Giáo án Toán 9 - Chuyên đề: Phương trình bậc hai 1 ẩn số. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

 Tuần: .......... Ngày soạn:..../...../2020 
Tiết: ........... Ngày dạy: ..../...../2020 
 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ. HỆ THỨC VI – ÉT 
 VÀ ỨNG DỤNG (Thời lượng 5 tiết)
 I. MỤC TIÊU
 1. Kiến thức: Phương trình bậc hai một ẩn, cơng thức nghiệm, cơng thức nghiệm 
thu gọn của phương trình bậc hai, Hệ thức Vi – ét và ứng dụng
 2. Kỹ năng: HS được vận dụng được các kiến thức vào giải tốn, phân tích đề.
 3. Thái độ: Rèn tính tự giác, cẩn thận, yêu thích mơn học.
 4. Năng lực, phẩm chất:
 4.1. Năng lực 
 - Năng lực chung: năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, chủ động sáng tạo
 - Năng lực chuyên biệt: HS được rèn năng lực tính tốn, năng lực sử dụng ngơn 
ngữ tốn học, năng lực vận dụng 
 4.2. Phẩm chất: Tự tin, tự chủ, tự lập.
 II. CHUẨN BỊ:
 * GV: MTCT, các dạng bài tập
 * HS: MTCT, ơn tập các nội dung lí thuyết
 III. CÁC BƯỚC LÊN LỚP:
 1. Ổn định tình hình lớp: Điểm danh học sinh trong lớp
 2. Kiểm tra bài cũ: 
A. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI
* KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
 Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình cĩ dạng
 ax2 + bx + c = 0
Trong đĩ x là ẩn; a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0
Ví dụ 1: 
 a) x2 + 20x - 1500 = 0 với a = 1; b = 20; c = 1500
 b) 3x2 + 5x = 0 với a = 3; b = 5; c = 0
 c) 5x2 - 3 = 0 với a = 5; b = 0; c = -3
 d) 2007x2 = 0 với a = 2007; b = 0; c = 0
 ( Các phương trình b,c,d là những phương trình bậc hai khuyết)
Bài tập 1: 
 1.1 Cho ví dụ về phương trình bậc hai một ẩn.
 1.2 Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai, Nếu là phương trình bậc 
hai hãy xác định các hệ số a,b,c:
 1 2x 2
a) 3x2 - 5x + 7 = 0 ; b) x2 - + 3 2 =0 ; c) x 2 - 3x +5 = 0 ; 
 2 3 3 x 1
d) 4x2 = 0 ; e) 15x2 + 3 - 5 = 0 ; g) 2x2 = (m+1)x + 6 (m là hằng số)
 x
* CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (1) (a 0)
+ Nếu b = 0 và c = 0 thì (1) ax2 = 0 x = 0
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x2 = 0 
 3x2 = 0 x = 0
 x 0
+ Nếu b 0 và c = 0 thì (1) ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 b 
 x 
 a
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x2 + 3x = 0
 x 0
 2x2 + 3x = 0 x(2x + 3) = 0 2
 x 
 3
 c
+ Nếu b = 0 và c 0 thì (1) ax2 + c = 0 x2 = -
 a
 c
 * Phương trình vơ nghiệm nếu a,c cùng dấu (vì vế trái x2 0 , vế phải - < 0)
 a
Ví dụ 4: Giải phương trình 2x2 + 5 = 0 Phương trình vơ nghiệm
 c
 * Phương trình cĩ hai nghiệm x1,2 = - nếu a, c khác dấu
 a
Ví dụ 5: Giải phương trình 4x2 – 7 = 0
 2 7
 4x – 7 = 0 x1,2 = 
 4
* CƠNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA CƠNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0)
 b = 2b/
 = b2 - 4ac / = b/2 - 4ac
 * Nếu < 0 thì phương trình vơ nghiệm * Nếu / < 0 thì phương trình vơ nghiệm
 * Nếu = 0 thì phương trình cĩ nghiệm * Nếu / = 0 thì phương trình cĩ nghiệm 
 b b /
 kép x1 = x2 = kép x1 = x2 = 
 2a a
 * Nếu > 0 thì phương trình cĩ hai * Nếu / > 0 thì phương trình cĩ hai 
 nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt
 b b b / / b / /
 x1 = ; x2 = x1 = ; x2 = 
 2a 2a a a
+ Lưu ý: Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai vẫn áp dụng để giải các phương 
trình bậc hai khuyết song đối với dạng khuyết ta nên giải theo những trường hợp riêng 
ở phần trên. Chẳng hạn, Giải phương trình 3572x2 - 5763 = 0 
- Nếu giải bằng cơng thức nghiệm thì tương đối phức tạp 
 = 02 - 4.3572.(-5763) = 82341774
 0 82341774 0 82341774
 x1 = = ... ; x2 = = ...
 2.3572 2.3572 5763
- Trong khi giải bằng phương pháp riêng ta cĩ ngay : x = 
 3572
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
 a) x2 + 20x - 1500 = 0 (a = 1; b = 20; b/ = 10; c = 1500)
 / = b/2 - ac = 102 - .1.(-1500) = 1600 > 0 = 40
 10 40 10 40
Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt: x1 = = 30 ; x2 = = -50
 1 1
 b) 4x2 - 4x + 1 = 0 (a = 4; b = -4; b/ = -2 ; c = 1)
 = b/2 - ac = (-2)2- 4.1 = 0
 b / 2 1
Phương trình cĩ nghiệm kép: x1=x2= = - 
 a 4 2
 c) 2x2 -5x - 5 = 0 (a = 2; b = -5; c = -5)
 = b2 - 4ac = (-5)2- 4.2.(-5) = 65 > 0
 ( 5) 65 5 65
Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt:x 1 = = ; 
 2.2 4
 ( 5) 65 5 65
 x2 = = 
 2.2 4
 x 0
 d) 3x2 + 5x = 0 x(3x + 5) = 0 3 
 x 
 5
 2 2 3 3
 e) 5x - 3 = 0 x = x1,2 = 
 5 5
 34
 g) 15x2 + 34 = 0 x2 = Phương trình vơ nghiệm
 15
 h) 2007x2 = 0 x = 0
* BÀI TẬP ỨNG DỤNG: CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 
HAI MỘT ẨN
Bài tập 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình vơ nghiệm, cĩ nghiệm kép, cĩ 2 
nghiệm phân biệt.
** Phương pháp giải:
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1) (a 0)
(1) cĩ nghiệm 0 ( hoặc / 0)
(1) cĩ hai nghiệm phân biệt > 0 ( hoặc / > 0)
(1) cĩ nghiệm kép = 0 ( hoặc / = 0)
(1) vơ nghiệm < 0 ( hoặc / < 0)
3.1 Tìm điều kiện của m để phương trình sau cĩ nghiệm kép
 3x2 - 2x + m = 0
 1
Phương trình đã cho cĩ nghiệm kép / = 0 1-3m = 0 m = 
 3
3.2 Tìm điều kiện của k để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt 2x2 + kx + k = 0
Phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt 
 2 k 0
 > 0 k - 8k > 0 k( k-8 ) > 0 
 k 8
3.3 Tìm điều kiện của m để phương trình sau vơ nghiệm 
 5x2 + 18x + m = 0
 81
Phương trình đã cho vơ nghiệm / 
 5
Bài tập 4: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (1)
** Phương pháp giải:
 + Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất bx + c = 0
 c
 - Nếu b 0 thì phương trình cĩ nghiệm x = - 
 b
 - Nếu b = 0 và c 0 thì phương trình vơ nghiệm 
 - Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình cĩ vơ số nghiệm 
 + Với a 0 thì phương trình (1) là phương trình bậc hai
 = b2 - 4ac
 - Nếu < 0 thì phương trình vơ nghiệm
 b
 - Nếu = 0 thì phương trình cĩ nghiệm kép x1 = x2 = 
 2a
 - Nếu > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt
 b b 
 x1 = ; x2 = 
 2a 2a
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: (m-2)x2 - 2(m+1)x + m = 0
 + Nếu m - 2 = 0 hay m = 2 thì phương trình trở thành -6x + 2 = 0 
 1 1
 x = . Phương trình cĩ 1 nghiệm duy nhất x = 
 3 3
 + Nếu m - 2 0 hay m 2 thì ta được phương trình bậc hai cĩ
 / = (m + 1)2 - (m - 2)m = 4m + 1
 1
 * / < 0 4m + 1 < 0 m < - : Phương trình vơ nghiệm
 4
 1
 * / = 0 4m + 1 = 0 m = - : Phương trình cĩ nghiệm kép
 4
 1
 / 1
 b m 1 4 1
 x1 = x2 = = 
 a m 2 1 3
 2
 4
 1
 * / > 0 4m + 1 > 0 m > - : Phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt
 4
 b / / m 1 4m 1 b / / m 1 4m 1
 x1 = = ; x2 = =
 a m 2 a m 2 Vậy: * m < - 1 Phương trình đã cho vơ nghiệm
 4
 1 1
 * m = - Phương trình đã cho cĩ nghiệm kép x1 = x2 = - 
 4 3
 * m > - 1 : Phương trình đã cho cĩ hai nghiệm phân biệt
 4
 m 1 4m 1 m 1 4m 1
 x1 = ; x2 = 
 m 2 m 2
 * m = 2 : Phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất x = 1
 3
Bài tập 5: Chứng minh phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) cĩ hai nghiệm 
phân biệt, cĩ nghiệm kép, vơ nghiệm với mọi giá trị của tham số
** Phương pháp giải:
 - Lập biệt thức ( hoặc / ) 
 - Chứng minh 0 ( > 0 ; 0 ; / < 0 ; / = 0) 
với mọi giá trị của tham số 
 - Kết luận phương trình đã cho luơn luơn cĩ nghiệm ( cĩ hai nghiệm phân biệt ; 
vơ nghiệm ; cĩ nghiệm kép) với mọi giá trị của tham số.
 **Trường hợp đặc biệt: nếu phương trình trên cĩ hệ số a và c trái dấu thì 
phương trình luơn luơn cĩ hai nghiệm phân biệt
5.1 Chứng minh rằng phương trình : x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0 luơn luơn cĩ hai nghiệm 
phân biệt với mọi giá trị của m.
 Giải:
 3 7
 * / = b/2 - ac = 4 + ( m2 + 3m) = m2 + 3m + 4 = (m + )2 + 0 với mọi m. 
 2 4
Vậy phương trình đã cho luơn luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
5.2 Chứng minh phương trình : x2 - 2(m - 1)x + m2 - 2m + 1 = 0 luơn luơn cĩ nghiệm 
kép với mọi m
 Giải:
 / = (m - 1)2 - ( m2 - 2m + 1) = m2 - 2m + 1- m2 + 2m - 1 = 0 với mọi m
 Vậy phương trình luơn luơn cĩ nghiệm kép với mọi m
5.3
 Chứng minh phương trình: x2 - 2mx + 2m - 1 = 0 luơn luơn cĩ nghiệm với mọi m
 Giải:
 / = m2 - 2m + 1 = (m - 1)2 0 với mọi m
 Vậy phương trình luơn luơn cĩ nghiệm với mọi m
5.4
 Chứng minh phương trình : x2 + 3x + m2 - m + 5 = 0 luơn vơ nghiệm với mọi m
 = (- 3)2 - 4(m2 - m + 5) = 9 - 4m2 + 4m - 20 = - 4m2 + 4m - 11
 = - [(2m)2 - 2.2m.1 + 12 ] - 10 = - (2m - 1)2 - 10 < 0 với mọi m
 Vậy phương trình luơn vơ nghiệm với mọi m
Bài tập về nhà: 1/ Giải các phương trình sau:
a) x2 + x - 90 = 0 b) 5y2 - 6y +1 = 0 c) 25x2 - 20x + 4 = 0
d) x - 5 = x2 - 25 e) (2x - 3)2 = 11x - 9 f) (3x - 1)(1 + x) = 15
2/ a. Cho phương trình (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0 (x là ẩn, m là tham số)
 a.1) Định m để phương trình cĩ nghiệm kép . Tìm nghiệm kép đĩ.
 a.2) Định m để phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt.
 b. Với giá trị nào của m thì phương trình sau vơ nghiệm
 5x2 - 12x + m - 3 = 0
3/ Giải và biện luận phương trình : (m - 3)x2 - 2mx + m - 6 = 0
4/ Chứng minh rằng phương trình sau luơn luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m
 x2 - 2(m - 1)x -m = 0
* HỆ THƯC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Hệ thức Vi-ét:
 2
 Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 0), cĩ hai nghiệm x1 ; x2 thì 
 b
 S x x 
 1 2 a
tổng và tích hai nghiệm đĩ là: 
 c
 P x .x 
 1 2 a
Áp dụng:
Tính nhẩm nghiệm:
 2 c
 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 cĩ nghiệm x1= 1 và x2 = 
 a
 2 c
 Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 cĩ nghiệm x1= - 1 và x2 = - 
 a
Bài tập 6: Cho phương trình 7x2 + 3x - 15 = 0
a) Khơng giải, hãy tính tổng và tích các nghiệm số của phương trình 
 2 2 1 1 x1 x2 3 3
b) Tính x1 + x2 ; ; ; x1 + x2 
 x1 x2 x2 x1
 Giải:
a) a = 7 > 0 ; c = -15 < 0 Phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x2
 3 15
Ta cĩ: x1 + x2 = - ; x1.x2 = - 
 7 7
 2 2 2 3 2 15 219
b) * x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1.x2 = (- ) - 2(- ) = 
 7 7 49
 3
 1 1 x x 1
 * = 2 1 7 
 x x x .x 15 5
 1 2 1 2 
 7
 219
 2 2
 x1 x2 x1 x2 49 219
 * = 2 2 
 x x x x 15 2 225
 2 1 1 2 ( )
 7
 3 3 3 2 2 3
 * x1 + x2 = (x1 + x2) - 3x1 x2 - 3x1x2 = (x1 + x2) - 3x1x2 (x1 + x2 ) = (- 3 )3 - 3(- 15 )(- 3 ) = - 972
 7 7 7 343
Bài tập 7: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm nhanh nhất:
a) x2 - 11x + 30 = 0
 = 112 - 4.30 = 1 > 0 phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt
 Ta cĩ: x1 + x2 = 11 = 5 + 6 ; x1.x2 = 30 = 5.6 ; S = {5,6}
b) 3x2 - 10x + 7 = 0
 Ta cĩ: a + b + c = 3 + (-10) + 7 = 0 . Vậy S = {1, 7 }
 3
c) x2 + (1 + 2 )x + 2 = 0
 Ta cĩ: a - b + c = 1 - (1 + 2 ) + 2 = 0. Vậy S = {-1; - 2 }
Bài tập 8: Xét dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
+ Phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu P < 0
 - Phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm cĩ GTTĐ lớn hơn nghiệm 
 P 0
dương 
 S 0
 - Phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương cĩ GTTĐ lớn hơn 
 P 0
nghiệm âm 
 S 0
 0
+ Phương trình cĩ hai nghiệm cùng dấu 
 P 0
 0
 - Phương trình cĩ hai nghiệm dương phân biệt S 0
 P 0
 0
 - Phương trình cĩ hai nghiệm âm phân biệt S 0
 P 0
8.1 Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m + 1 = 0
Định m để phương trình :
a) Cĩ hai nghiệm trái dấu 
b) Cĩ hai nghiệm dương phân biệt
c) Cĩ đúng một nghiệm dương
 Giải:
 / = (m-1)2 - (m+1) = m2 - 3m = m(m - 3) ; S = 2(m - 1) ; P = m + 1
a) Phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu P < 0 m + 1 < 0 m < -1
b) - Phương trình cĩ hai nghiệm dương phân biệt 
 0 m(m 3) 0
 S 0 2(m 1) 0 m > 3
 P 0 m 1 0
c) Phương trình cĩ đúng một nghiệm dương 
Cĩ các trường hợp xãy ra: + Cĩ hai nghiệm trái dấu P < 0 m + 1 < = m < -1
 0 m(m 3) 0
+ Cĩ một nghiệm kép dương m = 3
 S 0 2(m 1) 0
Vậy với m = 3 hoặc m < -1 thì phương trình cĩ đúng một nghiệm dương
8.2 Định m để phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m-1 = 0 cĩ hai nghiệm âm phân biệt
 = (2m - 1)2 - 4.2.(m - 1) = 4m2 - 12m + 9 = (2m -3)2 ≥ 0 với mọi m
S = - 2m 1 ; P = 2m 1
 2 2
 3
 2m 3 0 m 3
 0 2 m 
 2m 1 2
Phương trình cĩ hai nghiệm âm S 0 0 2m 1 0 
 2 1
 P 0 2m 1 0 m 
 2m 1 2
 0 
 2
* ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT 
Bài tập 9: Định tham số để phương trình bậc hai cĩ nghiệm thỏa mãn một hệ thức cho 
trước
+ Đối với hệ thức đối xứng ( Hệ thức mà nếu thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì hệ thức 
 2 2 1 1 x1 x2 3 3
khơng đổi; chẳng hạn: x1 + x2 ; ; ; x1 + x2 )
 x1 x2 x2 x1
* Tìm điều kiện để phương trình cĩ nghiệm
* Biểu diễn hệ thức đối xứng qua S và P
* Từ hệ thức Vi-ét ta tính tổng và tích rồi thay vào hệ thức đối xứng để tìm giá trị của 
tham số.
9.1 Cho phương trình : x2 - 6x + m = 0. Với giá trị nào của m, phương trình cĩ hai 
 3 3
nghiệm thỏa mãn: x1 + x2 =72
 Giải:
 /
 9 m 0 (1)
m thỏa mãn đồng thời: 3 3
 x1 x2 72 (2)
(1) m 9
Ta cĩ x1 + x2 = 3 ; x1.x2 = m
 3 3 3 2 2 3
(2) x1 + x2 = 72 (x1 + x2) - 3x1 x2 - 3x1x2 = 72 (x1 + x2) - 3x1x2 (x1 + x2 )= 72
 63 - 3.m.6 = 72 m = 8. vậy m = 8
+ Đối với hệ thức khơng đối xứng
* Tìm điều kiện để phương trình cĩ nghiệm 
* Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, giải hệ đối với nghiệm x1 ; x2 rồi thay vào phương 
trình thứ ba của hệ
* Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận
 2
9.2 Định m để phương trình x + 2x + m = 0 cĩ hai nghiệm x1 ; x2 thỏa : 3x1+ 2x2 = 1
 Giải:
Phương trình cĩ nghiệm / = 1 - m > 0 m < 1 Theo hệ thức Vi-ét ta cĩ : x1 + x2 = -2 
 x1.x2 = m 
Kết hợp với giả thiết 3x1 + 2x2 = 1 ta cĩ hệ: x1 + x2 = -2 (1)
 3x1 + 2x2 = 1 (2)
 x1.x2 = m (3)
Từ (1) và (2) ta giải được x1 = 5 ; x2 = - 7. Thay vào (3) ta được m = -35 thỏa điều kiện
Vậy m = - 35
Bài tập 10: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào tham số m
Phương pháp giải: 
 - Điều kiện để phương trình bậc hai cĩ nghiệm
 - Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo m
 - Khử tham số m từ S , P để cĩ hệ thức giữa x1,x2 khơng phụ thuộc vào m
 2 2
Ví dụ: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : x - 2(m-1)x + m - 1 = 0
Tìm hệ thức giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m
 Giải:
Phương trình cĩ nghiệm / = (m-1)2 - (m2 - 1) = -2m + 2 0 m 1
Theo hệ thức Vi-ét ta cĩ : S = x1 + x2 = 2(m-1) (1)
 2
 P = x1.x2 = m - 1 (2)
 S S
 Từ (1) suy ra m = 1 thay vào (2) ta được P = ( 1)2 - 1
 2 2
 2 2
 4P = S + 4S. Vây hệ thức cần tìm: 4x1.x2 = (x1 + x2) + 4 (x1 + x2) 
* HỆ THỨC VI -ÉT ĐẢO
Hệ thức Vi-ét đảo: 
Nếu hai số cĩ tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đĩ là nghiệm của phương trình :
 x2 - Sx + P = 0 Điều kiện để cĩ hai số S2 - 4P 0
Bài tập 11: Tìm hai số khi biết tổng bằng 32 và tích bằng 231
 Giải:
 x 21
 2 
Hai số là nghiệm của phương trình x - 32x + 231 = 0 
 x 11
Vậy hai số đĩ là: 21 và 11
Bài tập 12: Lập một phương trình bậc cĩ hai nghiệm là: a và b
Phương pháp giải: * Tính tổng S = a + b ; tích P = a.b
Phương trình cần tìm : x2 - (a + b)x + a.b = 0
12.1 Lập một phương trình bậc hai cĩ hai nghiệm là 17 và 25 
Ta cĩ 17 + 25 = 42 ; 17.25 = 425.
Phương trình cần tìm : x2 - 42x + 425 = 0
 2
12.2 Cho phương trình bậc hai x - mx - 2 = 0 (1) cĩ hai nghiệm x1; x2
Viết một phương trình bậc hai trong các trường hợp sau
a) Cĩ hai nghiệm là nghịch đảo hai nghiệm của phương trình đã cho
b) Cĩ hai nghiệm là lập phương hai nghiệm của phương trình đã cho
 x1 x2
c) Cĩ hai nghiệm y1 = ; y2 = 
 x2 1 x1 1 Giải:
a) Từ (1) ta cĩ x1 + x2 = m ; x1.x2 = -2
 1 1 x x m m 1 1 1 1 1
Ta cĩ: S = 2 1 = - ; P = . = =- 
 x1 x2 x1 x2 2 2 x1 x2 x1.x2 2 2
Phương trình cần tìm : x2 + m x - 1 = 0 hay 2x2 + mx - 1 = 0
 2 2
 3 3 3 3 2
b) Ta cĩ S = x1 + x2 = (x1 + x2) - 3x1x2 (x1 + x2 ) = m - 3.(-2).m = m(m + 6)
 3 3 3
 P = x1 . x2 = (x1.x2) = -8
Phương trình cần tìm: x2 - m(m2 + 6) x - 8 = 0
 x x x (x 1) x (x 1) (x x ) 2 2x x (x x )
c) Ta cĩ S = 1 + 2 = 1 1 2 2 = 1 2 1 2 1 2 
 x2 1 x1 1 (x2 1)(x1 1) x1 x2 (x1 x2 ) 1)
 m 2 2.( 2) m m 2 m 4
 = = 
 2 m 1 m 1
 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2
 P = . = = 
 x2 1 x1 1 (x2 1)(x1 1) x2 x1 (x1 x2 ) 1 1 m m 1
 m 2 m 4 2
Vậy Phương trình cần tìm: x2 + x + = 0
 m 1 m 1
 4. Hoạt động vận dụng 
 GV Nhắc lại các kiến thức trọng tâm của chương 
Cho pt x2 2mx 2m 1 0
a) Chứng tỏ rằng pt cĩ nghiệm x1, x2 với mọi m
 2 2
b) Đặt A 2 x1 x1 5x1x2
* CMR: A 8m2 18m 9
* Tìm m để A = 27
c) Tìm m để pt cĩ nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
 Lời giải
a) ta cĩ m2 2m 1 m 1 2 0, m , do đĩ pt cĩ 2 nghiệm với mọi giá trị của m
 x1 x2 2m
b) + với mọi m pt cĩ nghiệm x1, x2. theo Vi-ét ta cĩ: (*)
 x1.x2 2m 1
 2 2 2
từ A 2 x1 x1 5x1x2 A 2 x1 x2 9x1x2 (**)
thay (*) vào (**) ta được: A 2 2m 2 9 2m 1 8m2 18m 9 => đpcm
 3
+ với A = 27 suy ra 8m2 18m 9 27 8m2 18m 18 0 m 3; m 
 1 2 4
c) giả sử x1 = 2.x2, kết hợp (*) ta cĩ:
 4m 4m
 x x 
 1 3 1 3
 x1 2 x2 x1 2 x2 
 2m 2m
 x1 x2 2m 3x2 2m x2 x2 
 3 3
 x .x 2m 1 x .x 2m 1 
 1 2 1 2 4m 2m 8m 2 18m 9 0
 . 2m 1 
 3 3 3 3
giải pt 8m2 18m 9 0 m ;m 
 1 2 2 4
 5. Hoạt động tìm tịi mở rộng
 - Xem kĩ các bài tập đã giải 
 - Làm các bài tập sau
 1/ Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + m2 - 3m = 0
 a) Định m để phương trình cĩ hai nghiệm trái dấu ;
 b) Định m để phương trình cĩ đúng một nghiệm âm ;
 c) Định m để phương trình cĩ một nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm cịn lại
 2 2
 d) Định m để phương trình cĩ hai nghiệm thỏa: x1 + x2 = 8
 e Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1; x2 khơng phụ thuộc vào m
 2/ Cho phương trình : x2 - 2(m - 3)x + m - 3 = 0
 a) Định m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt
 b) Tìm hệ thức giữa hai nghiệm số x1 ; x2 khơng phụ thuộc m
 c) Định m để phương trình cĩ nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đĩ
 d) Lập một phương trình bậc hai mà nghiệm số là 1 và 1
 x1 x2
 3/ Cho phương trình : 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
 a) Chứng minh rằng phương trình luơn luơn cĩ nghiệm với mọi m
 b) Xác định m để phương trình cĩ nghiệm kép. TÍnh nghiệm kép đĩ
 c) Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biêt thỏa mãn : -1 < x1 < x2 < 
1
 d) Trong trường hợp phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt x1 ; x2. Hãy viết một 
hệ thức giữa x1; x2 khơng cĩ m
 4) Cho phương trình : x2 - 2(m - 1)x - m - 3 = 0
 a) Chứng minh phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m
 2 2
 b) Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x1 + x2 10
 2 2
 c) Xác định m để phương trình cĩ hai nghiệm x1 ; x2 sao cho E = x1 + x2 đạt 
giá trị nhỏ nhất 
 5/ Cho phương trình : (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0 (1)
 a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
 b) Khi phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt Tìm một hệ thức giữa x1;x2 độc 
lập đối với m
 c) Tìm m sao cho lx1 - x2l 2
 - Chuẩn bị bài mới
 IV. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ BÀI HỌC 
 - Phương trình bậc hai một ẩn
 - Cơng thức nghiệm
 - Cơng thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
 - Hệ thức Vi – ét và ứng dụng
 V. RÚT KINH NGHIỆM: Ký duyệt: