Giáo án Toán học 9 - Phần: Ôn tập

ÔN TẬP TOÁN 9 – TÀI LIỆU THAM KHẢO
(Chương trình ôn tập này là tài liệu khi chưa thực hiện đổi mới SGK)
A. ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I	 CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA
1. Nêu các tính chất của lũy thừa bậc hai ?
2. Chứng minh rằng : a > b a2 > b2 ( a, b > 0 )
3.	a. Định nghĩa căn bậc hai số học của một số a 0.
	b. Phát biểu sự tồn tại của CBHSH của số a trong các trường hợp a > 0, a = 0, a < 0.
	c. Áp dụng : 
4. Phát biểu quy tắc khai phương một tích, nhân các căn thức bậc hai.
Áp dụng : Tính : a. 
CHƯƠNG II	 HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Phát biểu định nghĩa và nêu tính chất của hàm số bậc nhất ?
Áp dụng : Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến ? Vì sao ?
a. y = 5x – 8	b. y = 3 - 2x
2. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình như sau :
a. y = ax + b	b. y = a’x + b’
Khi nào thì hai đường thẳng d và d’ : - Cắt nhau; - Song song; - Trùng nhau.
CHƯƠNG III 	HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
CHƯƠNG IV	 HÀM SỐ y = ax2 . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
1. Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và viết công thức tính nghiệm tổng quát của phương trình
 bậc hai đó.
Áp dụng : Tính nghiệm của phương trình : x2 - 5x + 3 =0
2. Nêu các tính chất của HSBH một ẩn : y = ax2
3. Khi nào thì phương trình bậc hai : ax2 - bx + c =0 có :
- Hai nghiệm phân biệt.
- Nghiêm kép.
- Vô nghiệm.
4. Phát biểu và viết công thức của hệ thức Viét.
Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a. x2 - 7x + 10 = 0	; b. 2x2 + 3x - 5 = 0	; c. 3x2 - 8x + 5 = 0
5. Phát biểu và viết hệ thức Viét.
B. HÌNH HỌC
CHƯƠNG I 	HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
CHƯƠNG II 	ĐƯỜNG TRÒN
1. Nêu cách xác định một đường tròn ?
2. Vị trí của điểm với đường tròn, đường thẳng với đường tròn, đường tròn với đường tròn.
CHƯƠNG III 	GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1. Cm định lý : “ Nếu hai tiếp tuyến ”
2. Phát biểu định lý về góc nội tiếp của một đường tròn.
Chứng minh định lý trong trường hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc.
3. Cm Định lý : “góc tạo bởi một tia tiếp tuyến..”
( CM định lý trong trường hợp tâm O nằm bên ngoài góc)
4. CM định lý : “Góc có đỉnh bên trong đường tròn”
5. CM định lý : “Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn”
6.	a. CM định lý : “Trong một tứ giác..”
b. Phát biểu Định lý đảo của định lý trên
CHƯƠNG IV	 HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
1.	a. Phát biểu định lý về hai mặt phẳng song song.
b. Áp dụng : Cho hình hộp chữ nhật : ABCD.A’B’C’D’. CMR : (ABCD) // (A’B’C’D’)
2. a. Phát biểu định nghĩa về đường thẳng song song với mặt phẳng.
 b. CM định lý : “ Nếu a (P) mà a song song với một đường thẳng nằm trên (P) thì a//(P)”
3. 	a. Viết công thức tính của hình lăng trụ đứng.
b. Áp dụng : Tính Stp của hình lăng trụ đứng trong đó tam giác ABC vuông tại A : 
AB = 12 cm; AC =9 cm; AA’ = 10 cm
ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường tròn (O;R); Số đo góc ở tâm n0
- Viết công thức tính C.
- Viết công thức tính .
- Viết công thức tính S.
- Viết công thức tính Shq.
BÀI TẬP (CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP)
1. Rút gọn biểu thức – Các bước thực hiện 
Tìm tập xác định.
Quy đồng mẫu thức ( nếu có).
Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn ( đưa về dạng ).
Trục căn thức ở mẫu số ( nếu có ).
Thực hiện phép tính: lũy thừa; căn thức 
Cộng, trừ các số hạng đồng dạng.
2. Tính toán – Các bước thực hiện 
a. Tính A ( rút gọn A).
b. Tính giá trị của biểu thức A(x), biết x = a.
Rút gọn A(x)
Thay x = a vào A.
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức – Các bước thực hiện 
 Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức : y = f(x). Dựa vào lũy thừa bậc chẵn.
Biến đổi biểu thức : y = f(x) sao cho:
+ Nếu y = M - 
Ta có : y = M - với 
Do đó :
 	+ Nếu y = m + 
Ta có : y = m + với 
Do đó :
* Các kiến thức thường dùng:
1. Cho y = A + B thì 
2. Cho với A > 0 thì 
3. Cho A0 thì 
4. Với a,b0 và a + b = k ( hằng số) abmax a = b
5. Với a,b0 và a.b = k ( hằng số) (a+b)min a = b
4. CM hằng đẳng thức, bất đẳng thức
a. Dựa vào định nghĩa : A = B A – B = 0
Lập hiệu : A – B
Rút gọn A- B và chứng tỏ A- B = 0
Kết luận A = B
b. Biến đổi trực tiếp 
A = A1 = A2 = .. . = An
B = B1 = B2 = .. . = Bn
Nếu : An = Bn thì A = B 
c. Biến đổi
A = A1 = A2 = .. . = B thì A = B
5. Những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai và Hệ thức Viét.
Cho phương trình : (1) Trong đó a, b,c phụ thuộc vào m.
5.1 Biện luận theo m sự có nghiệm của (1) - – Các bước thực hiện 
* Xác định hệ số a, b,c
- Xét hệ số a
+ a = 0 → m = ? (Nếu a chứa m )
 	 	Lúc đó : trở thành bx + c = 0
b ≠ 0; c ≠ 0 → 
b = 0; c = 0 → phương trình có vô số nghiệm
b = 0; c ≠ 0 → phương trình vô nghiệm
+ a ≠ 0 : Lập biệt thức ( hoặc )
Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt.- (giải Δ.> 0) 
Nếu phương trình có nghiệm kép.- (giải Δ.= 0) 
Nếu phương trình vô nghiệm. – (giải Δ.< 0) 
( Ghi kết luận theo m → .)
ÁP DỤNG: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình.
a. x2 – 4x + m = 0
b. (m-1)x2 + 2mx + 4 = 0
c. x2 + 2mx – 4 = 0
5.2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm
Có hai khả năng để (1) có nghiệm
a./ hoặc 	
b./ Hoặc 
Kết luận theo m 
Áp dụng : Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
a. mx2 + 2(m+1)x - 5 = 0
b. 2x2 - 5mx + 50 = 0
5.3 Tìm điều kiện của m để (1) có 2 nghiệm phân biệt, một nghiệm kép, vô nghiệm
a. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
b. phương trình có nghiệm kép
c. Phương trình vô nghiệm
d. Phương trình vô nghiệm.
5.4 / Tìm điều kiện của m để (1) có 1 nghiệm
a. 
b. phương trình luôn có 1 nghiệm.
5.5 Tìm điều kiện của m để (1) có :
a. Hai nghiệm cùng dấu: 
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu khi : Δ 0 và P> 0
Cách giải :	- Xác định hệ số a, b, c. 
	- Lập biệt thức Δ. Giải Δ0 → m
	- Lập S = c/a > 0 → m
	- Chọn m.
b. Hai nghiệm trái dấu :
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi : a và c trái dấu hay S < 0
c. Hai nghiệm cùng dương
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương khi : Δ 0 và P 0
d. Hai nghiệm cùng âm
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương khi : Δ 0 và P > 0; S < 0.
** BẢNG DẤU CỦA CÁC NGHIỆM SỐ
P= x1 +x2 = - b/a
S= x1 . x2 = c/a
KÕt qu¶
-
Hai nghiÖm kh¸c dÊu
+
+
+
Hai nghiÖm d­¬ng
+
-
+
Hai nghiÖm ©m
0
+
NghiÖm kÐp d­¬ng
0
-
NghiÖm kÐp ©m
Áp dụng : 
1. Tìm điều kiện của m để phương trình : x2 – (m - 1)x + m - 2 = 0 có hai nghiệm cùng dương.
Giải : a = 1; b = - ( m – 1); c = m -2
Ta có : a + b + c = 1 - m + 1 + m – 2 = 0
Nên x1 = 1 ; x2 = 
2. Tìm điều kiện của m để phương trình : x2 – 2(m - 1)x + m - 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
 Giải : a = 1; b = – 2(m - 1); c = m – 3
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi: P < 0 
5.6 Tìm điều kiện của m để (1) có 1 nghiệm x = x1 . Tìm nghiệm kia.
- Xác định hệ số a, b, c. 
- Thay x = x1 vào (1)
- Giải phương trình tìm được m.
- Thay m vào phương trình (1) được phương trình : 
Nghiệm còn lại là : 
 Áp dụng : Tìm điều kiện của m để pt :
a. có một nghiệm x = -2. Tìm nghiệm kia.
b. có một nghiệm x = 4. Tìm nghiệm kia.
c. có một nghiệm x = 3. Tìm nghiệm kia.
5.7 Tìm m và n để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 
- Thay x = x1 vào phương trình (1) → pt (2)
- Thay x = x2 vào phương trình (1) → pt (3)
- Giải hệ phương trình (2) và (3) tìm được n và m.
Áp dụng : Tìm m và n để phương trình sau có hai nghiệm x1 và x2 
5.8. Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt, 1 nghiệm kép hoặc vô nghiệm
- Xác định hệ số a, b, c.
- Lập biệt thức Δ ( hoặc Δ’).
- Rút gọn Δ ( hoặc Δ’)
+ Nếu Δ ( hoặc Δ’) > 0 : pt luôn có hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu Δ ( hoặc Δ’) = 0 : pt luôn có một nghiệm .
+ Nếu Δ ( hoặc Δ’) > 0 : pt luôn vô nghiệm.
5.9. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : ax1 + bx2 = k, PP giải: 
Áp dụng : 
1. Cho pt : x2 – 2(m+1)x + m2 + 2 = 0
a. Tìm m để phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : x1 + x2 = 4
2. Xác định giá trị của m để phương trình : x2 – (m+5)x - m + 6 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa :
a. Nghiệm này hơn nghiệm kia một đơn vị.
b. 2x1 + 3x2 = 13
* Ba biểu thức đối xứng thường gặp:
1. 
2. 
3. 	
* PP giải : 	- Xác định hệ số a, b, c.
- Lập biệt thức Δ ( hoặc Δ’)
- Biến đổi phương trình đã cho về dạng : x1 + x2 ; ; x1. x2
	- Thay và ( Theo Viet).
	- Giải phương trình vừa thay ta tìm được m = ?
	- Thay m vào Δ ( hoặc Δ’). Giá trị nào làm cho Δ ( hoặc Δ’) > 0 thì đó là giá trị cần tìm.
Áp dụng : 
1. Cho phương trình : x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m + 4 = 0
a. Tìm m để phương trình có nghiệm
b. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm là 2. Tìm nghiệm còn lại.
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : 
2. Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + m2 + 2m - 3 = 0
a. Chứng tỏ phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm là - 1. Tìm nghiệm còn lại.
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : 
3. Cho phương trình : x2 – 2(m+1)x + 2m + 10 = 0. Tìm m để phương trình :
a. 
b. 
4. Cho phương trình : x2 – 2x - m2 - 4 = 0
a. Chứng tỏ phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x1 = -2. Tính x2 ?
c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa : 
6. Tìm mọi giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên:
PP giải : 	- Rút gọn A, đưa về dạng phân thức .
	- Đưa về dạng ( trong đó m, n Z )
	- A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi là số nguyên C(x) = Ư(n) → x = ?
Áp dụng : Cho A = . Tìm mọi giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Giải : 	A = 
A nhận giá trị nguyên khi : 
Vậy : x = 1; 4; 16; 25;49 thì A nhận giá trị nguyên.
7. Giải các loại phương trình : 
7.1 Phương trình chứa căn thức:
7.2. Phương trình dạng : hoặc 
PP giải : 	- Bình phương hai vế, ta có : 
Áp dụng : Giải phương trình : 
7.3. Phương trình dạng : (ĐK: B(x) 0 )
 ( Chọn nghiệm thỏa điều kiện)
Áp dụng : giải phương trình : 
 Đk: x 
Vậy : x = 1
8. Đồ thị và các vấn đề liên quan đến đồ thị
8.1 Đồ thị : ở chương trình toán THCS gồm 3 loại chính là :
- Đồ thị đường thẳng: y = ax (d) ( là đường thẳng luôn đi qua gốc tọa độ)
x = 0 → y = 0
x = 1 → y = a
Vẽ đồ thị
- Đồ thị đường thẳng: y = ax + b (d) ( là đường thẳng luôn đi qua điểm có tung độ bằng b)
Giao điểm với trục Oy: x = 0 → y = b
Giao điểm với trục Ox: y = 0 → x = - b/a
Vẽ đồ thị
- Đồ thị Parabol : y = ax2 (P) ( là đường cong đi qua gốc tọa độ và có hai nhánh đối xứng với nhau qua trục tung)
Hàm số y = ax2 có TXĐ D = R
Lập bảng giá trị : 
x
-2
-1
0
1
2
y = ax2
4a
a
0
a
4a
Vẽ đồ thị
8.2 Các vấn đề liên quan đến đồ thị
a. Điểm thuộc đồ thị - Đồ thị đi qua một điểm
Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(xa; ya). Hỏi (C) có đi qua A không ?
PP giải: 	- Tính f(xA) bằng cách thay x = xA vào f(x).
	- Nếu f(xA) = yA thì (C) có đi qua A.
	 Nếu f(xA) yA thì (C) không đi qua A.
Áp dụng : 
1. Cho (P): y = ax2 đi qua A (-2;8)
a. Tìm a.
b. Chứng minh A thuộc đường thẳng (d ... nếu vận tốc của ô tô đi từ A tăng thêm 18 km/h thì vận tốc của nó gấp đôi vận tốc của ô tô đi từ B.
12. Một ô tô đi từ A đến B cách nhau 300 km. Đi được nửa đường xe phải giảm tốc độ nên chậm hơn đoạn đường đầu là 10 km.Do đó xe đến B chậm hơn dự tính là 30’. Tính vận tốc ban đầu của xe.
13. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến B chậm mất 2h. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B sớm hơn 1h. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu ?
14. Hai canô cùng khởi hành từ hai tỉnh A, B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1h10’ thì hai canô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi canô, biết rằng vận tốc canô xuôi dòng hơn vận tốc canô ngược dòng là 9 km/h và vận tốc nước là 3 km/h.
15. Hai ô tô cùng khởi hành từ hai tỉnh A, B cách nhau 120 ( 115) km và đi ngược chiều nhau. Sau 1h30’ ( 1h15’) thì hai ô tô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc ô tô đi từ A lớn hơn vận tốc ô tô đi từ B là 8 (12 km/h) km/h.
16. Một chiếc tàu thủy chạy trên một bến sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
17. Hai canô khởi hành cùng lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô thứ nhất chạy với vận tốc 20 km/h, canô thứ hai chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đường đi canô thứ hai dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng hai canô đến B cùng lúc.
18. Đường sông từ thành phố A đến thành phố B dài hơn đường bộ 10 km. Để đi từ A → B canô đi hết 3h20’, ô tô đi hết 2h. Tính vận tốc canô ? Biết vận tốc canô kém vận tốc ô tô 17 km/h.
19. Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1h30’, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1h. Tính vận tốc mỗi xe, biết vận tốc xe máy hơn vận tốc xe đạp là 2,5 lần.
20. Một người đi xe máy từ A → B với vận tốc trung bình 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20’ rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính quãng đường AB; biết thời gian cả đi lẫn về là 5h50’. 
21. Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Do đó, ô tô đến B sớm hơn 1 h so với dự định. Tính quãng đường AB.
22. Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy kéo cày được 52 ha. Vì vậy, đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Tính thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch.
23. Hai đội công nhân làm chung trong 12 h thì sẽ hoàn thành 1 công việc đã định. Họ làm chung trong 4 h thì tổ 1 được điều đi lam công việc khác, tổ hai làm nốt phần công việc còn lại trong 10 h. Hỏi tổ 2 nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
24. Một đội công nhân hoàn thành công việc với 420 ngày công thợ. Hãy tính số công nhâmn của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
25. Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì sau h đầy bể. Mỗi giờ vời 1 chảy được một lượng bằng lượng nước chảy ở vòi 2. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
26. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 15 h thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3h và người thứ hai làm trong 6h thì cả hai người hoàn thành 25% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.
27. Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Họ làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm công việc khác, còn đội hai tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng xuất tăng gấp đôi nên đội hai hoàn thành công việc trong 3 ngày rưỡi. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc nói trên.
28. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1h20’ đầy bể. Nếu để vòi 1 chảy trong 10’ và vòi 2 chảy trong 12’ thì đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
29. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 ( 240; 140) m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 ( 3036; 875) m2. Tính kích thước của vườn.
30. Cạnh huyền của một tam giác vuông là 10m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
31. Tỉ số giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông của một tam giác vuông là . Cạnh còn lại bằng 15. Tính cạnh huyền.
32. Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26m, diện tích bằng 120m2. Tính chu vi của tam giác ấy.
33. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 32m. Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng thêm chiều dài 2m thì diện tích giảm đi 24m2. Tìm các kích thước của khu vườn.
34. Hai vòi nước cung chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể mất 1h48’. Nếu chảy riêng thì vòi 1 chảy đầy bể nhanh hơn vòi 2 là 1h30’. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu.
35. Hai đội thanh niên cùng làm chung và đã hoàn thành công việc trong 4 ngày. Nếu làm riêng thì đội 1 sẽ hoàn thành công việc nhanh hơn đội hai 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội sẽ hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày ?
HÌNH HỌC
1. Cho đường tròn (O) đường kính AB và tiếp tuyến Bx. Trên Bx lấy điểm M, AM cắt đường tròn tại S. 
Gọi N là trung điểm của cung nhỏ AS. Nối ON cắt AS tại I. CMR :
a. 
b. BN là đường phân giác của và ON // BS
c. Tứ giác MIOB nội tiếp.
2. Cho ΔABC vuông tại A. Gọi O,M, O’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
a. Tứ giác AOMO’ là hình gì ? Có nội tiếp được đường tròn không? Hãy chứng minh điều nhận xét .
b. Hạ đường cao AH của ΔABC. Chứng minh H là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường
 tròn đường kính AC.
c. Từ A kẻ cát tuyến cắt đường tròn có đường kính AB ở D và cắt đường tròn có đường kính AC ở E. 
So sánh : và .
3. Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn tâm O ( AC>AB). Đường cao AN và BK cắt nhau tại H.
a. Chứng minh tứ giác ABNK và KHNC nội tiếp.
b. Kéo dài AN cắt đường tròn O tại I. Nối A với O kéo dài cắt đường tròn tại D. 
Chứng minh tứ giác BCDI là hình thang cân.
c. 
d. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
4. cho đường tròn (O) và cát tuyến d (không đi qua tâm). Từ một điểm M trên d và ở ngoài đường tròn ta kẻ
 hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là hai tiếp điểm) và BO cắt đường tròn ở C.
a. Chứng minh AC // MO
b. Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt CA ở D. Chứng minh MD = OC.
5. Cho ΔABC cân tại A và có đáy BC = 6cm và đường cao AH = 4cm nội tiếp trong đường tròn (O).
a. Tính số đo 2 cạnh AB, AC và đường kính AA’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
b. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Ta kẻ AM CB’. Tứ giác AHCM là hình gì?
c. Ta kẻ AK BB’. Chứng minh AK = CM.
d. Chứng minh tứ giác BHKA là hình thang cân.
6. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy một điểm C nằm giữa A và B. Vẽ đường kính BC tâm O’.
 Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O) tại D và E. Đường thẳng DB cắt đường tròn (O’) 
tại F. Chứng minh :
a. 
b. Tứ giác ADCE là hình thoi.
c. Ba điểm E, C, F thẳng hàng.
7. Cho đường tròn (O) và A là một điểm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B,
 C là các tiếp điểm). Ta kẻ BH AC cắt OA ở I. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng 
OA, IA. Chứng minh : 
a. Ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn có tâm là M và tứ giác ABOC nội tiếp.
b. BI = BO
c. NH // MC
d. Tứ giác BICO là hình thoi.
e. BC cắt OA ở K. Chứng minh tứ giác BKHA, KIHC nội tiếp.
8. Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn . Kẻ đường cao BD và CE. Gọi H là trực tâm tam giác và M là trung
 điểm BC. Từ M kẻ các đoạn thẳng MQAC và MPAB. MQ cắt CE tại F và MP cắt BD tại K. Tia AM
 cắt đường tròn O tại N.
a. Chứng minh tứ giác MFHK là hình bình hành.
b. ΔABC phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác MFHK là hình chữ nhật.
c. Chứng minh rằng P là trung điểm của BE và Q là trung điểm của CD.
d. CM : ΔABM ~ ΔCNM. Suy ra : AM.NM = BM.CM
9. Cho ΔABC có đường cao BD, CF.
a. Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên mọt đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
b. Chứng minh : Δ ABC ~ Δ AEF.
10. Cho một dây AB của đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại AB cắt nhau ở C. Nối O với một điểm P của dây
AB và kẻ từ P đường vuông góc với OP, đường này cắt tia CA ở E tia CP ở D. Chứng minh :
a. Các tứ giác OBDP và OPAE nội tiếp.
b. Δ ODE cân và PD = PE
c. Bốn điểm O, E, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
d. AE = BD.
11. Chho Δ ABC vuông tại đỉnh A. Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc AHB cắt AB tại M và tia phân 
giác của góc AHC cắt AC tại N. Gọi O1; O2 là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔAHB và ΔANC.Chứng minh :
a. Tứ giác AMHN nội tiếp.
b. ΔABC ~ Δ HMN.
c. ΔAMN là tam giác vuông cân.
12. Trên đường tròn (O) cho điểm C. Gọi AB là một dây cung vuông góc với OC. Kẻ đường kính AOD và
 kẻ dây cung CE vuông góc với AD; CD và CE cắt AB theo thứ tự ở F và G.
a. Chứng minh : Δ AGC cân
b. Suy ra rằng : GA = GC = GF
13. Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Từ điểm B bất kỳ nằm trên đường tròn
(O) dựng đoạn thẳng BH xy. Chứng minh :
a. BA là phân giác của góc .
b. Phân giác ngoài của luôn đi qua một điểm cố định khi B di động.
14. Cho tam giác ABC vuông ở A. Bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và AC. Qua A
 vẽ đường thẳng xy cắt nửa đường tròn đường kính AB tại D và cắt nửa đường tròn đường kính AC tại E. 
Nối B với D, C với E.
a. Tính các góc và .
b. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang vuông.
c. Gọi P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của AC, M là trung điểm của BC. Nối M với P, M với 
Q. Chứng minh tứ giác MPAQ là hình là hình chữ nhật.
d. Gọi N là trung điểm của DE. CM năm điểm M,Q, A, N, Q cùng nằm trên một đường tròn.
15. Cho ΔABC có các góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Đường cao AE kéo dài cắt đường tròn tại F. 
AD là đường kính .
a. Chứng minh rằng : BCFD là hình thang cân.
b. AB.AC = AD.AE.
c. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 
 Chứng tỏ rằng BC là đường trung trực của HF; DH đi qua trung điểm I của BC.
d. Gọi H là trọng tâm của ΔABC. Chứng tỏ rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng.
16. Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại M và N. Qua n vẽ hai đường kính NOA và NO’B, vẽ cát
 tuyến bất kì cắt (O) tại D và cắt (O’) tại C. Chứng minh :
a. Ba điểm A, M , B thẳng hàng.
b. OO’//AB.
c. Tứ giác ABCD là hình thang.
17. Cho ΔABC, M là tung điểm BC với = .
a. Chứng minh rằng : ΔABM ~ ΔCBA.
b. Chứng minh : BC2 = 2AB2. So sánh BC với đường chéo của một hình vuông cạnh AB.
c. Chứng tỏ BA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔAMC.
18. Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính cố định vuông góc với nhau AB và CD.
a. Chứng minh tứ giác ACBD là hình vuông.
b. Lấy điểm di chuyển trên cung nhỏ BC ( E ≠ B,C). Trên tia đối của tia EA lấy đoạn EM = EB. 
Chứng minh : ED là tia phân giác của góc và ED//MB.