao động ổn định gọi là giai đoạn chuyển tiếp) thì dao động của hệ là dao động điều hoà có tần số bằng tần số ngoại lực. 
- Biên độ dao động của hệ phụ thuộc vào biên độ dao động của ngoại lực (tỉ lệ với biên độ của ngoại lực) và mối quan hệ giữa tần số dao động riêng của vật f0 và tần số f dao động của ngoại lực (hay |f - f0|). Đồ thị dao động như hình vẽ: 
5. Hiện tượng cộng hưởng: 
Nếu tần số ngoại lực (f) bằng với tần số riêng (f0) của vật thì biên độ dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại, hiện tượng này gọi là hiện tượng cộng hưởng. 
Ví dụ: Một người xách một xô nước đi trên đường, mỗi bước đi được 50cm. Chu kỳ dao động riêng của nước trong xô là 1s. Nước trong xô bị sóng sánh mạnh nhất khi người đó đi với tốc độ là bao nhiêu? 
* Hướng dẫn giải: 
Nước trong xô bị sóng sánh mạnh nhất khi xảy ra hiện tượng cộng hưởng, khi đó chu kỳ của dao động của người bằng với chu kỳ dao động riêng của nước trong xô => T = 1(s) 
Khi đó tốc độ đi của người đó là: 
6. Phân biệt Dao động cưỡng bức và dao động duy trì 
a. Dao động cưỡng bức với dao động duy trì: 
• Giống nhau: 
- Đều xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực. 
- Dao động cưỡng bức khi cộng hưởng cũng có tần số bằng tần số riêng của vật. 
• Khác nhau: 
* Dao động cưỡng bức                                                                                
- Ngoại lực là bất kỳ, độc lập với vật 
- Sau giai đoạn chuyển tiếp thì dao động cưỡng bức có tần số bằng tần số f của ngoại lực 
- Biên độ của hệ phụ thuộc vào F0 và |f – f0| 
* Dao động duy trì 
- Lực được điều khiển bởi chính dao động ấy qua một cơ cấu nào đó 
- Dao động với tần số đúng bằng tần số dao động riêng f0 của vật 
- Biên độ không thay đổi 
b. Cộng hưởng với dao động duy trì: 
• Giống nhau: Cả hai đều được điều chỉnh để tần số ngoại lực bằng với tần số dao động tự do của hệ. 
• Khác nhau: 
* Cộng hưởng 
- Ngoại lực độc lập bên ngoài. 
- Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì dao động do công ngoại lực truyền cho lớn hơn năng lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu kì đó.
* Dao động duy trì 
- Ngoại lực được điều khiển bởi chính dao động ấy qua một cơ cấu nào đó. 
- Năng lượng hệ nhận được trong mỗi chu kì dao động do công ngoại lực truyền cho đúng bằng năng lượng mà hệ tiêu hao do ma sát trong chu kì đó. 
7. Bổ sung: các công thức tính toán trong dao động tắt dần 
a. Định lý động năng 
Độ biến thiên năng lượng của vật trong quá trình chuyển động từ (1) đến (2) bằng công của quá trình đó. 
W2 - W1 = A, với A là công. 
W2 > W1 thì A > 0, (quá trình chuyển động sinh công) 
W2 < W1 thì A < 0, (A là công cản) 
b.Thiết lập công thức tính toán 
Xét một vật dao động tắt dần, có biên độ ban đầu là A0. Biên độ của vật giảm đều sau từng chu kỳ. Gọi biên độ sau một nửa chu kỳ đầu tiên là A1 
• Áp dụng định lý động năng ta có , với F là lực tác dụng là vật dao động tắt dần và s là quãng đường mà vật đi được. Ta có s = A1 + A0 
Khi đó , hay 
Gọi A2 là biên độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ ở cuối chu kỳ đầu tiên) 
Ta có , (2) 
Từ (1) và (2) ta có 
Tổng quát, sau N chu kỳ 
Nếu sau N chu kỳ mà vật dừng lại thì A2N = 0, khi đó ta tính được số chu kỳ dao động 
Do trong một chu ky vật đi qua vị trí cân bằng 2 lần nên số lần mà vật qua vị trí cân bằng là: 
Từ đây ta cũng tính được khoảng thời gian mà từ lúc vật dao động đến khi dừng lại là Δt = N.T 
• Cũng áp dụng định lý động năng: , khi vật dừng lại (A2N = 0), ta tính được quãng đường mà vật đi được: 
* Chú ý: Lực F thường gặp là lực ma sát (F = Fms = μmg ), với μ là hệ số ma sát và lực cản (F = Fc). 
* Kết luận: 
Từ những chứng minh trên ta rút ra một số các công thức thường được sử dụng trong tính toán: 
- Độ giảm biên độ: 
- Quãng đường mà vật đi được trước khi dừng lại:  
- Số chu kỳ mà vật thực hiện được (số dao động): 
=> Số lần vật qua vị trí cân bằng (n) và khoảng thời gian mà vật dao động rồi dừng lại (Δt) tương ứng là: 
Ví dụ 1: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3%. Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là bao nhiêu? 
* Hướng dẫn giải: 
Gọi A0 là biên độ dao động ban đầu của vật. Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm 3% nên biên độ còn lại là A = 0,97A0. Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng là:
Ví dụ 2: Một lò xo nhẹ độ cứng k = 300N/m, một đầu cố định, đầu kia gắn quả cầu nhỏ khối lượng m = 0,15kg. Quả cầu có thể trượt trên dây kim loại căng ngang trùng với trục lò xo và xuyên tâm quả cầu. Kéo quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng 2 cm rồi thả cho quả cầu dao động. Do ma sát quả cầu dao động tắt dần chậm. Sau 200 dao động thì quả cầu dừng lại. Lấy g = 10m/s2. 
a. Độ giảm biên độ trong mỗi dao động tính bằng công thức nào. 
b. Tính hệ số ma sát μ. 
* Hướng dẫn giải: 
a. Độ giảm biên độ trong mỗi chu kỳ dao động là:  
b. Sau 200 dao động thì vật dừng lại nên ta có N = 200. Áp dụng công thức:
, với k = 300 và A0 = 2cm, m = 0,15kg, g = 10(m/s2) ta được: 
8. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
Bài 1: Một con lắc lò xo đang dao động tắt dần. Người ta đo được độ giảm tương đối của biên độ trong 3 chu kỳ đầu tiên là 10%. Độ giảm tương ứng của thế năng là bao nhiêu? 
Bài 2: Một con lắc đơn có độ dài 0,3m được treo vào trần của một toa xe lửa. Con lắc bị kích động mỗi khi bánh xe của toa xe gặp chổ nối nhau của các đoạn đường ray. Khi con tàu chạy thẳng đều với tốc độ là bao nhiêu thì biên độ của con lắc lớn nhất. Cho biết khoảng cách giữa hai mối nối là 12,5m. Lấy g = 9,8m/s2. 
Bài 3: Một người đi bộ với bước đi dài Δs = 0,6m. Nếu người đó xách một xô nước mà nước trong xô dao động với tần số f = 2Hz. Người đó đi với vận tốc bao nhiêu thì nước trong xô sóng sánh mạnh nhất ? 
Bài 4: Một vật khối lượng m = 100g gắn với một lò xo có độ cứng 100 N/m, dao động trên mặt phẳng ngang với biên độ ban đầu 10cm. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2, π2 = 10. Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là μ = 0,1. Vật dao động tắt dần với chu kì không đổi. 
a. Tìm tổng chiều dài quãng đường s mà vật đi được cho tới lúc dừng lại. 
b. Tìm thời gian từ lúc dao động cho đến lúc dừng lại. 
Bài 5: Một con lắc lò xo gồm lò xo có hệ số đàn hồi k = 60(N/m) và quả cầu có khối lượng m = 60(g), dao động trong một chất lỏng với biên độ ban đầu A = 12cm. Trong quá trình dao động con lắc luôn chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi Fc. Xác định độ lớn của lực cản đó. Biết khoảng thời gian từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn là Δt = 120(s). Lấy π2 = 10.